Problemas geométricos con regla y compás
Itzel diseña en el colegio un patrón inspirado en las molas gunas. Necesita partir una tira de $10$ cm en cinco franjas iguales, pero su regla no tiene marcas. ¿Se puede hacer con solo regla y compás, sin medir? Sí, y además se puede cortar un ángulo por la mitad o copiarlo en otro lugar. Al final de la página regresamos a la tira de Itzel.
Bisecar un segmento: la mediatriz
Bisecar un segmento es partirlo en dos partes iguales. La recta que lo hace se llama mediatriz: pasa por el punto medio y es perpendicular al segmento. Así se parte una línea o también un arco.
Pasos con regla y compás:
¿Por qué funciona? Los dos arcos tienen el mismo radio. Por eso $C$ y $D$ están a igual distancia de $A$ y de $B$, y la recta que los une pasa justo por el medio.
Dibuja un segmento $AB$ de $8$ cm. Describe por escrito los pasos para trazar su mediatriz con regla y compás e indica en cuántas partes iguales queda dividido el…
Dibuja un segmento $AB$ de $8$ cm. Describe por escrito los pasos para trazar su mediatriz con regla y compás e indica en cuántas partes iguales queda dividido el segmento.
Dividir un segmento en partes iguales
Con mediatrices obtienes $2$, $4$, $8$ partes. ¿Y $5$? Para cualquier número $n$ se usa el método de Thales: se traza una semirrecta auxiliar, se marcan en ella $n$ pasos iguales y se trazan paralelas.
¿Por qué funciona? Las paralelas cortan a las dos rectas en partes proporcionales (teorema de Thales). Si las marcas de la semirrecta están a igual distancia, también lo están los puntos sobre $\overline{AB}$.
Ana Lucía debe dividir un segmento de $10$ cm en $5$ partes iguales usando regla y compás, sin medir cada parte. Describe el procedimiento paso a paso: la semirrecta…
Ana Lucía debe dividir un segmento de $10$ cm en $5$ partes iguales usando regla y compás, sin medir cada parte. Describe el procedimiento paso a paso: la semirrecta auxiliar, las marcas con el compás y las paralelas que se trazan al final.
Bisectar un ángulo: la bisectriz
Bisectar un ángulo es partirlo en dos ángulos iguales. La semirrecta que lo hace es la bisectriz.
¿Por qué funciona? $OP = OR$ por ser radios del mismo arco, y $PQ = RQ$ por tener el mismo radio. Los dos triángulos $OPQ$ y $ORQ$ resultan iguales y por eso los ángulos en $O$ son iguales.
Para bisecar un ángulo con regla y compás se usa un arco que corta los dos lados del ángulo. Explica qué se hace con el compás después de marcar esos dos puntos de corte…
Para bisecar un ángulo con regla y compás se usa un arco que corta los dos lados del ángulo. Explica qué se hace con el compás después de marcar esos dos puntos de corte y qué recta se obtiene al final.
Dado un ángulo de $60^\circ$, se traza su bisectriz. Indica cuánto mide cada uno de los dos ángulos que resultan y explica cómo comprobarías con el transportador que el…
Dado un ángulo de $60^\circ$, se traza su bisectriz. Indica cuánto mide cada uno de los dos ángulos que resultan y explica cómo comprobarías con el transportador que el trazado quedó bien hecho.
Copiar un ángulo
Para copiar un ángulo en otro lugar necesitas regla, compás y lápiz (la regla solo traza rectas, no mide). La copia resulta congruente ($\cong$) con el original: tiene exactamente la misma medida, aunque esté en otro sitio y con otra orientación.
¿Por qué funciona? Los dos arcos tienen igual radio y las dos cuerdas tienen igual longitud. Los dos triángulos de lados iguales tienen ángulos iguales.
Menciona los instrumentos necesarios para copiar un ángulo dado y explica con tus palabras qué significa que la copia sea «congruente» con el ángulo original.
Menciona los instrumentos necesarios para copiar un ángulo dado y explica con tus palabras qué significa que la copia sea «congruente» con el ángulo original.
Trazar una paralela por un punto
Tienes una recta $r$ y un punto $P$ fuera de ella. Hay una sola recta que pasa por $P$ y es paralela a $r$ ($\parallel$). Se construye con un rombo: un cuadrilátero con los cuatro lados iguales, en el que los lados opuestos son paralelos.
También puedes trazar la paralela copiando el ángulo que forma una recta cualquiera por $P$ con $r$ (ángulos correspondientes iguales), o deslizando una escuadra sobre una regla. Con compás, el rombo es el método más directo.
Tienes una recta $r$ y un punto $P$ que no está sobre ella. Explica cómo trazar por $P$ una paralela a $r$ usando regla y compás, indicando qué arcos haces y qué…
Tienes una recta $r$ y un punto $P$ que no está sobre ella. Explica cómo trazar por $P$ una paralela a $r$ usando regla y compás, indicando qué arcos haces y qué distancia conservas con el compás.
Combinar trazados: retos
Ahora combinas todo lo anterior. La clave es descomponer el problema en trazados conocidos.
Cada paso es correcto porque la bisectriz divide siempre el ángulo en dos partes iguales y porque los tres lados de un triángulo equilátero son iguales, de modo que sus tres ángulos son iguales y suman $180^\circ$ ($180^\circ \div 3 = 60^\circ$).
La bisección repetida funciona porque cada mediatriz pasa por el centro de la circunferencia y parte en dos partes iguales el arco que corresponde a su cuerda. Si bisecas una vez obtienes $2$ partes, dos veces $4$, tres veces $8$: siempre una potencia de $2$.
Con ese método no puedes dividir el arco en $3$ partes iguales, porque $3$ no es una potencia de $2$. Dividir un ángulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compás es imposible en general, y se sabe desde hace siglos que no se puede.
Vuelve al principio: la tira de $10$ cm de Itzel se divide en cinco franjas de $2$ cm con el método de Thales, sin necesidad de regla graduada.
Yariela quiere trazar un ángulo de $15^\circ$ solo con regla y compás, sin transportador. Plantea una secuencia de construcciones (por ejemplo, partiendo de un triángulo…
Yariela quiere trazar un ángulo de $15^\circ$ solo con regla y compás, sin transportador. Plantea una secuencia de construcciones (por ejemplo, partiendo de un triángulo equilátero y bisecando) que lo logre y justifica por qué cada paso da el valor esperado.
Un arco de circunferencia $AB$ debe dividirse en cuatro arcos iguales con regla y compás. Describe el procedimiento y explica por qué la bisección repetida funciona.…
Un arco de circunferencia $AB$ debe dividirse en cuatro arcos iguales con regla y compás. Describe el procedimiento y explica por qué la bisección repetida funciona. Luego indica si con ese mismo método se podría dividir el arco en tres partes iguales y justifica tu respuesta.