Triángulos y polígonos regulares
Yariela quiere dibujar en su cuaderno un patrón inspirado en una mola guna: una fila de hexágonos iguales, bien cerrados y sin huecos. No tiene transportador y solo cuenta con regla y compás. ¿Cómo logra que los seis lados salgan iguales y que la figura cierre exacto? Al final de la página lo resolverás.
Triángulos y polígonos regulares
Un polígono es una figura cerrada formada por segmentos. Los triángulos son los polígonos más sencillos y los clasificamos por la longitud de sus lados.
Un polígono es regular cuando tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales. El cuadrado y el triángulo equilátero son regulares. Un rectángulo que no es cuadrado no lo es: sus ángulos son iguales, pero sus lados no. Un rombo que no es cuadrado tampoco: sus lados son iguales, pero sus ángulos no.
Define qué es un triángulo equilátero y qué es un triángulo isósceles. Indica cuántos lados iguales tiene cada uno.
Define qué es un triángulo equilátero y qué es un triángulo isósceles. Indica cuántos lados iguales tiene cada uno.
¿Qué significa que un polígono sea «regular»? Da dos ejemplos de polígonos regulares y dos de polígonos que no lo sean.
¿Qué significa que un polígono sea «regular»? Da dos ejemplos de polígonos regulares y dos de polígonos que no lo sean.
Triángulo equilátero e isósceles con regla y compás
El compás copia distancias: si no mueves su abertura, todos los arcos que trazas tienen el mismo radio. Con eso se construyen triángulos sin medir ángulos.
Equilátero dado un lado
Isósceles dados la base y el lado igual
El método es el mismo, pero ahora cada arco tiene el radio del lado igual y la base es el segmento de partida.
Para trazar un triángulo equilátero de lado $6$ cm se usa el compás con una abertura fija. Indica qué abertura usas y desde qué puntos trazas los arcos.
Para trazar un triángulo equilátero de lado $6$ cm se usa el compás con una abertura fija. Indica qué abertura usas y desde qué puntos trazas los arcos.
Se quiere trazar un triángulo isósceles con base de $6$ cm y lados iguales de $8$ cm. Explica cómo hacerlo con regla y compás y calcula su perímetro.
Se quiere trazar un triángulo isósceles con base de $6$ cm y lados iguales de $8$ cm. Explica cómo hacerlo con regla y compás y calcula su perímetro.
Triángulo dados los tres lados
Para un triángulo con lados de longitudes distintas el procedimiento es parecido, pero cada arco usa un radio diferente.
¿Siempre se puede?
No. Prueba con lados de 3, 4 y 8 cm: sobre una base de 8 cm, un arco de radio 3 desde un extremo y otro de radio 4 desde el otro nunca se tocan, porque $3 + 4 = 7$ y no alcanzan los 8 cm que los separan.
Por qué: el camino recto de $A$ a $B$ es el más corto. Si los otros dos lados juntos no llegan a la longitud del tercero, no pueden unirse en un vértice.
José Luis debe dibujar un triángulo cuyos lados miden $5$ cm, $6$ cm y $7$ cm. Describe el procedimiento con regla y compás e indica por qué los arcos se cruzan en el…
José Luis debe dibujar un triángulo cuyos lados miden $5$ cm, $6$ cm y $7$ cm. Describe el procedimiento con regla y compás e indica por qué los arcos se cruzan en el tercer vértice.
Itzel afirma que se puede dibujar un triángulo con lados de $3$ cm, $4$ cm y $8$ cm. Analiza si tiene razón, explicando qué ocurre con los arcos de compás al intentar el…
Itzel afirma que se puede dibujar un triángulo con lados de $3$ cm, $4$ cm y $8$ cm. Analiza si tiene razón, explicando qué ocurre con los arcos de compás al intentar el trazado y qué condición deben cumplir los tres lados.
Polígonos regulares en una circunferencia
Un polígono regular de $n$ lados se puede inscribir en una circunferencia: sus vértices quedan sobre ella. El centro $O$ y dos vértices consecutivos forman un ángulo central, y todos son iguales:
$$\text{ángulo central} = \frac{360^\circ}{n}$$Por eso, si dividimos la circunferencia en $n$ arcos iguales y unimos los puntos, obtenemos un polígono regular.
| Polígono | $n$ | Ángulo central |
|---|---|---|
| Triángulo equilátero | 3 | $120^\circ$ |
| Cuadrado | 4 | $90^\circ$ |
| Pentágono | 5 | $72^\circ$ |
| Hexágono | 6 | $60^\circ$ |
Hexágono: el radio como cuerda
Con $n = 6$ el ángulo central es $60^\circ$. El triángulo formado por el centro y dos vértices consecutivos tiene dos lados iguales al radio y un ángulo de $60^\circ$ entre ellos, así que es equilátero. Por tanto el lado del hexágono mide igual que el radio.
Cuadrado y pentágono
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Cuadrado: traza dos diámetros perpendiculares (con escuadra o con mediatriz). Cortan la circunferencia en cuatro puntos separados $90^\circ$. Únelos.
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Pentágono: el ángulo central es $72^\circ$. Con un transportador marca puntos cada $72^\circ$ y únelos. El compás solo no da la división en 5 con la misma facilidad que en 6.
El cuadrado exige instrumento para la perpendicular (escuadra o compás con mediatriz); el hexágono solo necesita el compás con una abertura fija. En ambos casos, cuantos más lados tiene el polígono inscrito, más se parece a la circunferencia: con $r = 5$ cm, el hexágono tiene perímetro $30$ cm y el cuadrado, $4 \cdot 5\sqrt{2} \approx 28.3$ cm, mientras que la circunferencia mide $2\pi \cdot 5 \approx 31.4$ cm.
Con esto resolvemos el comienzo: Yariela abre el compás con el radio del hexágono que quiere, lo lleva seis veces sobre la circunferencia y une los puntos. Los seis lados salen iguales y la figura cierra sola.
Un hexágono regular puede trazarse dentro de una circunferencia de radio $4$ cm llevando el radio como cuerda sobre la circunferencia. Explica por qué funciona y calcula…
Un hexágono regular puede trazarse dentro de una circunferencia de radio $4$ cm llevando el radio como cuerda sobre la circunferencia. Explica por qué funciona y calcula el perímetro del hexágono.
Compara el trazado de un hexágono regular con el de un cuadrado inscritos en una misma circunferencia de radio $5$ cm. Indica qué instrumentos y pasos requiere cada uno,…
Compara el trazado de un hexágono regular con el de un cuadrado inscritos en una misma circunferencia de radio $5$ cm. Indica qué instrumentos y pasos requiere cada uno, calcula el perímetro del hexágono y explica cuál de los dos polígonos queda más cerca de la circunferencia.
Paralela a una recta por un punto dado
Dos rectas son paralelas ($\parallel$) si nunca se cruzan. Para trazar la paralela a una recta $r$ por un punto $P$ puedes dibujar un rombo, cuyos lados opuestos son paralelos.
También puedes usar el juego de escuadras: apoyas una escuadra sobre la recta, deslizas la otra y trazas por $P$. El compás sirve cuando no tienes escuadras a mano.
Área de un triángulo equilátero
El área de un triángulo es $A = \dfrac{b \cdot h}{2}$. En el equilátero conocemos la base $\ell$, pero falta la altura. La altura baja desde el vértice hasta el punto medio de la base y forma dos triángulos rectángulos con hipotenusa $\ell$ y un cateto $\dfrac{\ell}{2}$. Por Pitágoras:
$$h = \sqrt{\ell^2 - \left(\frac{\ell}{2}\right)^2} = \frac{\ell\sqrt{3}}{2}$$Entonces el área es:
$$A = \frac{\ell \cdot h}{2} = \frac{\ell^2\sqrt{3}}{4}$$Resumen
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Triángulo equilátero: 3 lados iguales. Isósceles: 2 lados iguales. Escaleno: 3 lados distintos.
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Un polígono es regular si tiene todos los lados y todos los ángulos iguales.
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Un triángulo con tres lados dados existe solo si el mayor es menor que la suma de los otros dos; si no, los arcos no se cruzan.
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Se construyen con arcos de compás: cada vértice es el cruce de dos arcos, y los radios iguales garantizan los lados iguales.
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Ángulo central de un polígono regular: $360^\circ/n$. En el hexágono, el lado es igual al radio.
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La paralela por un punto se traza con un rombo, y el área del equilátero es $A = \dfrac{\ell^2\sqrt{3}}{4}$.