Exercices: Modèles de croissance et suites

Une population de bactéries compte $500$ individus et augmente de $20\ \%$ chaque heure. On note $u_n$ l'effectif après $n$ heures.

1. a) Donner $u_0$ et la nature de la suite $(u_n)$.
2. b) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
3. c) Calculer $u_3$.

Une population de $2\,000$ individus d'une espèce d'oiseaux diminue de $5\ \%$ par an.

1. a) Calculer l'effectif au bout d'un an puis de deux ans.
2. b) Exprimer l'effectif au bout de $n$ années.
3. c) Calculer l'effectif arrondi à l'unité au bout de $10$ ans.

Une population compte $P_0=100$ individus. Chaque année, le nombre d'individus augmente de $15\ \%$ puis $10$ individus sont prélevés. On note $P_n$ l'effectif après $n$ années.

1. a) Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$.
2. b) Calculer $P_1$ et $P_2$.

Une population de poissons dans un lac de l'Isère compte $4\,000$ individus. Chaque année, elle augmente de $10\ \%$, puis on pêche $300$ individus. On note $u_n$ l'effectif après $n$ années.

1. a) Montrer que $u_{n+1}=1{,}1\,u_n-300$.
2. b) Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
3. c) Déterminer le point d'équilibre $\ell$ tel que $\ell=1{,}1\ell-300$.
4. d) Interpréter ce point d'équilibre.

Une population d'insectes vérifie $u_{n+1}=1{,}5\,u_n$ avec $u_0=200$.

1. a) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
2. b) Déterminer à partir de quelle génération l'effectif dépasse $10\,000$.
3. c) Expliquer pourquoi ce modèle n'est pas réaliste à long terme.

Une population de $800$ individus vit dans une réserve pouvant en accueillir au plus $1\,000$. Le modèle est $u_{n+1}=u_n+0{,}002\,u_n(1\,000-u_n)\times 0{,}1$, avec $u_0=800$.

1. a) Calculer $u_1$ et $u_2$ (arrondis à l'unité).
2. b) Montrer que $1\,000$ est un point fixe de la suite.
3. c) Expliquer le rôle de la capacité d'accueil dans ce modèle.

Une population de cerfs vérifie $u_{n+1}=1{,}2\,u_n-60$, avec $u_0=400$.

1. a) Déterminer le point fixe $\ell$.
2. b) On pose $v_n=u_n-\ell$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique et préciser sa raison.
3. c) En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
4. d) Étudier le comportement à long terme. Que se passe-t-il si $u_0=250$ ? Si $u_0=300$ ?

Un modèle logistique discret est donné par $u_{n+1}=r\,u_n(1-u_n)$, où $u_n\in[0\,;1]$ est l'effectif rapporté à la capacité d'accueil.

1. a) Pour $r=2$ et $u_0=0{,}2$, calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. b) Déterminer les points fixes pour $r=2$.
3. c) Pour $r=3{,}2$ et $u_0=0{,}5$, calculer $u_1$ à $u_4$ (arrondis au millième) et conjecturer le comportement.
4. d) Expliquer pourquoi un même modèle peut conduire à des comportements très différents selon $r$.

Une population de poissons est exploitée. Chaque année, avec un taux de croissance de $8\ \%$, elle atteint $1{,}08\,u_n$, puis on prélève une quantité fixe $q$. Au départ, $u_0=10\,000$.

1. a) Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et $q$.
2. b) Déterminer la valeur de $q$ pour laquelle la population reste constante.
3. c) Pour $q=1\,000$, montrer que la population s'éteint et déterminer l'année où l'effectif devient négatif ou nul.
4. d) Interpréter ces résultats pour la gestion durable d'une ressource.