Combinación de figuras geométricas y dibujo isométrico
En una mola guna se ven círculos dentro de cuadrados, triángulos dentro de círculos y figuras que se repiten una y otra vez. Quien las diseña no las dibuja «a ojo»: combina figuras con reglas de trazado precisas. ¿Cómo se encuentra el centro justo de un círculo que debe quedar dentro de un cuadrado? ¿Y cómo se dibuja en una hoja una pieza de tres dimensiones? Lo resolverás con regla, compás y juego de escuadras.
Círculo dentro de un cuadrado
Un círculo está inscrito en un cuadrado cuando toca a los cuatro lados por dentro, sin salirse. Es el caso de una moneda dentro de una caja cuadrada que le queda justa.
Fíjate en lo que pasa: el círculo toca los lados en su punto medio, así que el diámetro es igual al lado del cuadrado y el radio es la mitad del lado: $r = \dfrac{\ell}{2}$.
¿Por qué las diagonales? Porque el centro tiene que estar a la misma distancia de los cuatro lados, y el punto central del cuadrado, el de las diagonales, es el único que lo cumple.
Explica qué es un círculo inscrito en un cuadrado y menciona dónde se encuentra su centro respecto al cuadrado.
Explica qué es un círculo inscrito en un cuadrado y menciona dónde se encuentra su centro respecto al cuadrado.
Un cuadrado tiene $10$ cm de lado y se inscribe un círculo en él. Indica el diámetro y el radio del círculo, y explica cómo encontrarías el centro con regla y compás.
Un cuadrado tiene $10$ cm de lado y se inscribe un círculo en él. Indica el diámetro y el radio del círculo, y explica cómo encontrarías el centro con regla y compás.
Círculo dentro de un triángulo equilátero
Ahora el círculo debe tocar los tres lados de un triángulo equilátero. Aquí no hay diagonales, pero hay otra herramienta: la bisectriz, que divide un ángulo en dos partes iguales.
El centro del círculo debe estar a la misma distancia de los tres lados. Los puntos que están a igual distancia de los dos lados de un ángulo forman su bisectriz. Por eso el centro está en las bisectrices de los tres ángulos. Dos bastan, porque se cortan en un punto y ese punto es el incentro.
Para el radio, mide la distancia de $O$ a un lado, siempre en perpendicular. En el triángulo equilátero, las bisectrices también son alturas, así que basta medir de $O$ al punto medio de un lado. Con la altura $h$ se cumple $r = \dfrac{h}{3}$.
Para inscribir un círculo en un triángulo equilátero, Luis Carlos traza las bisectrices de dos ángulos. Explica por qué el punto donde se cortan es el centro del círculo…
Para inscribir un círculo en un triángulo equilátero, Luis Carlos traza las bisectrices de dos ángulos. Explica por qué el punto donde se cortan es el centro del círculo y cómo se determina el radio.
Figuras a partir de puntos y datos
Circunferencia por tres puntos
Tres puntos no alineados $A$, $B$ y $C$ determinan una sola circunferencia. Su centro está a igual distancia de $A$, $B$ y $C$. Los puntos que están a igual distancia de $A$ y $B$ forman la mediatriz de $\overline{AB}$. Por tanto, el centro está en la mediatriz de $\overline{AB}$ y también en la de $\overline{BC}$.
Pentágono regular a partir de tres vértices
En un pentágono regular, los cinco vértices están sobre una circunferencia y los lados son iguales. Si te dan tres vértices consecutivos $A$, $B$ y $C$, haz esto:
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Halla el centro $O$ con las mediatrices de $\overline{AB}$ y $\overline{BC}$.
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Traza la circunferencia de centro $O$ que pasa por $A$, $B$ y $C$.
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Abre el compás con la medida del lado $\overline{AB}$. Apoya la punta en $C$ y marca $D$ sobre la circunferencia. Apoya en $D$ y marca $E$.
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Une $A$-$B$-$C$-$D$-$E$ y cierra con $\overline{EA}$.
Funciona porque en un pentágono regular cada lado abre desde el centro un ángulo de $360^\circ \div 5 = 72^\circ$. Con la misma abertura del compás se avanza siempre el mismo arco de circunferencia. Si el último lado $\overline{EA}$ no sale igual, el error está en las medidas del paso 3.
Rectángulo cuando se conoce la suma de sus lados
Un dato solo no basta: hay infinitos rectángulos cuyos dos lados suman $14$ cm. Hace falta otro dato. Supón que el lado largo y el corto están en razón $4:3$.
Para trazar un pentágono regular por tres puntos, Ricardo ubica tres vértices consecutivos y busca el centro de la circunferencia que pasa por ellos. Explica el…
Para trazar un pentágono regular por tres puntos, Ricardo ubica tres vértices consecutivos y busca el centro de la circunferencia que pasa por ellos. Explica el procedimiento completo con mediatrices, cómo se localizan los otros dos vértices y por qué el centro está en la intersección de las mediatrices.
Áreas de figuras combinadas
Cuando una figura está dentro de otra aparecen relaciones entre medidas. Ya viste una: el círculo dentro del cuadrado tiene $r = \ell/2$. Veamos la otra, el triángulo equilátero dentro de un círculo.
Si el triángulo está inscrito en un círculo de radio $R$, sus tres vértices están sobre la circunferencia y el lado mide
$$\ell = R\sqrt{3}$$Con la altura $h = \dfrac{3R}{2}$ y la fórmula del triángulo equilátero se obtiene el área.
Vistas de una pieza
Una hoja tiene dos dimensiones, pero una pieza tiene tres. Para describirla con exactitud se dibujan vistas: cada una muestra la pieza mirada desde una dirección, de frente.
| Vista | Se observa desde | Qué muestra |
|---|---|---|
| Frontal | de frente | ancho y alto |
| Superior | desde arriba | ancho y profundidad |
| De perfil | desde un lado (la izquierda) | profundidad y alto |
Observa cómo se alinean: la vista superior va justo arriba de la frontal y comparten el ancho. La de perfil se coloca a la derecha y comparte el alto. Una arista de la pieza se ve como línea en cada vista.
En un dibujo isométrico de una pieza, ¿cuáles son los nombres de las tres vistas principales y desde qué dirección se observa cada una?
En un dibujo isométrico de una pieza, ¿cuáles son los nombres de las tres vistas principales y desde qué dirección se observa cada una?
Una pieza se representa en isométrico como un cubo de $3$ cm de arista al que se le quitó un cubito de $1$ cm en una esquina superior. Describe qué forma tendría la…
Una pieza se representa en isométrico como un cubo de $3$ cm de arista al que se le quitó un cubito de $1$ cm en una esquina superior. Describe qué forma tendría la vista superior y qué forma tendría la vista frontal.
Dibujo isométrico
Las vistas muestran la pieza por partes. El dibujo isométrico la muestra de una sola vez, en una sola imagen, con aspecto de volumen. Son dos formas distintas de representar lo mismo: las vistas dan las medidas y el isométrico da la idea general.
En el isométrico hay tres ejes que parten de un punto: uno vertical (el alto) y dos inclinados (ancho y profundidad). Entre ellos forman $120^\circ$. Los dos ejes inclinados forman $120^\circ$ entre sí y cada uno forma $60^\circ$ con la vertical. Cada eje inclinado forma $30^\circ$ con la horizontal. De ahí que se diga que se dibuja «a $30^\circ$»: $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ por cada lado de la vertical, y los dos ejes inclinados juntos forman $60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.
Las líneas paralelas de la pieza siguen paralelas en el dibujo, y las medidas se llevan a escala real sobre los tres ejes. Por eso se llama iso (igual) métrico (medida).
En el dibujo isométrico, los ejes forman ángulos de $120^\circ$ entre sí. Indica qué ángulo forman con la horizontal los dos ejes inclinados y por qué se dice que el…
En el dibujo isométrico, los ejes forman ángulos de $120^\circ$ entre sí. Indica qué ángulo forman con la horizontal los dos ejes inclinados y por qué se dice que el dibujo se hace «a $30^\circ$».
Una pieza de madera tiene base cuadrada de $6$ cm de lado y sobre ella un prisma triangular que forma el techo, como una casita. Describe qué verías en la vista frontal,…
Una pieza de madera tiene base cuadrada de $6$ cm de lado y sobre ella un prisma triangular que forma el techo, como una casita. Describe qué verías en la vista frontal, la vista superior y la vista de perfil, y explica cuál de las tres vistas por sí sola no basta para reconocer la pieza.
Resumen
Vuelve al principio: el círculo de una mola queda centrado porque su centro se halla con diagonales, bisectrices o mediatrices, nunca a ojo. Y una pieza se comunica bien con sus vistas y su isométrico.