Gammes, intervalles et harmoniques

Intervalles et rapports de fréquences

Un intervalle est l'écart entre deux notes. Ce qui compte pour l'oreille, ce n'est pas la différence de fréquences, mais leur rapport.

Deux intervalles essentiels :

Monter d'une octave, c'est multiplier la fréquence par 2. Descendre d'une octave, c'est la diviser par 2. Deux notes à l'octave portent le même nom (la$_3$ et la$_4$) : leurs fréquences sont dans un rapport 2, donc les harmoniques de la note aiguë coïncident avec certains harmoniques de la note grave, et l'oreille les perçoit comme très semblables.

Pourquoi un rapport et pas une différence ? Du la$_2$ (220 Hz) au la$_3$ (440 Hz), on ajoute 220 Hz ; du la$_3$ au la$_4$ (880 Hz), on ajoute 440 Hz. Pourtant l'oreille entend le même intervalle : une octave. Les différences changent, le rapport reste 2.

La gamme tempérée

Sur un piano, l'octave est découpée en 12 demi-tons. Dans la gamme tempérée, tous les demi-tons ont le même rapport de fréquences $r$.

Pour passer d'une note à son octave, on enchaîne 12 demi-tons, donc on multiplie 12 fois par $r$ :

Pour monter de $k$ demi-tons, on multiplie la fréquence par $r^k = 2^{k/12}$.

Pourquoi cette gamme ? Elle permet de jouer dans toutes les tonalités avec le même instrument : tous les demi-tons sont identiques, donc on peut transposer un morceau sans qu'il sonne « faux ».

La quinte juste vaut $\dfrac{3}{2} = 1{,}5$ et correspond à 7 demi-tons. La gamme tempérée donne $2^{7/12} \approx 1{,}4983$ : très proche de 1,5, mais pas égal. On dit que la quinte tempérée est « presque juste ». L'écart relatif est de l'ordre de 0,1 %, ce qui est à peine audible.

La gamme de Pythagore

Avant la gamme tempérée, on a construit des gammes à partir d'intervalles « purs ». Dans la gamme de Pythagore, on construit toutes les notes à partir de quintes successives de rapport $\dfrac{3}{2}$.

Si le résultat sort de l'octave de départ, on le ramène dans l'octave en le divisant par 2 (ou en le multipliant par 2), ce qui ne change pas le nom de la note.

Si on enchaîne 12 quintes, on devrait retomber sur la note de départ, 7 octaves plus haut. Or :

• 12 quintes multiplient la fréquence par $\left(\dfrac{3}{2}\right)^{12} = \dfrac{3^{12}}{2^{12}}$ ;

• 7 octaves la multiplient par $2^7$ ;

• après ramenée dans l'octave, le rapport est $\dfrac{3^{12}}{2^{12} \times 2^7} = \dfrac{3^{12}}{2^{19}}$.

Calcul : $3^{12} = 531\,441$ et $2^{19} = 524\,288$, donc le rapport vaut environ $1{,}0136$, et non exactement 1. Cet écart de 1,36 % s'appelle le comma pythagoricien. La gamme ne « boucle » pas : $3^{12}$ est impair et $2^{19}$ est pair, donc ces deux nombres ne peuvent jamais être égaux. La gamme tempérée « répartit » cet écart entre les 12 quintes pour que le cycle se referme.

Harmoniques et timbre

Un instrument ne produit presque jamais un son pur, une simple sinusoïde. Son spectre contient plusieurs raies.

Exemple : pour $f_1 = 110$ Hz, l'harmonique de rang 2 est à 220 Hz (une octave plus haut), celui de rang 3 à 330 Hz, celui de rang 4 à 440 Hz.

La période du son complexe est celle du fondamental : $T = \dfrac{1}{f_1}$. Les harmoniques sont des multiples entiers de $f_1$, donc le motif se répète à chaque période du fondamental.

Le timbre dépend du nombre d'harmoniques présents et de leurs amplitudes relatives. Deux instruments jouant la même note (même fondamental) ont des spectres différents : on les distingue à l'oreille. Certains instruments, comme la clarinette, présentent surtout des harmoniques de rang impair, ce qui s'explique par la forme du tuyau (fermé à une extrémité par l'anche).

Cordes et tuyaux

Corde vibrante

Une corde fixée à ses deux extrémités ne peut vibrer qu'avec un nombre entier de « fuseaux ». Pour une longueur $L$ et une célérité $v$ des ondes sur la corde :

Le fondamental est $f_1 = \dfrac{v}{2L}$. Plus la corde est courte, plus la note est aiguë. En posant un doigt sur une case de la guitare, on raccourcit la longueur vibrante : si on divise $L$ par 2, la fréquence est multipliée par 2 (octave).

Tuyau sonore

Dans un tuyau d'orgue, c'est l'air qui vibre. Avec $v \approx 340\ \text{m·s}^{-1}$ :

Exemple : un tuyau ouvert de longueur $0{,}50$ m a pour fondamental $\dfrac{340}{2 \times 0{,}50} = 340$ Hz. À longueur égale, un tuyau fermé de même longueur donne $\dfrac{340}{4 \times 0{,}50} = 170$ Hz : une octave plus bas que le tuyau ouvert. Pour émettre la même note, le tuyau fermé doit donc être deux fois plus court : $L = \dfrac{v}{4 f_1}$ au lieu de $L = \dfrac{v}{2 f_1}$.

Battements et accordage

Quand deux sons purs de fréquences très proches $f_1$ et $f_2$ sont émis ensemble, on entend un son dont l'intensité varie régulièrement : ce sont des battements.

Pourquoi ? Les deux ondes sont tantôt en phase (le son s'amplifie), tantôt en opposition de phase (il s'atténue). L'écart entre ces deux situations se répète à la fréquence $|f_1 - f_2|$.

Retour au début : un la de 440 Hz et le la une octave plus haut (880 Hz) forment un rapport simple de 2, donc l'oreille les trouve très proches ; un la de flûte et un la de violon ont le même fondamental mais des harmoniques d'amplitudes différentes, donc des timbres différents.

L'essentiel

• Un intervalle est un rapport de fréquences : octave $= 2$, quinte juste $= \dfrac{3}{2}$.

• Gamme tempérée : 12 demi-tons de rapport $2^{1/12} \approx 1{,}0595$ ; $k$ demi-tons multiplient la fréquence par $2^{k/12}$.

• Gamme de Pythagore : quintes successives de rapport $\dfrac{3}{2}$ ramenées dans l'octave ; 12 quintes ne bouclent pas (comma $\dfrac{3^{12}}{2^{19}} \approx 1{,}0136$).

• Harmoniques : $f_n = n f_1$ ; la hauteur est celle du fondamental, le timbre dépend des amplitudes des harmoniques.

• Corde : $f_n = n\dfrac{v}{2L}$ ; tuyau ouvert : $f_n = n\dfrac{v}{2L}$ ; tuyau fermé : $f_n = (2n-1)\dfrac{v}{4L}$.

• Battements : $f_{\text{bat}} = |f_1 - f_2|$ ; ils disparaissent quand l'instrument est accordé.