Tablas y gráficas
¿Cuántos espectadores tenía un streamer en cada minuto de su transmisión? ¿Cómo baja la batería de tu celular a lo largo del día? ¿A qué hora del día se llena más una parada del Metro de Quito? Estas situaciones se anotan en una tabla y se dibujan en una gráfica. Aprender a leerlas es casi tan importante como saber hacer cuentas.
El plano cartesiano
Los dos ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes, que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj. Para llegar a $A(4, 2)$: desde el origen, 4 pasos a la derecha y 2 hacia arriba. Para $B(-4, -3)$: 4 a la izquierda y 3 hacia abajo.
El plano como mapa: posición y trayectoria
El plano cartesiano también sirve como mapa con cuadrícula. En el Centro Histórico de Quito, las calles forman una cuadrícula y cada esquina se ubica con dos números. Una trayectoria es la lista de posiciones por las que pasa un objeto. Si Camila sale de su casa $(0, 0)$, camina 3 cuadras al este y luego 2 al norte, pasa por $(3, 0)$ y llega a $(3, 2)$.
También los mapas geográficos tienen una cuadrícula: cada lugar de Ecuador se ubica con dos números, la latitud (qué tan al norte o al sur de la línea ecuatorial está) y la longitud (qué tan al este o al oeste del meridiano de Greenwich). Se parece al plano cartesiano, porque en ambos una posición se da con un par de números. Pero en el mapa geográfico los ejes son líneas imaginarias sobre la Tierra y las coordenadas se miden en grados, no en unidades de una cuadrícula. Por ejemplo, Quito está muy cerca de la línea ecuatorial, a unos $0{,}2^\circ$ de latitud sur.
Punto medio de un segmento
El punto medio de un segmento está justo a la mitad entre sus extremos. Como queda a medio camino en horizontal y a medio camino en vertical, sus coordenadas son el promedio de las coordenadas de los extremos.
Sitúa los siguientes puntos en un sistema de referencia cartesiano e indica en qué cuadrante o eje se encuentra cada uno: $A = (4, 3)$ $B = (-2, 5)$ $C = (-3, -4)$…
Sitúa los siguientes puntos en un sistema de referencia cartesiano e indica en qué cuadrante o eje se encuentra cada uno:
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$A = (4, 3)$
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$B = (-2, 5)$
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$C = (-3, -4)$
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$D = (0, -2)$
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$E = (5, 0)$
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$F = (1, -3)$
Recuerda que si una coordenada es $0$, el punto se encuentra sobre uno de los ejes.
Dibuja un sistema de ejes cartesianos y representa los siguientes puntos: $P_1 = (-3, 2)$, $P_2 = (3, 2)$ y $P_3 = (0, -3)$. Une los puntos en orden ($P_1$ con $P_2$,…
Dibuja un sistema de ejes cartesianos y representa los siguientes puntos: $P_1 = (-3, 2)$, $P_2 = (3, 2)$ y $P_3 = (0, -3)$.
Une los puntos en orden ($P_1$ con $P_2$, $P_2$ con $P_3$ y $P_3$ con $P_1$).
- a) ¿Qué figura geométrica has formado?
- b) Indica las coordenadas del punto medio del segmento que une $P_1$ y $P_2$.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Estamos diseñando un mapa para un videojuego de aventuras en un plano cartesiano. La base principal está en el origen $O(0,0)$. 1. Sitúa los siguientes puntos de…
Estamos diseñando un mapa para un videojuego de aventuras en un plano cartesiano. La base principal está en el origen $O(0,0)$.
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Sitúa los siguientes puntos de interés:
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El Bosque Oscuro en $A(-5, 4)$.
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La Cueva del Dragón en $B(3, -6)$.
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El Castillo abandonado en $C(-2, -3)$.
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Si un jugador se mueve desde la base hacia el este 4 unidades y luego hacia el norte 2 unidades, ¿en qué coordenadas se encuentra? Llámalo punto $D$.
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¿En qué cuadrante se encuentra cada uno de los puntos anteriores?
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El "Área Peligrosa" es un rectángulo cuyos vértices son $P(-2, 2)$, $Q(2, 2)$, $R(2, -2)$ y $S(-2, -2)$. ¿Está la base dentro de esta área?
Construir una tabla de valores
Cuando dos cantidades están relacionadas (el tiempo y la distancia, los minutos y el precio), conviene organizar algunos casos en una tabla de valores: una fila para la variable que tú eliges (independiente, $x$) y otra para la que depende de ella (dependiente, $y$). Si a cada valor de $x$ le corresponde un solo valor de $y$, la relación es una función.
Los puntos de la tabla, dibujados en el plano, son el primer paso de la gráfica: se colocan y, si tiene sentido unirlos, se unen con una línea.
Una aplicación de música cobra una suscripción mensual fija de $5$ dólares. Crea una tabla de valores que relacione el número de meses (del mes $1$ al mes $5$) con el…
Una aplicación de música cobra una suscripción mensual fija de $5$ dólares. Crea una tabla de valores que relacione el número de meses (del mes $1$ al mes $5$) con el costo total acumulado que ha pagado un usuario. Después, representa esos puntos en un plano cartesiano.
Nota: Considera el tiempo en el eje horizontal ($X$) y el dinero en el eje vertical ($Y$).
Una plataforma de películas en streaming ofrece una tarifa básica que cuesta $8$ dólares al mes, más un suplemento de $1,50$ dólares por cada estreno alquilado. a)…
Una plataforma de películas en streaming ofrece una tarifa básica que cuesta $8$ dólares al mes, más un suplemento de $1,50$ dólares por cada estreno alquilado.
- a) Completa la siguiente tabla de valores que relaciona el número de estrenos alquilados ($x$) con el costo total mensual ($y$):
| Estrenos ($x$) | 0 | 1 | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| Costo dólares ($y$) |
- b) Escribe la fórmula algebraica que permite calcular el costo total mensual.
- c) Representa los puntos en un sistema de ejes. ¿Tiene sentido unir los puntos con una línea continua? Justifica tu respuesta.
Analiza las siguientes situaciones y determina en cuáles existe una relación de función. Para las que sí lo sean, indica cuál es la variable independiente ($x$) y cuál…
Analiza las siguientes situaciones y determina en cuáles existe una relación de función. Para las que sí lo sean, indica cuál es la variable independiente ($x$) y cuál la dependiente ($y$):
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La distancia recorrida por una bicicleta que circula a $15$ km/h y el tiempo transcurrido.
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El número de seguidores de un "influencer" y el color de su pelo.
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El peso de las manzanas que compras en la frutería y el dinero que pagas por ellas.
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La edad de una persona y su altura a lo largo de su vida.
Relaciones proporcionales y no proporcionales
Mira dos tablas. En la primera, cada cola cuesta $\$0{,}75$. En la segunda, el scooter cobra $\$1$ de desbloqueo y $\$0{,}20$ por minuto.
| Gaseosas ($x$) | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|
| Pago en dólares ($y$) | $0$ | $0{,}75$ | $1{,}50$ | $2{,}25$ |
| Minutos ($x$) | $0$ | $5$ | $10$ | $15$ |
|---|---|---|---|---|
| Costo en dólares ($y$) | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
Las mismas relaciones se pueden ver en un diagrama de flechas: a la izquierda los valores de $x$, a la derecha los de $y$ que les corresponden.
En la primera, al duplicar $x$ se duplica $y$ y el cociente $y/x$ siempre es $0{,}75$: es una relación proporcional, $y = 0{,}75x$, y su gráfica es una recta que pasa por el origen. En la segunda, con $0$ minutos ya pagas $\$1$ y el cociente $y/x$ cambia ($2/5 = 0{,}4$, $3/10 = 0{,}3$): es no proporcional, $y = 0{,}2x + 1$; su gráfica es una recta, pero no pasa por el origen.
Una tarifa de encomienda con un cobro fijo más un cobro por cada kilo adicional es no proporcional. Si el cobro cambia por tramos, la gráfica queda formada por segmentos con distinta inclinación.
Observa la siguiente tabla de valores que relaciona la profundidad de un submarino de exploración con la presión que soporta: | Profundidad ($m$) | $0$ | $10$ | $20$ |…
Observa la siguiente tabla de valores que relaciona la profundidad de un submarino de exploración con la presión que soporta:
| Profundidad ($m$) | $0$ | $10$ | $20$ | $30$ | $40$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Presión ($atm$) | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
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Representa los puntos en un plano cartesiano.
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¿Los puntos están alineados? Si es así, dibuja la recta que los une.
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Encuentra la regla o fórmula que permite calcular la presión ($y$) conociendo la profundidad ($x$).
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Si el submarino solo resiste hasta $12 atm$ de presión, ¿cuál es la profundidad máxima a la que puede bajar?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Dos gimnasios del barrio tienen estas tarifas: el gimnasio «Forja» cobra $\$20$ de inscripción más $\$15$ al mes, y el gimnasio «Impulso» no cobra inscripción pero…
Dos gimnasios del barrio tienen estas tarifas: el gimnasio «Forja» cobra $\$20$ de inscripción más $\$15$ al mes, y el gimnasio «Impulso» no cobra inscripción pero cuesta $\$25$ al mes.
- a) Haz una tabla con lo que paga un cliente en total tras $1$, $2$, $4$, $6$, $8$ y $12$ meses en cada gimnasio.
- b) Escribe la fórmula que da el costo total en función del número de meses $m$ para cada gimnasio.
- c) Si piensas inscribirte medio año, ¿qué gimnasio te conviene más? ¿Y si te inscribes un año entero? Razona tu respuesta con los cálculos de la tabla.
Dos empresas de alquiler de monopatines eléctricos ofrecen las siguientes tarifas: Empresa A (Eco-Slide): No tiene costo de desbloqueo, pero cobra $\$0,20…
Dos empresas de alquiler de monopatines eléctricos ofrecen las siguientes tarifas:
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Empresa A (Eco-Slide): No tiene costo de desbloqueo, pero cobra $\$0,20$ por cada minuto de uso.
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Empresa B (City-Roll): Cobra $\$1$ por el desbloqueo y $\$0,10$ por cada minuto de uso.
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Expresa mediante una fórmula la relación entre el tiempo ($x$) y el costo total ($y$) para ambas empresas.
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Elabora una tabla de valores comparativa para $0, 5, 10, 15$ y $20$ minutos.
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Representa ambas funciones en el mismo gráfico cartesiano.
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¿A partir de cuántos minutos empieza a ser más barata la Empresa B? Justifica tu respuesta observando el punto donde se cortan las gráficas.
Leer e interpretar una gráfica
Una gráfica cuenta una historia sin palabras. Hay que saber leer dónde sube (crece), dónde baja (decrece), dónde se queda igual (constante) y dónde está el valor más alto (máximo) o más bajo (mínimo).
Tipos de gráfica y correlación
Si te piden describir cómo sería la gráfica de una situación (la altura de una persona, el agua de un embalse), piensa por tramos: ¿qué pasa al principio?, ¿cuándo se mantiene igual?, ¿cuándo cambia?, y justifica cada tramo con la situación.
Según la variable, la gráfica puede ser de puntos (datos sueltos, como los libros leídos por cada amiga), continua (cada instante tiene valor, como la temperatura) o formada por segmentos (varios tramos rectos, como un recorrido con paradas o una tarifa por tramos).
Si al aumentar $x$ también aumenta $y$, hay correlación positiva (más tiempo de carga, más batería). Si al aumentar $x$ disminuye $y$, hay correlación negativa (más horas de uso, menos batería).
Dominio y rango
El dominio de una función son todos los valores de $x$ para los que la gráfica tiene un punto: va desde donde empieza la gráfica hasta donde termina, medido en el eje horizontal. El rango son los valores de $y$ que alcanza, del mínimo al máximo. En una gráfica de temperatura, la amplitud térmica es otra cosa: la diferencia entre la temperatura máxima y la mínima.
¿Tiene sentido el valor entre dos puntos de la tabla? El tiempo es continuo, por eso se puede unir con una línea. Si la variable solo tiene sentido en valores sueltos (por ejemplo, el número de hermanos de cada alumno), no se une con una línea continua.
Veamos una gráfica concreta de temperatura de un enfermo a lo largo del día:
La gráfica muestra cómo ha ido creciendo una planta de tomate del huerto escolar durante $8$ semanas. a) ¿Cuánto medía la planta en la semana $5$? b) ¿En qué semana…
La gráfica muestra cómo ha ido creciendo una planta de tomate del huerto escolar durante $8$ semanas.
- a) ¿Cuánto medía la planta en la semana $5$?
- b) ¿En qué semana superó por primera vez los $30$ cm?
- c) ¿Entre qué dos semanas consecutivas creció más? ¿Cuánto creció?
- d) ¿Crees que en la semana $12$ medirá $50$ cm? Razona tu respuesta observando la forma de la gráfica.
Marta está entrenando para una carrera. La gráfica muestra la distancia que recorre desde que sale de su casa. a) ¿A qué distancia de su casa se encuentra a los $20$…
Marta está entrenando para una carrera. La gráfica muestra la distancia que recorre desde que sale de su casa.
- a) ¿A qué distancia de su casa se encuentra a los $20$ minutos?
- b) Marta se detuvo en una fuente a beber agua. ¿En qué intervalo de tiempo ocurrió esto? ¿Cuánto tiempo estuvo parada?
- c) ¿A qué velocidad (en metros por minuto) corrió durante los primeros $10$ minutos? Ayuda: $Velocidad = Distancia / Tiempo$.
Un "Gamer" está transmitiendo una partida en directo. El siguiente gráfico muestra el número de espectadores a lo largo de los 60 minutos que duró la conexión. Analiza…
Un "Gamer" está transmitiendo una partida en directo. El siguiente gráfico muestra el número de espectadores a lo largo de los 60 minutos que duró la conexión.
Analiza el gráfico y responde:
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¿Cuál es el dominio de la función (tiempo total)?
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¿En qué intervalos de tiempo el número de espectadores fue creciente? ¿En cuáles fue decreciente?
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Indica los puntos máximos y mínimos (espectadores y minuto en el que ocurren).
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Si el servidor le paga un bonus si mantiene más de 500 personas conectadas durante al menos 15 minutos seguidos, ¿consiguió el bonus?
Elegir y comparar gráficas
No todos los datos se dibujan igual. Una gráfica de barras compara categorías separadas (deportes favoritos). Una gráfica de línea muestra cómo cambia algo con el tiempo. Una gráfica circular muestra cómo se reparte un total en partes.
Además, cuando una cantidad se acerca poco a poco a un valor, como un chocolate caliente que se enfría hasta la temperatura del cuarto, la gráfica es curva, no una recta.
Para cada uno de estos estudios, indica qué tipo de gráfico te parece más adecuado (diagrama de barras, de líneas o circular) y justifica tu elección: a) La evolución de…
Para cada uno de estos estudios, indica qué tipo de gráfico te parece más adecuado (diagrama de barras, de líneas o circular) y justifica tu elección:
- a) La evolución de la temperatura de un enfermo durante tres días.
- b) El deporte favorito de los estudiantes de un colegio.
- c) La distribución del presupuesto mensual de una familia entre vivienda, comida, transporte y entretenimiento.
- d) El número de visitas diarias a la página web del colegio durante un mes.
En un estudio sobre el rendimiento de las computadoras "gamer", se ha medido la temperatura del procesador ($^{\circ}C$) durante los primeros $10$ minutos de una partida…
En un estudio sobre el rendimiento de las computadoras "gamer", se ha medido la temperatura del procesador ($^{\circ}C$) durante los primeros $10$ minutos de una partida en línea. Los datos obtenidos son: $M(0, 30)$, $A(2, 45)$, $B(4, 60)$, $C(6, 60)$, $D(8, 75)$ y $E(10, 80)$.
- a) Representa la gráfica de temperaturas situando el tiempo en el eje de abscisas y la temperatura en el de ordenadas.
- b) Indica si la función es creciente, decreciente o constante en el intervalo de tiempo que va de los $4$ a los $6$ minutos.
- c) ¿Cuál es la temperatura máxima alcanzada y en qué momento ocurre?
Se ha realizado un experimento para ver cómo se enfría un chocolate caliente. Se han tomado medidas cada $2$ minutos: | Tiempo (min) | $0$ | $2$ | $4$ | $6$ | $8$ | $10$…
Se ha realizado un experimento para ver cómo se enfría un chocolate caliente. Se han tomado medidas cada $2$ minutos:
| Tiempo (min) | $0$ | $2$ | $4$ | $6$ | $8$ | $10$ | $12$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Temp (°C) | $80$ | $60$ | $45$ | $35$ | $28$ | $24$ | $22$ |
- a) Representa la gráfica en tu cuaderno (tiempo en el eje horizontal y temperatura en el vertical). ¿Es una línea recta? Explica por qué.
- b) ¿La función es creciente o decreciente?
- c) Observa la tendencia de los datos: ¿crees que la temperatura bajará de $0\,^\circ C$ si esperamos mucho tiempo? (Ten en cuenta que la temperatura de la habitación es de $20\,^\circ C$).
- d) Fíjate en los intervalos de $2$ minutos de la tabla: ¿en cuál de ellos bajó más rápido la temperatura?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Vuelve al principio: en una gráfica de pasajeros del Metro de Quito por hora, los picos marcan las horas de más afluencia; igual, en la gráfica de una transmisión, el tiempo va en el eje horizontal ($X$) y los espectadores en el vertical ($Y$): los picos marcan los momentos de máxima audiencia y las bajadas indican cuándo se desconecta el público.