Problemas con ecuaciones
Valentina y Mateo juntan plata para el regalo de cumpleaños de su profesora, y el enunciado dice que ella puso el doble que él y que entre los dos juntaron 15 dólares. Resolver una ecuación ya sabes hacerlo. Lo difícil es plantearla: convertir un enunciado en una igualdad con una $x$. Con un método claro y unos pocos modelos, la mayoría de los problemas se vuelven rutina.
El método en pasos
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Elige la incógnita y escribe qué significa: «$x$ = canicas que tiene Mateo». No te quedes solo con la letra: anota a qué número se refiere.
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Traduce cada dato de la frase usando esa misma $x$.
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Plantea la ecuación con el dato que falta (normalmente un total o una igualdad) y resuélvela.
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Comprueba con el enunciado, no con la ecuación (podría estar mal planteada), y responde con una frase y con unidades.
Si a un número le sumas su consecutivo (el número que va justo después), el resultado es $43$. Plantea una ecuación para averiguar de qué número se trata.
Si a un número le sumas su consecutivo (el número que va justo después), el resultado es $43$. Plantea una ecuación para averiguar de qué número se trata.
Un grupo de amigos compra una pizza familiar que cuesta $12$ dólares. Si después de pagarla les sobran $8$ dólares del dinero que habían reunido, ¿cuánto dinero tenían…
Un grupo de amigos compra una pizza familiar que cuesta $12$ dólares. Si después de pagarla les sobran $8$ dólares del dinero que habían reunido, ¿cuánto dinero tenían al principio? Representa la cantidad inicial con la letra $x$.
La balanza y la ecuación
Una ecuación es una balanza en equilibrio: lo que hay en un platillo pesa lo mismo que lo que hay en el otro. Si en un platillo hay 2 cajas iguales de $x$ kg y una pesa de 1 kg, y en el otro una pesa de 7 kg, la ecuación es $2x + 1 = 7$.
Para resolverla razonas con el equilibrio: si sacas 1 kg de cada platillo, sigue equilibrada, y queda $2x = 6$. Dos cajas pesan 6 kg, entonces cada una pesa $x = 3$ kg. Comprobación: $2 \cdot 3 + 1 = 7$ ✓.
En el laboratorio de Ciencias tenemos una balanza en equilibrio, como muestra la figura. En el plato de la izquierda hay $2$ cajas iguales (que pesan $x$ kg cada una) y…
En el laboratorio de Ciencias tenemos una balanza en equilibrio, como muestra la figura. En el plato de la izquierda hay $2$ cajas iguales (que pesan $x$ kg cada una) y una pesa de $1$ kg. En el plato de la derecha hay una pesa de $7$ kg. Escribe la ecuación que representa este equilibrio y calcula cuánto pesa cada caja.
«El doble que», «el triple que» y números consecutivos
Hay datos que aparecen una y otra vez:
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Consecutivos: si el primer número es $x$, el siguiente es $x + 1$ y el otro $x + 2$.
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«El doble/triple que otra cantidad»: si Mateo tiene $x$ canicas y Camila el doble, Camila tiene $2x$. Si el triple, $3x$.
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«n más que» / «n menos que»: si Santiago tiene $10$ más que Mateo, tiene $x + 10$.
Cuando hay dos cantidades que suman un total, la incógnita es la menor (la «base» de la comparación) y la otra se escribe a partir de ella.
Marcos está jugando a un videojuego y ha conseguido en el nivel actual el doble de puntos que en el nivel anterior. Si entre los dos niveles suma un total de $150$…
Marcos está jugando a un videojuego y ha conseguido en el nivel actual el doble de puntos que en el nivel anterior. Si entre los dos niveles suma un total de $150$ puntos, ¿cuántos puntos obtuvo en cada nivel? Llama $x$ a los puntos del primer nivel.
En una estantería de una tienda de cómics hay el triple de mangas de acción que de misterio. Si en total hay $48$ cómics entre ambos géneros, ¿cuántos hay de cada clase?…
En una estantería de una tienda de cómics hay el triple de mangas de acción que de misterio. Si en total hay $48$ cómics entre ambos géneros, ¿cuántos hay de cada clase? Llama $x$ a los cómics de misterio.
En el cumpleaños de Adrián, se han repartido invitaciones de dos tipos: digitales y en papel. El número de invitaciones digitales ha sido el triple que el de papel. Si…
En el cumpleaños de Adrián, se han repartido invitaciones de dos tipos: digitales y en papel. El número de invitaciones digitales ha sido el triple que el de papel. Si en total se han enviado 48 invitaciones, ¿cuántas personas han recibido la invitación en papel y cuántas en formato digital?
Problemas de edades
Para las edades conviene hacer una tablita con «hoy» y «dentro de» tantos años. El tiempo pasa igual para todos, así que se suma lo mismo a cada edad.
| Hoy | Dentro de 6 años | |
|---|---|---|
| Doménica | $x$ | $x + 6$ |
| Sebastián | $x + 4$ | $x + 10$ |
Amina tiene $3$ años más que su hermano pequeño. Si entre los dos suman $19$ años, ¿qué edad tiene cada uno? Llama $x$ a la edad del hermano pequeño.
Amina tiene $3$ años más que su hermano pequeño. Si entre los dos suman $19$ años, ¿qué edad tiene cada uno? Llama $x$ a la edad del hermano pequeño.
Héctor tiene 5 años más que su hermana Ainhoa. Dentro de 8 años, la suma de sus edades será de 41 años. ¿Qué edad tiene actualmente cada uno? (Recuerda sumar 8 años a la…
Héctor tiene 5 años más que su hermana Ainhoa. Dentro de 8 años, la suma de sus edades será de 41 años. ¿Qué edad tiene actualmente cada uno?
(Recuerda sumar 8 años a la edad de cada uno para plantear la suma futura).
Tres cantidades
Si hay tres cantidades relacionadas, llama $x$ a una de ellas y escribe las otras dos en función de $x$. Después, todas juntas dan el total.
Tres amigos están comparando cuántas canciones tienen en su lista de reproducción favorita. Lucía tiene el doble de canciones que Marcos, y Sara tiene 15 canciones más…
Tres amigos están comparando cuántas canciones tienen en su lista de reproducción favorita. Lucía tiene el doble de canciones que Marcos, y Sara tiene 15 canciones más que Marcos. Si entre los tres suman un total de 155 canciones, ¿cuántas canciones tiene cada uno en su lista? Plantea una ecuación donde $x$ sea el número de canciones de Marcos.
El profesor de Educación Física ha comprado tres cajas de pelotas de tenis. En la segunda caja hay el doble de pelotas que en la primera, y en la tercera hay $10$…
El profesor de Educación Física ha comprado tres cajas de pelotas de tenis. En la segunda caja hay el doble de pelotas que en la primera, y en la tercera hay $10$ pelotas más que en la segunda. Si en total hay $85$ pelotas, ¿cuántas pelotas contiene cada caja?
Un creador de contenido digital ha revisado sus estadísticas mensuales. El video de humor tiene el doble de visualizaciones que el de tecnología, y el video de viajes…
Un creador de contenido digital ha revisado sus estadísticas mensuales. El video de humor tiene el doble de visualizaciones que el de tecnología, y el video de viajes tiene $4000$ visualizaciones más que el de humor. Si entre los tres suman un total de $24000$ visualizaciones, ¿cuántas tiene cada video?
Repartos de dinero y cantidades con «menos que»
Cuando varias personas se reparten un gasto, llama $x$ a la parte de una de ellas y escribe las demás en función de $x$. La ecuación sale de que las partes, juntas, forman el total.
Marta ha comprado un videojuego de oferta y un mando nuevo. El mando le ha costado $25$ dólares menos que el videojuego. Si ha pagado en total por las dos cosas $89$…
Marta ha comprado un videojuego de oferta y un mando nuevo. El mando le ha costado $25$ dólares menos que el videojuego. Si ha pagado en total por las dos cosas $89$ dólares, ¿cuál es el precio original de cada artículo sin contar otros descuentos?
En una tienda de videojuegos, han vendido el triple de copias de un juego de aventuras que de uno de deportes. Además, han vendido $15$ unidades menos de un juego de…
En una tienda de videojuegos, han vendido el triple de copias de un juego de aventuras que de uno de deportes. Además, han vendido $15$ unidades menos de un juego de plataformas que del de aventuras. Si en total han vendido $125$ videojuegos entre los tres títulos, ¿cuántas copias se han vendido de cada uno?
Tres hermanos, Alberto, Berta y Carlos, quieren comprar un regalo para sus padres que cuesta $105$ dólares. Alberto aporta una cantidad de dinero, Berta pone el doble…
Tres hermanos, Alberto, Berta y Carlos, quieren comprar un regalo para sus padres que cuesta $105$ dólares. Alberto aporta una cantidad de dinero, Berta pone el doble que Alberto y Carlos pone $15$ dólares menos que Berta. ¿Cuánto dinero aporta cada uno para que les llegue justo para el regalo?
Problemas con perímetros
En geometría, dibuja siempre la figura y anota las medidas con $x$. Después usa el perímetro: la suma de todos los lados.
Estamos diseñando un logo para un equipo de e-sports con forma de triángulo isósceles. Queremos que el perímetro sea de $30$ cm. Si la base mide $10$ cm y los otros dos…
Estamos diseñando un logo para un equipo de e-sports con forma de triángulo isósceles. Queremos que el perímetro sea de $30$ cm. Si la base mide $10$ cm y los otros dos lados son iguales, ¿cuánto debe medir cada uno de esos lados ($x$)?
Queremos vallar un pequeño huerto rectangular para plantar tomates. El largo del huerto es el doble que el ancho. Si hemos utilizado $18$ metros de valla para rodearlo…
Queremos vallar un pequeño huerto rectangular para plantar tomates. El largo del huerto es el doble que el ancho. Si hemos utilizado $18$ metros de valla para rodearlo por completo (perímetro), ¿cuánto miden el ancho y el largo del huerto?
El perímetro de un parque tecnológico con forma de triángulo isósceles es de $110$ metros. Sabemos que cada uno de los lados iguales mide $10$ metros más que el doble de…
El perímetro de un parque tecnológico con forma de triángulo isósceles es de $110$ metros. Sabemos que cada uno de los lados iguales mide $10$ metros más que el doble de la base. Calcula la medida de cada uno de los tres lados del parque planteando una ecuación.
Dos tipos de objetos con un total
Hay problemas con dos clases de cosas (carros y motos, billetes de dos valores) donde sabes cuántos hay en total y el valor total. La clave: si $x$ es la cantidad de una clase, la otra es «total $- x$».
En un parqueadero de un centro comercial hay un total de $32$ vehículos entre carros y motos. Si contamos las ruedas de todos ellos (sin incluir las de repuesto),…
En un parqueadero de un centro comercial hay un total de $32$ vehículos entre carros y motos. Si contamos las ruedas de todos ellos (sin incluir las de repuesto), obtenemos un total de $94$ ruedas. Calcula cuántos carros y cuántas motos hay en el parqueadero.
(Pista: Si llamamos $x$ al número de carros, el número de motos será $32 - x$).
En una alcancía hay monedas de $0,50$ dólares y de $1$ dólar. En total hay $35$ monedas que suman un valor de $26$ dólares. ¿Cuántas monedas de cada tipo hay en la…
En una alcancía hay monedas de $0,50$ dólares y de $1$ dólar. En total hay $35$ monedas que suman un valor de $26$ dólares. ¿Cuántas monedas de cada tipo hay en la alcancía? (Pista: si llamas $x$ al número de monedas de $1$ dólar, el número de monedas de $0,50$ dólares será $35 - x$).
Cuando la x aparece en los dos lados
A veces la misma cantidad se expresa de dos maneras y se igualan. Entonces queda $x$ en los dos platillos de la balanza. La idea es sacar la misma cantidad de $x$ de cada lado hasta que quede una sola.
En los problemas de edades «dentro de $n$ años» pasa lo mismo: si la madre tiene el triple de edad que su hija ($3x$) y dentro de $12$ años tendrá el doble ($2(x + 12)$), igualas $3x + 12 = 2(x + 12)$. Distribuye el $2$ y sigue como arriba.
Para equilibrar una balanza en el laboratorio de Ciencias Naturales, hemos colocado en el platillo izquierdo una piedra que pesa un valor desconocido $x$ y una pesa de…
Para equilibrar una balanza en el laboratorio de Ciencias Naturales, hemos colocado en el platillo izquierdo una piedra que pesa un valor desconocido $x$ y una pesa de $12$ gramos. En el platillo derecho, para que esté en equilibrio, hemos tenido que poner cuatro pesas iguales, cada una de ellas con el mismo peso $x$ que la piedra original. ¿Cuánto pesa la piedra?
La madre de Salma tiene actualmente el triple de edad que ella. Dentro de $12$ años, la edad de la madre será solo el doble que la de Salma. ¿Qué edad tienen actualmente…
La madre de Salma tiene actualmente el triple de edad que ella. Dentro de $12$ años, la edad de la madre será solo el doble que la de Salma. ¿Qué edad tienen actualmente cada una? Ayúdate de una tabla para organizar los datos del presente y del futuro.
Fracciones de una cantidad
Cuando se gasta una fracción de lo que había, conviene pensar en lo que queda. Si se gasta $\frac{1}{3}$, queda $\frac{2}{3}$. Y si después se gasta la mitad de lo que quedaba, queda $\frac{1}{2}$ de $\frac{2}{3}$.
En una expedición científica por el Amazonas, el equipo consume el primer día $\frac{1}{4}$ de sus provisiones de agua. El segundo día consumen $\frac{2}{5}$ de lo que…
En una expedición científica por el Amazonas, el equipo consume el primer día $\frac{1}{4}$ de sus provisiones de agua. El segundo día consumen $\frac{2}{5}$ de lo que quedaba en el depósito. Si después de estos dos días aún tienen $135$ litros, ¿cuántos litros de agua tenían al comenzar la expedición?