Pertes par effet Joule et haute tension
Une centrale nucléaire de la vallée du Rhône produit de l'électricité, mais ta maison est à des centaines de kilomètres. Sur le trajet, les lignes à haute tension, bien visibles dans le paysage, sont chaudes et « perdent » de l'énergie. Pourquoi les pylônes portent-ils des tensions de 225 000 V ou 400 000 V alors que la prise de ta chambre n'en délivre que 230 ? Tu vas voir que ce choix réduit fortement les pertes.
Effet Joule et pertes en ligne
Un câble électrique n'est pas un conducteur parfait : il possède une résistance $R$ (en ohms, $\Omega$). Quand un courant d'intensité $I$ le traverse, les charges frottent contre les atomes du métal. Une partie de l'énergie électrique est transformée en chaleur : c'est l'effet Joule. Cette chaleur est perdue pour le consommateur.
Pourquoi $I^2$ ? Notons $U_c$ la tension aux bornes du câble (à ne pas confondre avec la tension $U$ de la ligne). D'après la loi d'Ohm, $U_c = RI$, et la puissance dissipée dans le câble vaut $P_J = U_c I = RI \times I = RI^2$. Ce n'est pas la puissance transportée $P = UI$. L'intensité intervient deux fois : si $I$ double, les pertes sont multipliées par $4$.
L'énergie perdue pendant une durée $\Delta t$ vaut $E = P_J \times \Delta t$. En kWh, on prend la puissance en kW et la durée en heures.
Une ligne électrique de résistance $R=5\ \Omega$ est parcourue par un courant d'intensité $I=20\ \text{A}$. a) Calculer la puissance perdue par effet Joule avec…
Une ligne électrique de résistance $R=5\ \Omega$ est parcourue par un courant d'intensité $I=20\ \text{A}$.
- a) Calculer la puissance perdue par effet Joule avec $P_J=RI^2$.
- b) Calculer l'énergie perdue en $\text{kWh}$ en $10$ heures.
Une ligne transporte $100\ \text{MW}$ et perd $4\ \text{MW}$ par effet Joule. a) Calculer le pourcentage de pertes. b) Calculer la puissance effectivement livrée aux…
Une ligne transporte $100\ \text{MW}$ et perd $4\ \text{MW}$ par effet Joule.
- a) Calculer le pourcentage de pertes.
- b) Calculer la puissance effectivement livrée aux consommateurs.
Pourquoi la haute tension ?
La puissance transportée est $P = U I$. Pour transporter la même puissance $P$, on peut choisir une tension $U$ élevée et une intensité $I$ faible, ou l'inverse. Comme les pertes dépendent de $I^2$, on a intérêt à avoir une intensité la plus faible possible, donc une tension la plus élevée possible.
En remplaçant $I = \dfrac{P}{U}$ dans $P_J = R I^2$ :
Observe comment les pertes varient quand on modifie la valeur de $a$ (qui représente $R P^2$) dans cette courbe $P_J = \dfrac{a}{U^2}$ : plus $U$ augmente, plus la courbe s'écrase vers $0$.
Une centrale fournit une puissance $P=2\ \text{MW}$ sous une tension $U=20\ \text{kV}$, avec $P=UI$. a) Calculer l'intensité $I$ du courant. b) Calculer l'intensité si…
Une centrale fournit une puissance $P=2\ \text{MW}$ sous une tension $U=20\ \text{kV}$, avec $P=UI$.
- a) Calculer l'intensité $I$ du courant.
- b) Calculer l'intensité si la tension est portée à $400\ \text{kV}$ pour la même puissance.
- c) Comparer les deux intensités.
Une ligne de résistance $R=8\ \Omega$ transporte une puissance $P=10\ \text{MW}$. a) Calculer l'intensité et les pertes Joule si la tension est $U=50\ \text{kV}$. b)…
Une ligne de résistance $R=8\ \Omega$ transporte une puissance $P=10\ \text{MW}$.
- a) Calculer l'intensité et les pertes Joule si la tension est $U=50\ \text{kV}$.
- b) Même question pour $U=400\ \text{kV}$.
- c) Calculer le rapport entre les pertes dans les deux cas et le relier au rapport des tensions.
Transformateurs et courant alternatif
Un alternateur produit une tension de quelques dizaines de kilovolts, et tes appareils fonctionnent sous $230\ \text{V}$. Il faut donc pouvoir élever puis abaisser la tension. Le transformateur le fait, mais uniquement en courant alternatif : il fonctionne par variation du champ magnétique, et un courant continu ne produit aucune tension induite.
Un transformateur idéal conserve la puissance : $U_1 I_1 = U_2 I_2$. Le rapport de transformation est $m = \dfrac{U_2}{U_1}$. Si la tension est multipliée par $m$, l'intensité est divisée par $m$.
Un transformateur élève la tension de $20\ \text{kV}$ à $400\ \text{kV}$ ; on le suppose idéal (puissance conservée). a) Calculer le rapport de transformation. b) Pour…
Un transformateur élève la tension de $20\ \text{kV}$ à $400\ \text{kV}$ ; on le suppose idéal (puissance conservée).
- a) Calculer le rapport de transformation.
- b) Pour un courant de $500\ \text{A}$ au primaire, calculer le courant au secondaire.
- c) Expliquer pourquoi le transport se fait en courant alternatif avec des transformateurs.
Bilan d'une ligne : pertes, pourcentage et coût
Pour juger une ligne, on calcule la résistance du câble, l'intensité, les pertes et leur proportion. La résistance d'un câble est proportionnelle à sa longueur : $R = r \times L$ avec $r$ la résistance linéique en $\Omega\cdot\text{km}^{-1}$.
Le pourcentage de pertes est $\dfrac{P_J}{P} \times 100$. Avec $P_J = \dfrac{R P^2}{U^2}$, on obtient $\dfrac{P_J}{P} = \dfrac{R P}{U^2}$ : ce pourcentage est proportionnel à $\dfrac{1}{U^2}$ et proportionnel à $P$.
L'énergie perdue (en MWh) multipliée par le prix du MWh donne le coût des pertes.
Une ligne de $200\ \text{km}$ est constituée d'un câble de résistance linéique $0{,}03\ \Omega\cdot\text{km}^{-1}$. Elle transporte $50\ \text{MW}$ sous…
Une ligne de $200\ \text{km}$ est constituée d'un câble de résistance linéique $0{,}03\ \Omega\cdot\text{km}^{-1}$. Elle transporte $50\ \text{MW}$ sous $225\ \text{kV}$.
- a) Calculer la résistance de la ligne.
- b) Calculer l'intensité du courant.
- c) Calculer les pertes Joule en MW puis en pourcentage de la puissance transportée.
- d) Calculer le coût de ces pertes sur une journée si l'énergie vaut $60\ €$ par $\text{MWh}$.
Une ligne de résistance $R$ transporte une puissance $P$ sous une tension $U$. a) Montrer que les pertes Joule valent $P_J=\dfrac{RP^2}{U^2}$. b) Montrer que le…
Une ligne de résistance $R$ transporte une puissance $P$ sous une tension $U$.
- a) Montrer que les pertes Joule valent $P_J=\dfrac{RP^2}{U^2}$.
- b) Montrer que le pourcentage de pertes est proportionnel à $P$ et inversement proportionnel à $U^2$.
- c) Avec $R=10\ \Omega$ et $P=100\ \text{MW}$, calculer la tension minimale pour que les pertes ne dépassent pas $2\ \%$.
Choisir la tension : compromis et courant continu
Si les pertes diminuent avec $U$, pourquoi ne pas choisir une tension immense ? Parce qu'une tension élevée coûte cher : isolateurs plus grands, pylônes plus hauts, distances de sécurité accrues. Le gestionnaire du réseau cherche donc un compromis.
On modélise le coût annuel total par une somme : $c(U) = \dfrac{A}{U^2} + kU$. Le premier terme est le coût des pertes (il décroît avec $U$), le second le coût d'isolation (il croît avec $U$). Pour trouver le minimum, on dérive :
$$c'(U) = -\frac{2A}{U^3} + k$$$c'(U)$ est négative puis positive, et s'annule pour $U^3 = \dfrac{2A}{k}$. La fonction $c$ est donc décroissante puis croissante : elle admet un minimum en cette valeur.
Le courant continu haute tension (HVDC)
Pour de très longues distances ou les liaisons sous-marines, on utilise parfois une ligne en courant continu haute tension (HVDC) : ses pertes sont plus faibles que celles d'une ligne alternative de même puissance. Mais il faut installer à chaque extrémité des stations de conversion (alternatif-continu), très coûteuses : c'est un surcoût d'installation qu'on compare à l'économie annuelle réalisée. Le temps de retour sur investissement est :
$$\text{durée} = \frac{\text{surcoût d'installation}}{\text{économie annuelle}}$$Une ligne de résistance $R=6\ \Omega$ doit transporter $P=80\ \text{MW}$. On choisit une tension $U$ et on note $c(U)$ le coût annuel total, somme du coût des pertes et…
Une ligne de résistance $R=6\ \Omega$ doit transporter $P=80\ \text{MW}$. On choisit une tension $U$ et on note $c(U)$ le coût annuel total, somme du coût des pertes et d'un coût d'isolation proportionnel à $U$.
Pertes : $P_J=\dfrac{RP^2}{U^2}$. Le coût des pertes est $k_1P_J$ avec $k_1=0{,}5\ \text{M€ par MW}$ de pertes, et le coût d'isolation est $k_2U$ avec $k_2=0{,}002\ \text{M€ par kV}$.
- a) Exprimer $c(U)$ en fonction de $U$ en kV.
- b) Étudier les variations de $c$ sur $]0\,;+\infty[$.
- c) Déterminer la tension qui minimise le coût et calculer ce coût.
- d) Commenter le résultat vis-à-vis des tensions utilisées en France (225 kV et 400 kV).
Pour un réseau, on compare une ligne à courant alternatif (CA) et une ligne à courant continu haute tension (HVDC) de même puissance $1\,000\ \text{MW}$ sur…
Pour un réseau, on compare une ligne à courant alternatif (CA) et une ligne à courant continu haute tension (HVDC) de même puissance $1\,000\ \text{MW}$ sur $600\ \text{km}$. Les pertes sont de $7\ \%$ en CA et de $3\ \%$ en HVDC. L'énergie perdue est valorisée à $70\ €$ par $\text{MWh}$ et la ligne fonctionne $8\,000$ heures par an.
- a) Calculer l'énergie perdue annuellement dans chaque cas en $\text{GWh}$.
- b) Calculer l'économie annuelle réalisée avec la HVDC.
- c) La HVDC coûte $150\ \text{M€}$ de plus à l'installation. Calculer la durée d'amortissement.
- d) Citer une limite du choix de la HVDC.
L'essentiel
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Effet Joule : un conducteur de résistance $R$ parcouru par un courant $I$ perd la puissance $P_J = RI^2$ sous forme de chaleur.
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Pour transporter une puissance $P$ sous une tension $U$ : $I = \dfrac{P}{U}$ et $P_J = \dfrac{RP^2}{U^2}$.
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Multiplier la tension par $n$ divise les pertes par $n^2$ : on transporte l'électricité en très haute tension.
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Le transformateur (idéal) conserve la puissance : $I_2 = I_1 / m$ avec $m = U_2/U_1$. Il ne fonctionne qu'en courant alternatif.
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Le pourcentage de pertes est $\dfrac{P_J}{P} \times 100$, et la puissance livrée vaut $P - P_J$.
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Le choix de la tension résulte d'un compromis (pertes, isolation) ; le HVDC réduit les pertes mais exige des stations de conversion coûteuses.
Retour au début : on a vu pourquoi les lignes sont en 225 kV ou 400 kV : cela réduit l'intensité et donc les pertes par effet Joule.