Operaciones con números racionales
Lázaro recibe $\$60$ por ayudar en la bodega de su tío. Gasta $\frac{1}{3}$ en un pulóver y, después, $\frac{1}{4}$ de lo que le queda en un helado de Coppelia con sus amigos. ¿Cuánto dinero le sobra? Para resolverlo necesitas sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones con soltura, también cuando aparecen números negativos, potencias y decimales. Al final de la página lo resolvemos.
Simplificar: la fracción irreducible
Al terminar una cuenta con fracciones, conviene dar el resultado en su forma más simple. Una fracción es irreducible cuando numerador y denominador no tienen ningún divisor común distinto de 1.
En una encuesta realizada en tu clase sobre la red social favorita, $\frac{12}{30}$ de los alumnos eligieron una plataforma de videos cortos. Obtén la fracción…
En una encuesta realizada en tu clase sobre la red social favorita, $\frac{12}{30}$ de los alumnos eligieron una plataforma de videos cortos. Obtén la fracción irreducible para saber qué parte del total representa este grupo.
Sumar y restar fracciones
Un adolescente dedica $\frac{1}{3}$ de su tiempo libre de la tarde a hacer deporte y $\frac{2}{5}$ a estudiar matemáticas. a) Calcula qué fracción de su tiempo libre…
Un adolescente dedica $\frac{1}{3}$ de su tiempo libre de la tarde a hacer deporte y $\frac{2}{5}$ a estudiar matemáticas.
- a) Calcula qué fracción de su tiempo libre total ocupan estas dos actividades.
- b) ¿Qué fracción de tiempo le queda libre para jugar a la consola?
Para preparar un "smoothie" saludable, has mezclado $\frac{3}{4}$ de litro de leche de avena con $\frac{1}{2}$ litro de jugo de naranja. Al servirlo, se derraman…
Para preparar un "smoothie" saludable, has mezclado $\frac{3}{4}$ de litro de leche de avena con $\frac{1}{2}$ litro de jugo de naranja. Al servirlo, se derraman $\frac{1}{8}$ de litro. Realiza la operación paso a paso para saber qué cantidad de mezcla queda en la jarra.
Multiplicar y dividir fracciones
Fracción de una cantidad
Para calcular los $\frac{5}{8}$ de $3200$ puedes dividir por el denominador y multiplicar por el numerador: $3200 : 8 = 400$ y $400 \cdot 5 = 2000$. Es lo mismo que $\frac{5}{8}\cdot 3200$.
Multiplicar y dividir con fracciones negativas
¿Cuánto es $\frac{1}{2}\cdot(-3)$? No hace falta memorizar una regla: se puede deducir con la propiedad distributiva. Sabemos que $3+(-3)=0$ y que cualquier número por $0$ da $0$:
$$\frac{1}{2}\cdot\bigl(3+(-3)\bigr)=0 \;\Rightarrow\; \frac{1}{2}\cdot 3+\frac{1}{2}\cdot(-3)=0 \;\Rightarrow\; \frac{3}{2}+\frac{1}{2}\cdot(-3)=0$$Entonces $\frac{1}{2}\cdot(-3)$ tiene que ser el opuesto de $\frac{3}{2}$, o sea $-\frac{3}{2}$. Positivo por negativo da negativo.
Con dos negativas pasa lo mismo. Para $\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)$ usamos que $\frac{3}{4}+\left(-\frac{3}{4}\right)=0$:
$$\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot\left(\frac{3}{4}+\left(-\frac{3}{4}\right)\right)=0 \;\Rightarrow\; -\frac{6}{12}+\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)=0$$Entonces el producto es el opuesto de $-\frac{1}{2}$, es decir, $+\frac{1}{2}$. Negativo por negativo da positivo.
La batería de tu celular tiene una capacidad total de $4500$ mAh. Si en este momento la pantalla indica que le queda exactamente $\frac{4}{9}$ de su capacidad: a)…
La batería de tu celular tiene una capacidad total de $4500$ mAh. Si en este momento la pantalla indica que le queda exactamente $\frac{4}{9}$ de su capacidad:
- a) ¿Cuántos mAh tiene disponibles?
- b) Si el modo ahorro de energía se activa cuando queda $\frac{1}{5}$ del total, ¿cuántos mAh representan ese límite?
En una estantería de una tienda de cómics, $\frac{2}{3}$ de los ejemplares son de superhéroes. De esos cómics de superhéroes, la mitad ($\frac{1}{2}$) pertenecen a una…
En una estantería de una tienda de cómics, $\frac{2}{3}$ de los ejemplares son de superhéroes. De esos cómics de superhéroes, la mitad ($\frac{1}{2}$) pertenecen a una famosa editorial americana. Calcula la fracción del total de la estantería que representan los cómics de esa editorial específica realizando una multiplicación de fracciones.
Queremos repartir $\frac{3}{2}$ de kilo de gominolas en bolsas pequeñas. Si en cada bolsa ponemos $\frac{1}{10}$ de kilo: a) ¿Cuántas bolsas podremos llenar…
Queremos repartir $\frac{3}{2}$ de kilo de gominolas en bolsas pequeñas. Si en cada bolsa ponemos $\frac{1}{10}$ de kilo:
- a) ¿Cuántas bolsas podremos llenar completamente?
- b) Realiza la operación utilizando la división de fracciones: $\frac{3}{2} : \frac{1}{10}$
Opuesto e inverso de una fracción
Observa la siguiente figura que representa una tarta de chocolate dividida en porciones iguales. Escribe la fracción que representa la parte que falta y calcula la…
Observa la siguiente figura que representa una tarta de chocolate dividida en porciones iguales. Escribe la fracción que representa la parte que falta y calcula la fracción opuesta y la fracción inversa de dicha cantidad.
Potencias y raíces de fracciones
Para elevar una fracción a un exponente, se eleva el numerador y el denominador: $\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}$. Con base negativa, el signo depende de la paridad del exponente: $\left(-\frac{1}{2}\right)^3=-\frac{1}{8}$ y $\left(-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$.
La raíz cuadrada de una fracción se calcula con la raíz de cada término: $\sqrt{\frac{16}{81}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{81}}=\frac{4}{9}$.
Calcula el valor de la siguiente operación combinada con potencias de exponente negativo y simplifica el resultado: $$ \left( \frac{3}{2} \right)^{-2} : \left(…
Calcula el valor de la siguiente operación combinada con potencias de exponente negativo y simplifica el resultado:
$$ \left( \frac{3}{2} \right)^{-2} : \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( -1 \right)^5 $$Halla el valor de la siguiente expresión teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones y las reglas de los signos: $$ \frac{\frac{3}{2} - \frac{5}{4}}{\frac{1}{2}…
Halla el valor de la siguiente expresión teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones y las reglas de los signos:
$$ \frac{\frac{3}{2} - \frac{5}{4}}{\frac{1}{2} \cdot \left( -3 \right)} + \sqrt{\frac{16}{81}} $$Halla el valor de $x$ en la siguiente igualdad de potencias con números racionales, aplicando las propiedades necesarias para simplificar la expresión: $$\frac{\left(…
Halla el valor de $x$ en la siguiente igualdad de potencias con números racionales, aplicando las propiedades necesarias para simplificar la expresión:
$$\frac{\left( \frac{2}{3} \right)^5 \cdot \left( \frac{9}{4} \right)^{-2}}{\left( \frac{4}{9} \right)^{3} : \left( \frac{3}{2} \right)^{-4}} = \left( \frac{2}{3} \right)^x$$Operaciones combinadas
Con fracciones se respeta el mismo orden que con los enteros. Primero se separa en términos (por las sumas y restas), y dentro de cada uno se resuelve en este orden:
Resuelve la siguiente operación combinada respetando la jerarquía de las operaciones: $$\frac{2}{5} \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) - \frac{1}{10}$$
Resuelve la siguiente operación combinada respetando la jerarquía de las operaciones:
$$\frac{2}{5} \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) - \frac{1}{10}$$Resuelve la siguiente expresión combinada, simplificando el resultado hasta obtener la fracción irreducible: $$\frac{3}{5} - \left[ \frac{1}{2} : \left( \frac{2}{3} -…
Resuelve la siguiente expresión combinada, simplificando el resultado hasta obtener la fracción irreducible:
$$\frac{3}{5} - \left[ \frac{1}{2} : \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{6} \right) \right] \cdot \frac{5}{4}$$Calcula el resultado de la siguiente operación combinada, simplificando el resultado hasta obtener la fracción irreducible: $$ \frac{3}{5} - \left[ \frac{1}{2} + \left(…
Calcula el resultado de la siguiente operación combinada, simplificando el resultado hasta obtener la fracción irreducible:
$$ \frac{3}{5} - \left[ \frac{1}{2} + \left( \frac{2}{3} \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{4} - 1 \right) \right] $$Combinadas con decimales
Cuando aparecen números decimales, lo más cómodo es pasarlos a fracción y operar con fracciones: el resultado es exacto.
La calculadora científica
La calculadora científica sirve para controlar tus cuentas con fracciones, no para reemplazar el procedimiento. Los modelos varían un poco, pero casi todos tienen estas teclas:
-
La tecla de fracción (se ve como $\square/\square$ o $a\,b/c$) para escribir numerador y denominador.
-
La tecla S⇔D, que pasa el resultado de fracción a decimal y viceversa.
-
La tecla $x^{-1}$, que da el inverso de lo que está en pantalla.
En un laboratorio de química, un recipiente contiene $2,4$ litros de una solución ácida. Para un experimento, se extraen primero $\frac{2}{3}$ del contenido. Después, se…
En un laboratorio de química, un recipiente contiene $2,4$ litros de una solución ácida. Para un experimento, se extraen primero $\frac{2}{3}$ del contenido. Después, se añaden $0,5$ litros de agua destilada para rebajar la mezcla. Finalmente, se utilizan $\frac{3}{5}$ de la mezcla resultante.
- a) Realiza todas las operaciones trabajando exclusivamente con fracciones.
- b) ¿Cuántos litros de mezcla quedan al final en el recipiente? Expresa el resultado tanto en fracción como en número decimal.
Calcula el valor exacto de la siguiente expresión combinada, transformando previamente los números decimales en sus respectivas fracciones generatrices y simplificando…
Calcula el valor exacto de la siguiente expresión combinada, transformando previamente los números decimales en sus respectivas fracciones generatrices y simplificando los pasos intermedios:
$$\left( \frac{3}{5} - 0,\widehat{6} \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{-1} + \sqrt{\frac{25}{9}} : 1,2\widehat{5}$$Problemas de «fracción de lo que queda»
Cuando un problema dice una fracción de lo que queda, esa fracción no se aplica al total sino al resto. Hay que ir paso a paso.
Tres amigos deciden comprar un regalo para un compañero que se cambia de escuela. El primero aporta $\frac{2}{5}$ del precio total, el segundo aporta $\frac{1}{3}$ de lo…
Tres amigos deciden comprar un regalo para un compañero que se cambia de escuela. El primero aporta $\frac{2}{5}$ del precio total, el segundo aporta $\frac{1}{3}$ de lo que queda y el tercero completa el pago con $16$ dólares.
- a) ¿Qué fracción del total representa la cantidad aportada por el segundo amigo?
- b) ¿Cuál es el precio total del regalo?
- c) ¿Cuánto dinero puso cada uno?
Un creador de contenido grabó un video para su canal. Durante la edición, corta $\frac{1}{6}$ del metraje total por errores de sonido. Después, elimina $\frac{2}{5}$ de…
Un creador de contenido grabó un video para su canal. Durante la edición, corta $\frac{1}{6}$ del metraje total por errores de sonido. Después, elimina $\frac{2}{5}$ de lo que quedaba porque el ritmo era demasiado lento. Al final, el video editado tiene una duración de $18$ minutos.
- a) ¿Qué fracción del metraje original representa el video final de $18$ minutos?
- b) ¿Cuánto duraba la grabación original antes de empezar a editar?
Hallar el total a partir de lo que sobra
A veces se conoce una cantidad concreta y la fracción del total que representa. Entonces se calcula qué fracción es esa cantidad y se hace la cuenta inversa: si $\frac{p}{q}$ del total vale $C$, el total es $C : \frac{p}{q}$.
Una joven influencer* está organizando su presupuesto mensual derivado de sus colaboraciones. Destina $\frac{2}{5}$ de sus ingresos al alquiler de su estudio y…
Una joven influencer está organizando su presupuesto mensual derivado de sus colaboraciones. Destina $\frac{2}{5}$ de sus ingresos al alquiler de su estudio y $\frac{1}{4}$ del resto a la edición de video. Si después de estos gastos aún le quedan $\frac{5}{9}$ de lo que quedaba para ahorrar y todavía dispone de $480$ dólares para gastos personales, ¿a cuánto ascienden sus ingresos totales mensuales?
En una competición de eSports, el premio total se reparte de la siguiente forma: el equipo ganador se lleva $\frac{4}{7}$ del total, el segundo clasificado $\frac{2}{3}$…
En una competición de eSports, el premio total se reparte de la siguiente forma: el equipo ganador se lleva $\frac{4}{7}$ del total, el segundo clasificado $\frac{2}{3}$ de lo que queda, y el tercer clasificado el resto. Si la diferencia entre el premio del segundo y el del tercero es de $3.500$ dólares, calcula el valor total del premio y cuánto dinero recibe cada uno de los tres equipos.
Cuando el total aparece en los dos lados: plantear con una incógnita
Hay problemas donde la cantidad de una persona depende del total, que es justamente lo que no sabes. No alcanza con dividir una cantidad por una fracción: conviene llamar $T$ al total, escribir cada parte en función de $T$ y armar una igualdad. Después se resuelve operando de los dos lados de la igualdad (sumando, restando, multiplicando o dividiendo ambos miembros por lo mismo), sin «pasar términos».
Tres socios invierten en un negocio tecnológico. El primero aporta $12.000$ dólares, el segundo aporta las $\frac{2}{5}$ partes del total y el tercero aporta la misma…
Tres socios invierten en un negocio tecnológico. El primero aporta $12.000$ dólares, el segundo aporta las $\frac{2}{5}$ partes del total y el tercero aporta la misma cantidad que los otros dos juntos menos $18.000$ dólares.
- a) ¿Cuál es la inversión total del negocio?
- b) ¿Qué fracción del total aporta cada socio? (Expresa las fracciones de forma irreducible).
En un laboratorio de química, un tanque contiene una mezcla de alcohol y agua. Inicialmente, $\frac{2}{7}$ del contenido es alcohol. Se extraen $12$ litros de la mezcla…
En un laboratorio de química, un tanque contiene una mezcla de alcohol y agua. Inicialmente, $\frac{2}{7}$ del contenido es alcohol. Se extraen $12$ litros de la mezcla y se sustituyen por $12$ litros de alcohol puro. Si ahora la mezcla contiene $\frac{2}{5}$ de alcohol, ¿cuántos litros de líquido hay en total en el tanque?
Partes de una figura, mezclas y tiempos
Los mismos recursos sirven en otros contextos.
Figuras. Si una región es una fracción del total, su área es esa fracción del área total. Una baldosa de $1$ m² equivale a $10.000$ cm², así que $\frac{1}{8}$ de ella mide $10.000 : 8 = 1.250$ cm². La parte que falta para completar el todo se calcula restando de $1$.
Mezclas. Si se saca una cantidad de mezcla y se repone con otra, el volumen total no cambia. Lo que cambia es la cantidad de cada componente: se calcula cuánto sale y cuánto entra, y si el total es desconocido se plantea con una incógnita, como en la sección anterior.
Tiempos. A mayor velocidad, menor tiempo para el mismo camino. Si la velocidad se reduce a $\frac{2}{3}$, el tiempo se multiplica por la inversa, $\frac{3}{2}$.
Un arquitecto está diseñando una zona de juegos en un parque rectangular. Ha decidido dividir el terreno como se muestra en el siguiente esquema: Si la zona de "Césped"…
Un arquitecto está diseñando una zona de juegos en un parque rectangular. Ha decidido dividir el terreno como se muestra en el siguiente esquema:
Si la zona de "Césped" ocupa exactamente la mitad del terreno y la zona de "Columpios" es $\frac{3}{10}$ del total del parque:
- a) ¿Qué fracción del total representa la zona de "Arena"?
- b) Si el parque tiene una superficie total de $1200$ $m^2$, ¿cuántos metros cuadrados mide la zona de "Arena"?
Observa el diseño de esta baldosa moderna para un centro cultural. El cuadrado exterior tiene un área de $1$ m$^2$. Se han sombreado diferentes regiones siguiendo un…
Observa el diseño de esta baldosa moderna para un centro cultural. El cuadrado exterior tiene un área de $1$ m$^2$. Se han sombreado diferentes regiones siguiendo un patrón geométrico. Determina qué fracción del total representa la zona sombreada en color naranja y calcula cuántos cm$^2$ le corresponden.
Un dron de vigilancia realiza un trayecto de ida y vuelta entre dos bases. En la ida, vuela con el viento a favor a una velocidad constante. En la vuelta, con el viento…
Un dron de vigilancia realiza un trayecto de ida y vuelta entre dos bases. En la ida, vuela con el viento a favor a una velocidad constante. En la vuelta, con el viento en contra, su velocidad se reduce a las $\frac{3}{5}$ partes de la velocidad de ida. Si el tiempo total de vuelo ha sido de $1$ hora y $20$ minutos, ¿qué fracción del tiempo total ha empleado en el viaje de vuelta? Expresa el resultado también en minutos y segundos.