Inecuaciones lineales con una incógnita
Ximena quiere alquilar un auto para un viaje de Lima a Ica por la Panamericana Sur y le ofrecen dos empresas con tarifas distintas. ¿Desde cuántos kilómetros le conviene una y no la otra? Una pregunta así no se contesta con un único número: la respuesta es un conjunto de valores. Para eso sirven las inecuaciones. Se resuelven casi igual que una ecuación de primer grado, con una regla extra que lo cambia todo: al multiplicar o dividir por un número negativo, la desigualdad invierte su sentido.
El método: transponer y despejar
La solución se escribe como intervalo, con coma: el extremo abierto $-3$ no pertenece, así que $x>-3$ es $(-3, +\infty)$. Si la desigualdad fuera $\ge$, el extremo entraría y se escribiría $[-3, +\infty)$. En algunas academias se usa $\langle -3, +\infty\rangle$ para el intervalo abierto: es la misma notación.
Comprobar si un valor es solución
Un número es solución si, al reemplazarlo en la inecuación original, la desigualdad resulta verdadera. Por ejemplo, en $2x-1>5$: con $x=4$ da $7>5$ ✓ (es solución); con $x=3$ da $5>5$ ✗ (no lo es, porque la desigualdad es estricta).
Resuelve la siguiente inecuación de primer grado: $3x - 5 < 2x + 4$
Resuelve la siguiente inecuación de primer grado:
$3x - 5 < 2x + 4$
Dada la inecuación $4x - 7 \ge 2x + 1$, comprueba cuáles de los siguientes valores pertenecen a su conjunto solución: $x = -2$, $x = 0$, $x = 4$, $x = 5$.
Dada la inecuación $4x - 7 \ge 2x + 1$, comprueba cuáles de los siguientes valores pertenecen a su conjunto solución: $x = -2$, $x = 0$, $x = 4$, $x = 5$.
Con paréntesis y denominadores
Si hay paréntesis, se aplica primero la propiedad distributiva. Si hay denominadores, se multiplican los dos miembros por el MCM de los denominadores. Como el MCM es positivo, el sentido no cambia en ese paso.
Halla el conjunto de soluciones de la inecuación eliminando primero los paréntesis: $2(x - 3) + 4 \ge 5x - 1$
Halla el conjunto de soluciones de la inecuación eliminando primero los paréntesis:
$2(x - 3) + 4 \ge 5x - 1$
Resuelve la siguiente inecuación con denominadores: $\frac{x}{2} - 1 \le \frac{3x}{4} + 2$
Resuelve la siguiente inecuación con denominadores:
$\frac{x}{2} - 1 \le \frac{3x}{4} + 2$
Del enunciado a la inecuación
Casi todos los problemas se resuelven en tres pasos: elegir la incógnita, traducir la condición a una desigualdad y resolver. La clave está en las palabras:
| Expresión | Símbolo |
|---|---|
| «mayor que», «supera a», «más de» | $>$ |
| «menor que», «menos de» | $<$ |
| «como mínimo», «al menos», «no menos de» | $\ge$ |
| «como máximo», «a lo sumo», «no más de», «no debe superar» | $\le$ |
Traduce al lenguaje algebraico y resuelve: "El doble de un número menos tres unidades es estrictamente menor que el propio número más cinco unidades."
Traduce al lenguaje algebraico y resuelve: "El doble de un número menos tres unidades es estrictamente menor que el propio número más cinco unidades."
La relación entre la temperatura en grados Fahrenheit ($F$) y grados Celsius ($C$) viene dada por la fórmula $F = \frac{9}{5}C + 32$. Plantea una inecuación y resuélvela…
La relación entre la temperatura en grados Fahrenheit ($F$) y grados Celsius ($C$) viene dada por la fórmula $F = \frac{9}{5}C + 32$. Plantea una inecuación y resuélvela para determinar a partir de qué temperatura en grados Celsius se superan los $86$ grados Fahrenheit.
Un estudiante de 1º de Bachillerato ha obtenido las siguientes notas en sus tres primeros exámenes de matemáticas: $6.5$, $7.0$ y $8.2$. ¿Qué nota mínima debe sacar en…
Un estudiante de 1º de Bachillerato ha obtenido las siguientes notas en sus tres primeros exámenes de matemáticas: $6.5$, $7.0$ y $8.2$. ¿Qué nota mínima debe sacar en el cuarto examen para que su nota media sea igual o superior a $7.5$?
Comparar costos y respetar límites
Cuando dos opciones tienen un costo que depende de $x$ (kilómetros, gigas, unidades), comparar es plantear una desigualdad entre las dos expresiones. Gráficamente, es ver cuándo una recta queda por debajo de la otra.
Una pequeña empresa fabrica fundas para celulares. Los costos fijos mensuales son de $2\,000$ soles y producir cada funda cuesta $8$ soles. Si cada funda se vende a $20$…
Una pequeña empresa fabrica fundas para celulares. Los costos fijos mensuales son de $2\,000$ soles y producir cada funda cuesta $8$ soles. Si cada funda se vende a $20$ soles, plantea una inecuación y determina cuántas fundas deben venderse como mínimo al mes para obtener una ganancia de al menos $4\,000$ soles.
Una empresa de alquiler de autos (Cía. A) cobra una tarifa fija de $120$ soles más $0.60$ soles por kilómetro recorrido. Otra empresa competidora (Cía. B) cobra $60$…
Una empresa de alquiler de autos (Cía. A) cobra una tarifa fija de $120$ soles más $0.60$ soles por kilómetro recorrido. Otra empresa competidora (Cía. B) cobra $60$ soles fijos más $0.80$ soles por kilómetro. Plantea una inecuación para averiguar a partir de cuántos kilómetros resulta más barato alquilar el auto en la Cía. A e interpreta el resultado apoyándote en el siguiente gráfico.
Un ascensor de carga tiene una capacidad máxima de $800$ kg. Un operario que pesa $75$ kg debe subir cajas de material de construcción que pesan $22$ kg cada una. Si el…
Un ascensor de carga tiene una capacidad máxima de $800$ kg. Un operario que pesa $75$ kg debe subir cajas de material de construcción que pesan $22$ kg cada una. Si el operario siempre debe acompañar a la carga en el ascensor, plantea y resuelve una inecuación para determinar el número máximo de cajas enteras que puede transportar en un solo viaje.
Dos de los ejercicios de esta sección tienen tramos o cantidades enteras. Relee los ejemplos antes de hacerlos:
Una compañía de telecomunicaciones ofrece dos tarifas de datos. La Tarifa Plana cuesta $40$ soles al mes e incluye $2$ GB de datos, cobrando $8$ soles por cada GB…
Una compañía de telecomunicaciones ofrece dos tarifas de datos. La Tarifa Plana cuesta $40$ soles al mes e incluye $2$ GB de datos, cobrando $8$ soles por cada GB adicional. La Tarifa Plus cuesta $80$ soles al mes e incluye $5$ GB de datos, cobrando $6$ soles por cada GB adicional. Si un usuario sabe que siempre consume más de $5$ GB al mes, ¿cuántos gigabytes debe consumir como mínimo para que la Tarifa Plus le resulte estrictamente más económica que la Tarifa Plana?
Inecuaciones con parámetros
Parámetros con signo conocido
A veces el enunciado informa el signo. Si en $\frac xa-\frac xb\ge\frac{a^2-b^2}{ab}$ sabes que $a>b>0$, multiplicas por $ab>0$ (no cambia el sentido): $bx-ax\ge a^2-b^2$, o sea $(b-a)x\ge(a-b)(a+b)$. Como $b-a<0$, al dividir se invierte: $x\le-(a+b)$.
Considera la inecuación $3x - a > 2x + 5$, donde $a$ es un parámetro real. Calcula el valor de $a$ sabiendo que el conjunto solución de la inecuación es el intervalo…
Considera la inecuación $3x - a > 2x + 5$, donde $a$ es un parámetro real. Calcula el valor de $a$ sabiendo que el conjunto solución de la inecuación es el intervalo $(8, \infty)$.
Discute y resuelve la inecuación $kx - 3 \le 2x + k$ en función de los posibles valores del parámetro real $k$.
Discute y resuelve la inecuación $kx - 3 \le 2x + k$ en función de los posibles valores del parámetro real $k$.
Resuelve la siguiente inecuación literal para la incógnita $x$, asumiendo que los parámetros cumplen la condición $a > b > 0$:…
Resuelve la siguiente inecuación literal para la incógnita $x$, asumiendo que los parámetros cumplen la condición $a > b > 0$:
$\frac{x}{a} - \frac{x}{b} \ge \frac{a^2 - b^2}{ab}$
Vuelve al principio: Ximena comparó las tarifas y la respuesta fue un intervalo, «desde cierta cantidad de kilómetros», y no un único número.