Modèles de croissance et suites
Dans le parc national de la Vanoise, des écologues suivent une population de bouquetins. Chaque année, ils notent l'effectif. Si la population augmente de 4 % par an, que peut-on prévoir dans dix ans ? Et si le milieu ne peut nourrir qu'un nombre limité d'animaux, la prévision reste-t-elle valable ? Pour répondre, on transforme la situation en suite numérique : c'est un modèle, c'est-à-dire une description simplifiée de la réalité qui permet de calculer et de prévoir.
Croissance en pourcentage : la suite géométrique
Quand une population varie d'un même pourcentage à chaque période, on peut la modéliser par une suite géométrique.
Exemple : une colonie de 1 000 bactéries augmente de 30 % chaque heure. Après une heure, il y a $1\,000 + 0{,}30 \times 1\,000 = 1\,000 \times 1{,}3 = 1\,300$ bactéries. Chaque heure, on multiplie par le même nombre, $1{,}3$.
Pourquoi $u_n = u_0 \times q^n$ ? Parce qu'on multiplie $u_0$ par $q$, $n$ fois de suite.
Une population de bactéries compte $500$ individus et augmente de $20\ \%$ chaque heure. On note $u_n$ l'effectif après $n$ heures. a) Donner $u_0$ et la nature de la…
Une population de bactéries compte $500$ individus et augmente de $20\ \%$ chaque heure. On note $u_n$ l'effectif après $n$ heures.
- a) Donner $u_0$ et la nature de la suite $(u_n)$.
- b) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
- c) Calculer $u_3$.
Une population de $2\,000$ individus d'une espèce d'oiseaux diminue de $5\ \%$ par an. a) Calculer l'effectif au bout d'un an puis de deux ans. b) Exprimer l'effectif au…
Une population de $2\,000$ individus d'une espèce d'oiseaux diminue de $5\ \%$ par an.
- a) Calculer l'effectif au bout d'un an puis de deux ans.
- b) Exprimer l'effectif au bout de $n$ années.
- c) Calculer l'effectif arrondi à l'unité au bout de $10$ ans.
Une population d'insectes vérifie $u_{n+1}=1{,}5\,u_n$ avec $u_0=200$. a) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. b) Déterminer à partir de quelle génération l'effectif…
Une population d'insectes vérifie $u_{n+1}=1{,}5\,u_n$ avec $u_0=200$.
- a) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
- b) Déterminer à partir de quelle génération l'effectif dépasse $10\,000$.
- c) Expliquer pourquoi ce modèle n'est pas réaliste à long terme.
Ajouter un prélèvement : $u_{n+1} = a\,u_n + b$
Dans la réalité, il y a souvent deux effets à chaque période : une croissance en pourcentage (naissances moins décès) et une quantité fixe qui s'ajoute ou se retire (pêche, chasse, lâcher d'animaux).
Exemple : un lac contient 1 000 poissons. Chaque année l'effectif augmente de 20 %, puis on pêche 100 poissons. Avec $u_n$ l'effectif après $n$ années :
$$u_{n+1} = 1{,}2\,u_n - 100.$$L'ordre des opérations compte : on applique d'abord le pourcentage à $u_n$, puis on retire la quantité fixe.
On peut aussi programmer ce calcul en Python (on écrit ici le coefficient $1{,}2$ sous la forme $12/10$) :
u = 1000
for n in range(3):
u = 12 * u / 10 - 100
print(round(u)) # affiche 1364
Une population compte $P_0=100$ individus. Chaque année, le nombre d'individus augmente de $15\ \%$ puis $10$ individus sont prélevés. On note $P_n$ l'effectif après $n$…
Une population compte $P_0=100$ individus. Chaque année, le nombre d'individus augmente de $15\ \%$ puis $10$ individus sont prélevés. On note $P_n$ l'effectif après $n$ années.
- a) Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$.
- b) Calculer $P_1$ et $P_2$.
Une population de poissons dans un lac de l'Isère compte $4\,000$ individus. Chaque année, elle augmente de $10\ \%$, puis on pêche $300$ individus. On note $u_n$…
Une population de poissons dans un lac de l'Isère compte $4\,000$ individus. Chaque année, elle augmente de $10\ \%$, puis on pêche $300$ individus. On note $u_n$ l'effectif après $n$ années.
- a) Montrer que $u_{n+1}=1{,}1\,u_n-300$.
- b) Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
- c) Déterminer le point d'équilibre $\ell$ tel que $\ell=1{,}1\ell-300$.
- d) Interpréter ce point d'équilibre.
Point fixe et suite auxiliaire
Y a-t-il un effectif pour lequel la population ne bouge plus ? C'est un point d'équilibre, appelé aussi point fixe.
Pour $u_{n+1} = 1{,}2\,u_n - 100$, on résout $\ell = 1{,}2\,\ell - 100$, donc $0{,}2\,\ell = 100$, d'où $\ell = 500$. Si le lac contient exactement 500 poissons, la croissance de $0{,}2 \times 500 = 100$ poissons compense exactement la pêche de 100 poissons.
Le point fixe permet aussi d'obtenir $u_n$ en fonction de $n$ grâce à une suite auxiliaire.
La gestion d'une ressource (pêche, chasse) tient à ce point : prélever plus que la croissance naturelle ne le permet conduit à l'extinction.
Une population de cerfs vérifie $u_{n+1}=1{,}2\,u_n-60$, avec $u_0=400$. a) Déterminer le point fixe $\ell$. b) On pose $v_n=u_n-\ell$. Montrer que $(v_n)$ est…
Une population de cerfs vérifie $u_{n+1}=1{,}2\,u_n-60$, avec $u_0=400$.
- a) Déterminer le point fixe $\ell$.
- b) On pose $v_n=u_n-\ell$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique et préciser sa raison.
- c) En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
- d) Étudier le comportement à long terme. Que se passe-t-il si $u_0=250$ ? Si $u_0=300$ ?
Une population de poissons est exploitée. Chaque année, avec un taux de croissance de $8\ \%$, elle atteint $1{,}08\,u_n$, puis on prélève une quantité fixe $q$. Au…
Une population de poissons est exploitée. Chaque année, avec un taux de croissance de $8\ \%$, elle atteint $1{,}08\,u_n$, puis on prélève une quantité fixe $q$. Au départ, $u_0=10\,000$.
- a) Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et $q$.
- b) Déterminer la valeur de $q$ pour laquelle la population reste constante.
- c) Pour $q=1\,000$, montrer que la population s'éteint et déterminer l'année où l'effectif devient négatif ou nul.
- d) Interpréter ces résultats pour la gestion durable d'une ressource.
Limites du modèle : capacité d'accueil et modèle logistique
Une suite géométrique de raison supérieure à 1 tend vers l'infini. C'est irréaliste : un milieu a des ressources limitées (nourriture, espace). On appelle capacité d'accueil, notée $K$, l'effectif maximal que le milieu peut supporter durablement.
Pour en tenir compte, le taux de croissance doit diminuer quand la population s'approche de $K$. Un modèle simple : le terme d'accroissement est proportionnel à $u_n$ et à la place restante $K - u_n$ :
$$u_{n+1} = u_n + c\,u_n\,(K - u_n).$$-
Si $u_n$ est petit devant $K$, l'accroissement est à peu près $c\,K\,u_n$ : croissance quasi géométrique.
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Si $u_n$ s'approche de $K$, le facteur $K - u_n$ tend vers 0 : la croissance ralentit.
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Si $u_n = K$, alors $u_{n+1} = u_n$ : $K$ est un point fixe. Le point fixe $0$ existe aussi (sans individu, pas de naissance).
Le modèle logistique réduit
En prenant $K$ comme unité, on note $u_n \in [0 ; 1]$ la proportion de la capacité d'accueil. Le modèle classique est
$$u_{n+1} = r\,u_n\,(1 - u_n),$$où $r$ est un paramètre de croissance. Ses points fixes vérifient $u = r\,u\,(1-u)$, donc $u = 0$ ou $1 = r\,(1-u)$, soit $u = 1 - \frac{1}{r}$.
Exemple : pour $r = 2$ et $u_0 = 0{,}1$, on obtient $u_1 = 2 \times 0{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}18$ puis $u_2 = 2 \times 0{,}18 \times 0{,}82 = 0{,}2952$. La suite se rapproche du point fixe $1 - \frac{1}{2} = 0{,}5$.
Une population de $800$ individus vit dans une réserve pouvant en accueillir au plus $1\,000$. Le modèle est $u_{n+1}=u_n+0{,}002\,u_n(1\,000-u_n)\times 0{,}1$, avec…
Une population de $800$ individus vit dans une réserve pouvant en accueillir au plus $1\,000$. Le modèle est $u_{n+1}=u_n+0{,}002\,u_n(1\,000-u_n)\times 0{,}1$, avec $u_0=800$.
- a) Calculer $u_1$ et $u_2$ (arrondis à l'unité).
- b) Montrer que $1\,000$ est un point fixe de la suite.
- c) Expliquer le rôle de la capacité d'accueil dans ce modèle.
Un modèle logistique discret est donné par $u_{n+1}=r\,u_n(1-u_n)$, où $u_n\in[0\,;1]$ est l'effectif rapporté à la capacité d'accueil. a) Pour $r=2$ et $u_0=0{,}2$,…
Un modèle logistique discret est donné par $u_{n+1}=r\,u_n(1-u_n)$, où $u_n\in[0\,;1]$ est l'effectif rapporté à la capacité d'accueil.
- a) Pour $r=2$ et $u_0=0{,}2$, calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
- b) Déterminer les points fixes pour $r=2$.
- c) Pour $r=3{,}2$ et $u_0=0{,}5$, calculer $u_1$ à $u_4$ (arrondis au millième) et conjecturer le comportement.
- d) Expliquer pourquoi un même modèle peut conduire à des comportements très différents selon $r$.
Retour au début : pour les bouquetins de la Vanoise, une croissance de 4 % par an donne $u_n = u_0 \times 1{,}04^{\,n}$ sur quelques années, mais à long terme la capacité d'accueil de la montagne limite la population : le modèle géométrique ne vaut que tant que les ressources ne manquent pas.
L'essentiel
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Une évolution de $t\ \%$ par période multiplie l'effectif par $1 \pm \frac{t}{100}$ : la suite est géométrique, $u_n = u_0\,q^n$.
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Avec un prélèvement ou un apport fixe $b$ : $u_{n+1} = a\,u_n + b$ (suite arithmético-géométrique).
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Le point fixe $\ell$ vérifie $\ell = a\,\ell + b$ ; avec $v_n = u_n - \ell$, la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $a$, d'où $u_n = \ell + (u_0 - \ell)\,a^n$.
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Pour $a > 1$, le point fixe est un équilibre instable : au-dessus la population croît, en dessous elle s'éteint.
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La capacité d'accueil $K$ corrige le modèle géométrique : dans le modèle logistique, $K$ (ou $1$ en proportion) est un point fixe et la croissance ralentit en s'en approchant.
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Un modèle n'est valable que dans le cadre de ses hypothèses.