Méthode d'Ératosthène
Un bâton planté dans le sol de Lille projette une ombre de 1,40 m à midi. Le même jour, plus au sud, le même bâton donne une ombre plus courte. Pourquoi ? Et peut-on s'en servir pour mesurer la Terre entière sans jamais quitter le sol ? C'est ce qu'a fait Ératosthène, à Alexandrie, il y a plus de 2 200 ans.
Le principe de la méthode
Ératosthène sait qu'à midi, au solstice d'été, le Soleil est au zénith à Syène (les rayons sont verticaux, un puits est éclairé jusqu'au fond). Le même jour, à Alexandrie, située plus au nord sur le même méridien, un gnomon projette une ombre : les rayons font un angle $\alpha = 7{,}2^\circ$ avec la verticale.
Deux hypothèses sont nécessaires :
-
le Soleil est si loin que ses rayons arrivant sur la Terre sont parallèles ;
-
la Terre est sphérique et les deux villes sont sur le même méridien.
Les deux verticales se coupent au centre $O$ de la Terre. Les rayons étant parallèles, l'angle $\alpha$ entre le rayon et la verticale à Alexandrie est égal à l'angle au centre entre les deux villes : ce sont des angles alternes-internes, formés par la sécante (la verticale d'Alexandrie, qui passe par $O$) avec deux droites parallèles : le rayon solaire arrivant à Alexandrie et la parallèle aux rayons menée par $O$ (la direction du rayon arrivant à Syène).
Ératosthène a observé qu'à midi, au solstice d'été, le Soleil est au zénith à Syène alors qu'à Alexandrie les rayons font un angle $\alpha = 7,2^\circ$ avec la…
Ératosthène a observé qu'à midi, au solstice d'été, le Soleil est au zénith à Syène alors qu'à Alexandrie les rayons font un angle $\alpha = 7,2^\circ$ avec la verticale.
- a) Expliquer pourquoi cet angle est égal à l'angle au centre de la Terre entre les deux villes.
- b) Quelle fraction de la circonférence terrestre représente la distance entre les deux villes ?
Calculer la circonférence et le rayon
La distance $d$ entre les deux villes est un arc de cercle. L'angle au centre est proportionnel à la longueur de l'arc : la distance $d$ est à la circonférence $C$ ce que l'angle $\alpha$ est à $360^\circ$.
Pourquoi ? Un tour complet correspond à $360^\circ$ et à la longueur $C$ ; un angle deux fois plus petit découpe un arc deux fois plus court.
Retiens aussi : $1^\circ$ de latitude correspond à un arc de $\dfrac{C}{360} \approx 111$ km.
La distance entre Syène et Alexandrie est de 5 000 stades, et l'angle entre les verticales des deux villes est de $7,2^\circ$. a) Calculer la circonférence terrestre en…
La distance entre Syène et Alexandrie est de 5 000 stades, et l'angle entre les verticales des deux villes est de $7,2^\circ$.
- a) Calculer la circonférence terrestre en stades.
- b) Sachant que 1 stade vaut environ 157,5 m, convertir en kilomètres.
La circonférence de la Terre est $C = 40 000$ km. a) Calculer le rayon terrestre $R = \dfrac{C}{2\pi}$. b) Calculer la longueur d'arc correspondant à $1^\circ$ de…
La circonférence de la Terre est $C = 40 000$ km.
- a) Calculer le rayon terrestre $R = \dfrac{C}{2\pi}$.
- b) Calculer la longueur d'arc correspondant à $1^\circ$ de latitude.
Refaire l'expérience aujourd'hui
Aujourd'hui, on n'a pas besoin du zénith : on mesure l'angle des rayons avec la verticale au même instant en deux lieux du même méridien. Avec un bâton vertical de hauteur $h$ et son ombre de longueur $\ell$, l'angle $\alpha$ avec la verticale vérifie, dans le triangle rectangle formé :
$$\tan\alpha = \frac{\ell}{h}$$L'angle au centre est alors la différence des deux angles si les deux lieux sont du même côté du zénith (par exemple, tous deux au nord du lieu où le Soleil est au zénith). On peut aussi utiliser la différence des latitudes.
Avec les latitudes : si deux villes sont sur le même méridien, l'angle au centre est la différence de leurs latitudes. Pour Strasbourg ($48{,}6^\circ$ N) et Perpignan ($42{,}7^\circ$ N) : $48{,}6 - 42{,}7 = 5{,}9^\circ$.
Au même instant, on mesure l'ombre d'un bâton vertical de 1,00 m : à Lille, l'ombre mesure 1,40 m ; à un lieu situé plus au sud, sur le même méridien, elle mesure 1,18…
Au même instant, on mesure l'ombre d'un bâton vertical de 1,00 m : à Lille, l'ombre mesure 1,40 m ; à un lieu situé plus au sud, sur le même méridien, elle mesure 1,18 m. Les deux lieux sont distants de 540 km.
- a) Calculer l'angle des rayons solaires avec la verticale dans chaque lieu.
- b) En déduire l'angle au centre entre les deux lieux.
- c) Estimer la circonférence puis le rayon de la Terre.
Deux villes, Strasbourg et Perpignan, sont à peu près sur le même méridien. Leurs latitudes sont respectivement 48,6° N et 42,7° N. a) Calculer l'angle au centre entre…
Deux villes, Strasbourg et Perpignan, sont à peu près sur le même méridien. Leurs latitudes sont respectivement 48,6° N et 42,7° N.
- a) Calculer l'angle au centre entre les deux villes.
- b) La distance mesurée le long du méridien est de 656 km. Calculer le rayon terrestre.
- c) Comparer à $6 371$ km (écart relatif en %).
Incertitudes et validité des hypothèses
Le résultat dépend de deux mesures, $d$ et $\alpha$, toutes deux entachées d'erreur. L'écart relatif à une valeur de référence $V_\text{réf}$ est :
$$\frac{|V - V_\text{réf}|}{V_\text{réf}}\times 100\ \%$$Comme $C = \dfrac{360}{\alpha}\times d$, la circonférence est proportionnelle à $d$ : si $d$ est trop grande de 5 %, $C$ (et $R$) le sont aussi de 5 %. En revanche $C$ est inversement proportionnelle à $\alpha$ : un angle trop grand donne une circonférence trop petite.
Le Soleil est-il assez loin ? Depuis le Soleil ($d = 1{,}5\times10^{8}$ km), le diamètre terrestre ($12\,742$ km) est vu sous l'angle $\theta \approx \dfrac{12\,742}{1{,}5\times10^{8}}$ rad $\approx 8{,}5\times10^{-5}$ rad, soit $\approx 0{,}005^\circ$ (pour $\theta$ petit, $\theta$ en radians $\approx$ diamètre / distance, puis $\times \frac{180}{\pi}$). C'est très inférieur à l'incertitude de mesure de $0{,}2^\circ$ : l'hypothèse des rayons parallèles est justifiée.
Avec la Lune, située à environ 384 000 km, ce n'est plus vrai : l'angle vaut près de $1{,}9^\circ$ pour le diamètre terrestre, et la lumière qu'elle renvoie est de plus un reflet diffus, pas un faisceau parallèle venant d'une source lointaine. La méthode ne marcherait pas.
Principales sources d'erreur d'Ératosthène : villes pas exactement sur le même méridien, distance estimée par des marcheurs (bématistes), mesure d'angle au gnomon peu précise, Terre en réalité légèrement aplatie aux pôles.
Dans la méthode d'Ératosthène, une erreur de mesure intervient. L'angle vaut $7,2^\circ$ avec une incertitude de $\pm 0,2^\circ$ et la distance vaut 800 km. a) Calculer…
Dans la méthode d'Ératosthène, une erreur de mesure intervient. L'angle vaut $7,2^\circ$ avec une incertitude de $\pm 0,2^\circ$ et la distance vaut 800 km.
- a) Calculer la circonférence pour $7,2^\circ$.
- b) Calculer les valeurs extrêmes de la circonférence obtenues avec $7,0^\circ$ et $7,4^\circ$.
- c) En déduire l'incertitude relative sur le résultat.
Le Soleil est à une distance $d = 1,5\times10^{8}$ km de la Terre. On souhaite justifier l'hypothèse des rayons parallèles utilisée par Ératosthène. a) Calculer l'angle…
Le Soleil est à une distance $d = 1,5\times10^{8}$ km de la Terre. On souhaite justifier l'hypothèse des rayons parallèles utilisée par Ératosthène.
- a) Calculer l'angle sous lequel on voit le diamètre terrestre ($12 742$ km) depuis le Soleil, en degrés.
- b) En déduire l'erreur maximale commise sur l'angle de $7,2^\circ$ en supposant les rayons parallèles, puis conclure.
- c) Expliquer pourquoi la même méthode, appliquée à la Lune éclairée, ne serait pas valable pour mesurer la circonférence terrestre.
On considère que la Terre est sphérique. Un observateur à Brest (latitude 48,4° N) et un observateur à Bordeaux (latitude 44,8° N) mesurent le même jour, chacun à son…
On considère que la Terre est sphérique. Un observateur à Brest (latitude 48,4° N) et un observateur à Bordeaux (latitude 44,8° N) mesurent le même jour, chacun à son midi solaire local, la hauteur du Soleil. Brest et Bordeaux sont distantes d'environ 400 km sur le méridien (approximation).
- a) Quel est l'écart de hauteur du Soleil attendu entre les deux lieux ?
- b) Déterminer le rayon terrestre qu'on déduit de la distance de 400 km.
- c) Montrer que si la distance mesurée est surestimée de 5 %, le rayon l'est aussi de 5 %. Calculer alors le rayon obtenu.
Ératosthène a trouvé, selon les interprétations, une circonférence comprise entre 39 400 km et 46 000 km. La valeur actuelle est $40 075$ km. a) Calculer l'écart relatif…
Ératosthène a trouvé, selon les interprétations, une circonférence comprise entre 39 400 km et 46 000 km. La valeur actuelle est $40 075$ km.
- a) Calculer l'écart relatif pour chaque borne.
- b) Discuter les principales sources d'erreur de sa méthode (non-alignement des villes sur le méridien, mesure de distance, mesure d'angle, hypothèse de sphéricité).
- c) Calculer l'erreur en kilomètres sur la distance Syène-Alexandrie (valeur supposée de 800 km) qui correspond à 5 % d'erreur sur la circonférence.
L'essentiel
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Si les rayons solaires sont parallèles, l'angle $\alpha$ entre le rayon et la verticale est égal à l'angle au centre entre deux lieux du même méridien.
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Proportionnalité : $\dfrac{d}{C} = \dfrac{\alpha}{360^\circ}$, donc $C = \dfrac{360^\circ}{\alpha}\times d$ et $R = \dfrac{C}{2\pi}$.
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Avec un bâton : $\tan\alpha = \dfrac{\text{ombre}}{\text{hauteur}}$ ; avec les latitudes : angle au centre = différence des latitudes.
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$1^\circ$ de latitude $\approx 111$ km ; $C \approx 40\,000$ km, $R \approx 6\,371$ km.
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$C$ est proportionnelle à $d$ et inversement proportionnelle à $\alpha$ ; l'écart relatif se calcule par $\dfrac{|V - V_\text{réf}|}{V_\text{réf}}$.
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L'hypothèse des rayons parallèles est valable pour le Soleil (angle apparent du diamètre terrestre $\approx 0{,}005^\circ$), pas pour la Lune.