Échantillonnage et quantification
Lina enregistre un morceau avec son téléphone portable à la Fête de la musique. Le micro délivre une tension qui varie de façon continue, mais le fichier qu'elle envoie à ses amis ne contient que des nombres. Comment passe-t-on d'une tension continue à une liste de nombres ? Et pourquoi un CD utilise-t-il justement 44,1 kHz et 16 bits ?
Échantillonner : mesurer à intervalles réguliers
Un microphone fournit un signal analogique : une tension qui prend toutes les valeurs possibles à chaque instant. Un ordinateur ne sait stocker qu'un nombre fini de nombres. Il faut donc numériser le signal, en deux opérations :
-
l'échantillonnage : on mesure la tension à des instants régulièrement espacés ;
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la quantification : on arrondit chaque mesure à une valeur que l'on sait écrire avec un nombre limité de bits (section 3).
Les mesures sont séparées par une durée constante : la période d'échantillonnage $T_e$. Son inverse est la fréquence d'échantillonnage $f_e$ : le nombre d'échantillons prélevés par seconde.
Pour un CD, $f_e = 44{,}1$ kHz $= 44\,100$ Hz : on prélève 44 100 mesures chaque seconde.
Un signal sonore est échantillonné à la fréquence $f_e = 44,1$ kHz. a) Calculer la période d'échantillonnage $T_e$, en microsecondes. b) Calculer le nombre…
Un signal sonore est échantillonné à la fréquence $f_e = 44,1$ kHz.
- a) Calculer la période d'échantillonnage $T_e$, en microsecondes.
- b) Calculer le nombre d'échantillons enregistrés en une seconde.
- c) Calculer le nombre d'échantillons pour une durée de 3 min.
Combien d'échantillons faut-il ? Le critère de Nyquist-Shannon
Si on prélève trop peu de mesures, on perd des informations sur le signal. Avec un signal sinusoïdal de fréquence $f$, il faut au moins quelques points par période pour retrouver sa forme.
Pourquoi ? Une sinusoïde est décrite par une montée et une descente à chaque période. Il faut donc au moins deux points par période pour « voir » ces deux mouvements.
C'est la raison du choix du CD. L'oreille humaine entend jusqu'à environ $20$ kHz, donc il faut $f_e > 40$ kHz. La valeur normalisée de $44{,}1$ kHz respecte ce critère avec une petite marge.
Le repliement de spectre
Que se passe-t-il si le critère n'est pas respecté ? Le signal restitué est faux : on entend un son plus grave qui n'existait pas. C'est le repliement de spectre (en anglais aliasing). Pour $fe/2 < f < f_e$, la fréquence apparente est
$$f_{app} = f_e - f.$$C'est le même effet que celui des roues d'une voiture qui semblent tourner lentement, ou à l'envers, dans un film : la caméra échantillonne trop lentement le mouvement.
Pour éviter le repliement avec des sons réels, qui contiennent parfois des fréquences très élevées, on place avant le convertisseur un filtre antirepliement : un filtre passe-bas qui élimine toutes les fréquences supérieures à $f_e/2$.
Le domaine audible humain s'étend d'environ 20 Hz à 20 kHz. Selon le critère de Nyquist-Shannon, la fréquence d'échantillonnage doit être supérieure au double de la…
Le domaine audible humain s'étend d'environ 20 Hz à 20 kHz. Selon le critère de Nyquist-Shannon, la fréquence d'échantillonnage doit être supérieure au double de la fréquence maximale du signal.
- a) Calculer la fréquence d'échantillonnage minimale pour numériser tout le domaine audible.
- b) Le CD utilise 44,1 kHz : cette valeur respecte-t-elle ce critère ?
Un signal sinusoïdal de fréquence 3,0 kHz est échantillonné à 4,0 kHz puis à 20 kHz. a) Calculer le nombre d'échantillons par période dans chaque cas. b) Dire dans quel…
Un signal sinusoïdal de fréquence 3,0 kHz est échantillonné à 4,0 kHz puis à 20 kHz.
- a) Calculer le nombre d'échantillons par période dans chaque cas.
- b) Dire dans quel cas le critère de Nyquist-Shannon est respecté.
- c) Dans l'autre cas, calculer la fréquence apparente du signal reconstruit ($f_e - f$) et nommer ce phénomène (repliement de spectre).
Un son de fréquence $f = 15$ kHz est numérisé avec un échantillonnage de $f_e = 22$ kHz. a) Le critère de Nyquist-Shannon est-il respecté ? Justifier. b) Calculer la…
Un son de fréquence $f = 15$ kHz est numérisé avec un échantillonnage de $f_e = 22$ kHz.
- a) Le critère de Nyquist-Shannon est-il respecté ? Justifier.
- b) Calculer la fréquence apparente du signal restitué.
- c) Proposer, en justifiant par un calcul, une fréquence d'échantillonnage et un filtre antirepliement permettant de numériser correctement tout son jusqu'à 15 kHz.
- d) Un technicien affirme qu'augmenter indéfiniment le nombre de bits compense une mauvaise fréquence d'échantillonnage. Réfuter cette affirmation.
Quantifier : arrondir chaque mesure
Chaque échantillon est une tension que le convertisseur analogique-numérique (CAN) doit écrire sous forme d'un nombre binaire. Avec $n$ bits, on peut écrire $2^n$ nombres différents : ce sont les niveaux de quantification.
| $n$ (bits) | Niveaux $2^n$ |
|---|---|
| 8 | 256 |
| 10 | 1 024 |
| 16 | 65 536 |
| 24 | 16 777 216 |
La plage de tensions que peut convertir le CAN (par exemple de $-5$ V à $+5$ V) est découpée en $2^n$ intervalles égaux. La largeur d'un intervalle est le pas de quantification $q$.
Plus $n$ est grand, plus $q$ est petit et plus la tension numérisée est proche de la tension réelle. Mais chaque échantillon occupe aussi plus de place : $24$ bits pèsent $1{,}5$ fois plus que $16$ bits.
L'erreur relative : bien utiliser la plage
L'erreur $q/2$ est la même pour tous les signaux. Mais elle pèse beaucoup plus sur un petit signal. On compare donc l'erreur à l'amplitude :
$$\text{erreur relative} = \frac{q/2}{\text{amplitude du signal}}.$$Avec $q/2 = 6{,}5$ mV, une amplitude de $3{,}0$ V donne $0{,}2\ \%$ d'erreur. Une amplitude de $30$ mV donne plus de $20\ \%$. Il faut donc régler l'amplification pour que le signal occupe la plus grande partie de la plage du convertisseur.
Un convertisseur analogique-numérique code chaque échantillon sur $n$ bits. a) Calculer le nombre de valeurs différentes possibles pour $n = 8$, puis $n = 16$. b)…
Un convertisseur analogique-numérique code chaque échantillon sur $n$ bits.
- a) Calculer le nombre de valeurs différentes possibles pour $n = 8$, puis $n = 16$.
- b) Indiquer l'effet d'une augmentation du nombre de bits sur la qualité du signal numérisé.
Un convertisseur code des tensions comprises entre $-5,0$ V et $+5,0$ V sur 10 bits. a) Calculer le nombre de niveaux de quantification. b) Calculer le pas de…
Un convertisseur code des tensions comprises entre $-5,0$ V et $+5,0$ V sur 10 bits.
- a) Calculer le nombre de niveaux de quantification.
- b) Calculer le pas de quantification $q$ en millivolts (on prendra $q = \dfrac{\text{plage}}{2^{n}}$).
- c) Donner la valeur numérique (le code, de 0 à $2^{10}-1$) la plus proche d'une tension de $+1,25$ V.
On numérise un signal de tension dont l'amplitude maximale est 2,0 V, sur une plage de $\pm 2,5$ V avec un convertisseur de $n$ bits. L'erreur de quantification maximale…
On numérise un signal de tension dont l'amplitude maximale est 2,0 V, sur une plage de $\pm 2,5$ V avec un convertisseur de $n$ bits. L'erreur de quantification maximale est $q/2$ où $q$ est le pas.
- a) Exprimer $q$ en fonction de $n$.
- b) Calculer le nombre minimal de bits pour que l'erreur maximale soit inférieure à 1,0 mV.
- c) Calculer l'erreur relative maximale sur l'amplitude de 2,0 V pour ce nombre de bits.
- d) Calculer l'erreur relative pour un signal très faible d'amplitude 10 mV et conclure sur l'intérêt de bien utiliser la plage du convertisseur.
Débit, taille d'un fichier et compression
Chaque seconde, on stocke $f_e$ échantillons, chacun codé sur $n$ bits, et ceci pour chacune des $V$ voies (1 en mono, 2 en stéréo).
Pour un CD stéréo, $D = 2 \times 44\,100 \times 16 = 1\,411\,200$ bit·s$^{-1}$, soit environ $1\,411$ kbit·s$^{-1}$. C'est beaucoup pour une radio sur internet ou un téléphone. On compresse donc le fichier. Avec un débit de $128$ kbit·s$^{-1}$, le taux de compression est
$$\tau = \frac{1\,411}{128} \approx 11.$$Un fichier MP3 est ainsi environ onze fois plus léger. La compression « avec perte » supprime ce que l'oreille perçoit peu :
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les sons situés sous le seuil d'audition ;
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les sons « masqués » par un son voisin plus fort ;
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les fréquences très aiguës, au-delà de 16 kHz environ, que l'on entend mal.
On gagne beaucoup de place, mais l'information supprimée ne se récupère plus.
Retour au début : le téléphone de Lina mesure la tension du micro environ $44\,100$ fois par seconde, arrondit chaque valeur sur 16 bits, puis stocke ces nombres. Le fichier peut ensuite être compressé pour être envoyé plus vite.
Un enregistrement stéréo (2 voies) de 4 min est numérisé à 44,1 kHz, avec 16 bits par échantillon. a) Calculer le nombre de bits par seconde. b) Calculer la taille du…
Un enregistrement stéréo (2 voies) de 4 min est numérisé à 44,1 kHz, avec 16 bits par échantillon.
- a) Calculer le nombre de bits par seconde.
- b) Calculer la taille du fichier, en mégaoctets (1 octet $= 8$ bits ; 1 Mo $= 10^6$ octets).
- c) Calculer la taille obtenue si on passe à 24 bits et 96 kHz.
Une radio numérique diffuse un son stéréo, échantillonné à 48 kHz sur 16 bits par voie, qui est ensuite compressé pour un débit de 128 kbit·s$^{-1}$. a) Calculer le…
Une radio numérique diffuse un son stéréo, échantillonné à 48 kHz sur 16 bits par voie, qui est ensuite compressé pour un débit de 128 kbit·s$^{-1}$.
- a) Calculer le débit non compressé en kbit·s$^{-1}$.
- b) Calculer le taux de compression (rapport des débits).
- c) Calculer le volume de données diffusé en une heure de programme, en Mo, avec et sans compression (1 octet = 8 bits ; 1 Mo = $10^6$ octets).
- d) Expliquer pourquoi une compression « avec perte » (MP3) est possible sur un son (limites de l'audition).
L'essentiel
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Numériser un signal, c'est l'échantillonner (mesures à la fréquence $f_e = 1/T_e$) puis le quantifier (arrondi sur $n$ bits, soit $2^n$ niveaux).
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Nyquist-Shannon : $f_e > 2 f_{max}$. Sinon, il y a repliement de spectre et une fréquence apparente $f_e - f$ qui n'existait pas.
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Un filtre antirepliement (passe-bas) supprime avant conversion les fréquences supérieures à $f_e/2$.
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Pas de quantification $q = \text{plage}/2^n$ ; erreur maximale $q/2$. L'erreur relative est d'autant plus grande que le signal est faible devant la plage.
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Débit $D = f_e \times n \times V$ ; taille $= D \times \Delta t$ ($8$ bits $= 1$ octet). La compression avec perte (MP3) réduit le débit en supprimant ce que l'oreille perçoit peu.