Proporcionalidad directa
En la bodega, tres cajas de galletas cuestan $\$9$. ¿Cuánto cuestan seis cajas? ¿Y una sola? Cuando compras el doble, pagas el doble. Cuando compras la mitad, pagas la mitad. Esa regularidad se llama proporcionalidad directa, y en esta página vas a ver cómo reconocerla, cómo resolver problemas con ella y cómo se ve en una gráfica.
¿Qué es la proporcionalidad directa?
En un taller de estampado, 3 pulóveres cuestan $\$18$. Fíjate en la tabla: cada precio es el de un pulóver multiplicado por la cantidad.
| Pulóveres | 3 | 6 | 9 | 15 |
|---|---|---|---|---|
| Precio (en dólares) | 18 | 36 | 54 | 90 |
El cociente $\dfrac{\text{precio}}{\text{pulóveres}}$ da siempre $6$: esa es la constante $k$ (el precio de un pulóver). La fórmula es $y = k \cdot x$, o sea $y = 6x$.
Indica cuáles de los siguientes pares de magnitudes son directamente proporcionales. Justifica brevemente tu respuesta: a) El número de personas que entran en un museo y…
Indica cuáles de los siguientes pares de magnitudes son directamente proporcionales. Justifica brevemente tu respuesta:
- a) El número de personas que entran en un museo y el dinero recaudado por las entradas.
- b) La edad de una persona y su altura.
- c) El peso de las manzanas que compras y el precio total a pagar.
- d) La velocidad de un carro y el tiempo que tarda en recorrer una distancia fija.
En una tienda de deportes, todos los pulóveres del mismo modelo tienen el precio proporcional a la cantidad comprada. Copia y completa la siguiente tabla en tu libreta y…
En una tienda de deportes, todos los pulóveres del mismo modelo tienen el precio proporcional a la cantidad comprada. Copia y completa la siguiente tabla en tu libreta y calcula la constante de proporcionalidad $k$ (precio por un pulóver).
| Número de pulóveres | $2$ | $3$ | $5$ | $10$ |
|---|---|---|---|---|
| Precio ($\$$) | $24$ |
Indica razonadamente cuáles de los siguientes pares de magnitudes guardan una relación de proporcionalidad directa: a) El número de entradas para un concierto y el…
Indica razonadamente cuáles de los siguientes pares de magnitudes guardan una relación de proporcionalidad directa:
- a) El número de entradas para un concierto y el precio total a pagar (sin gastos de gestión fijos).
- b) La edad de una persona y su altura en centímetros.
- c) El peso de las manzanas compradas a granel y el costo de la compra.
- d) La velocidad de un carro y el tiempo que tarda en recorrer una distancia fija.
- e) El número de páginas de un libro y el tiempo que se tarda en leerlo (asumiendo una velocidad de lectura constante).
Valor unitario y constante
¿Por qué funciona? Al dividir repartes en partes iguales y averiguas cuánto toca a una unidad. Después, para $n$ unidades, tomas $n$ veces ese valor.
Si una llave de agua vierte $15$ litros de agua cada $3$ minutos, ¿cuántos litros verterá si se mantiene abierta durante $10$ minutos? Resuélvelo utilizando el método de…
Si una llave de agua vierte $15$ litros de agua cada $3$ minutos, ¿cuántos litros verterá si se mantiene abierta durante $10$ minutos? Resuélvelo utilizando el método de reducción a la unidad (calculando primero cuánto vierte en un minuto).
Marta pagó $4,50$ dólares por $3$ cajas de plumones para su proyecto de dibujo. Si necesita comprar $5$ cajas más para sus compañeros de grupo, ¿cuánto dinero le…
Marta pagó $4,50$ dólares por $3$ cajas de plumones para su proyecto de dibujo. Si necesita comprar $5$ cajas más para sus compañeros de grupo, ¿cuánto dinero le costarán esas $5$ cajas extra?
Una plataforma de streaming* de videojuegos ofrece una suscripción premium. Sabemos que por $4$ meses de servicio se pagan $35,20$ dólares. a) Calcula la constante de…
Una plataforma de streaming de videojuegos ofrece una suscripción premium. Sabemos que por $4$ meses de servicio se pagan $35,20$ dólares.
- a) Calcula la constante de proporcionalidad directa $k$ (precio por mes).
- b) Completa la siguiente tabla de valores:
| Tiempo (meses) | $1$ | $3$ | $6$ | $10$ |
|---|---|---|---|---|
| Precio ( dólares) |
- c) ¿Cuántos meses podrías contratar si dispones de un presupuesto máximo de $100$ dólares?
Un dron de vigilancia forestal vuela a una velocidad constante. El centro de control registra que el dron ha recorrido $10,5$ kilómetros en los primeros $15$ minutos de…
Un dron de vigilancia forestal vuela a una velocidad constante. El centro de control registra que el dron ha recorrido $10,5$ kilómetros en los primeros $15$ minutos de vuelo.
- a) ¿Qué distancia recorrerá el dron si mantiene la misma velocidad durante una hora completa?
- b) Si el dron necesita cubrir una distancia total de $63$ km, ¿cuántos minutos tardará en completar la misión?
Completar tablas y plantear la proporción
Otra forma de resolver es plantear una proporción con las dos razones iguales y operar de los dos lados de la igualdad. Lo importante es que cada razón tenga las magnitudes en el mismo orden.
Para escalas, el procedimiento es el mismo: en una escala $1:250$, cada centímetro del plano son $250$ cm reales, así que la constante es $k = 250$.
También sirve para la velocidad constante: la distancia es directamente proporcional al tiempo y $k$ es la velocidad.
Para preparar un bizcocho para $6$ personas, se necesitan $300$ gramos de harina. Si queremos invitar a $15$ personas y que todos coman la misma proporción de bizcocho,…
Para preparar un bizcocho para $6$ personas, se necesitan $300$ gramos de harina. Si queremos invitar a $15$ personas y que todos coman la misma proporción de bizcocho, ¿qué cantidad de harina necesitaremos?
Un videojuego ocupa $12$ GB de espacio y ha tardado $8$ minutos en descargarse con una conexión estable. Si el siguiente juego que quieres descargar ocupa $18$ GB y la…
Un videojuego ocupa $12$ GB de espacio y ha tardado $8$ minutos en descargarse con una conexión estable. Si el siguiente juego que quieres descargar ocupa $18$ GB y la velocidad de descarga es la misma, ¿cuántos minutos tardará la descarga?
En el plano de una vivienda realizado a escala $1:250$, el salón tiene una longitud de $3,2$ cm y una anchura de $2,4$ cm. a) Calcula las dimensiones reales del salón en…
En el plano de una vivienda realizado a escala $1:250$, el salón tiene una longitud de $3,2$ cm y una anchura de $2,4$ cm.
- a) Calcula las dimensiones reales del salón en metros.
- b) Calcula el área real del salón en metros cuadrados.
En un mapa de senderismo de la Sierra de Guadarrama, la distancia entre dos refugios es de $12,5\text{ cm}$. Sabemos que la escala del mapa es $1:50\,000$. Dos…
En un mapa de senderismo de la Sierra de Guadarrama, la distancia entre dos refugios es de $12,5\text{ cm}$. Sabemos que la escala del mapa es $1:50\,000$. Dos excursionistas deciden realizar ese trayecto. Si su velocidad media es de $4\text{ km/h}$, calcula cuánto tiempo tardarán en llegar de un refugio al otro expresando el resultado en horas y minutos.
Repartos y problemas con varias magnitudes
Un reparto directamente proporcional se resuelve con una constante: se suman las partes, se divide el total por esa suma y se multiplica por lo que corresponde a cada uno.
Si el enunciado mezcla unidades (metros y centímetros, minutos y horas, mL y L), pasa todo a una misma unidad antes de calcular. Y si los datos vienen con porcentajes o relaciones ("el doble", "un 25 % más"), calcula primero cada dato y después usa la proporción.
Tres hermanos deciden repartirse los $144$ dólares que han recibido de regalo por parte de sus abuelos de forma directamente proporcional a sus edades, que son $10$,…
Tres hermanos deciden repartirse los $144$ dólares que han recibido de regalo por parte de sus abuelos de forma directamente proporcional a sus edades, que son $10$, $12$ y $14$ años respectivamente. ¿Qué cantidad de dinero le corresponde a cada uno?
Para preparar una pintura de un color naranja específico, un artista mezcla $150$ ml de pintura roja con $225$ ml de pintura amarilla. a) ¿Cuántos mililitros de pintura…
Para preparar una pintura de un color naranja específico, un artista mezcla $150$ ml de pintura roja con $225$ ml de pintura amarilla.
- a) ¿Cuántos mililitros de pintura roja necesitará si quiere utilizar $600$ ml de pintura amarilla para obtener el mismo tono?
- b) Si el artista decide crear una mezcla total de $1$ litro ($1000$ ml), ¿qué cantidad de cada color debe añadir manteniendo la proporción original?
Tres amigos deciden montar un canal de streaming de videojuegos. Al finalizar el primer mes, han obtenido unos ingresos de $\$1\,260…
Tres amigos deciden montar un canal de streaming de videojuegos. Al finalizar el primer mes, han obtenido unos ingresos de $\$1\,260$ por publicidad. Acuerdan repartir el dinero de forma directamente proporcional a las horas que cada uno ha dedicado a grabar y editar contenido.
Marcos dedicó $12$ horas, Lucía dedicó el doble que Marcos, y Sergio dedicó tantas horas como la mitad de lo que dedicaron Marcos y Lucía juntos. Calcula cuánto dinero le corresponde a cada uno y determina cuál es la constante de proporcionalidad $k$ (dinero por hora trabajada).
Una cadena de montaje produce un número constante de componentes electrónicos cada hora. Se sabe que trabajando $5$ días a razón de $8$ horas diarias, han fabricado un…
Una cadena de montaje produce un número constante de componentes electrónicos cada hora. Se sabe que trabajando $5$ días a razón de $8$ horas diarias, han fabricado un total de $14\,000$ componentes.
Si debido a un pedido urgente necesitan fabricar $25\,200$ componentes en los próximos $6$ días, ¿cuántas horas diarias deberán trabajar las máquinas para cumplir con el plazo, suponiendo que el ritmo de producción por hora no varía?
La gráfica: una recta por el origen
La proporcionalidad directa es una función lineal de la forma $y = k \cdot x$ (caso particular de $y = mx + n$ con $n = 0$). Si marcas los pares de valores, los puntos quedan alineados y la recta pasa por el origen $(0; 0)$: con cero pulóveres no se paga nada. La constante $k$ es la pendiente de la recta: cuánto aumenta $y$ cuando $x$ aumenta 1.
Muévelo tú: cambia $k$ y mira cómo se inclina la recta. Prueba también con valores negativos.
Cuando la constante es negativa
La constante $k$ también puede ser negativa. Si $k < 0$, al aumentar $x$ el valor de $y$ disminuye, pero la relación sigue siendo de proporcionalidad directa: al multiplicar $x$ por un número, $y$ queda multiplicada por ese mismo número. La recta pasa por el origen y es decreciente.
En un plano de una habitación con una escala $1:50$, el largo de la cama mide $4$ cm. ¿Cuál es la medida real de la cama expresada en metros? (Recuerda que la escala…
En un plano de una habitación con una escala $1:50$, el largo de la cama mide $4$ cm. ¿Cuál es la medida real de la cama expresada en metros? (Recuerda que la escala $1:50$ significa que $1$ cm en el dibujo equivale a $50$ cm en la realidad).
Un cargador rápido de smartphone es capaz de cargar el $18\%$ de la batería en tan solo $12$ minutos. Si la velocidad de carga se mantiene constante: a) ¿Qué porcentaje…
Un cargador rápido de smartphone es capaz de cargar el $18\%$ de la batería en tan solo $12$ minutos. Si la velocidad de carga se mantiene constante:
- a) ¿Qué porcentaje de batería se habrá cargado tras media hora ($30$ minutos)?
- b) ¿Cuánto tiempo total (en minutos y segundos) tardará el teléfono en pasar del $0\%$ al $100\%$ de carga?
La gráfica siguiente representa la relación entre la masa de un metal precioso y su valor en el mercado. Observa que es una función de proporcionalidad directa: a) Halla…
La gráfica siguiente representa la relación entre la masa de un metal precioso y su valor en el mercado. Observa que es una función de proporcionalidad directa:
-
a) Halla la constante de proporcionalidad $k$, que representa el precio por gramo.
-
b) Si una joya contiene un $15\%$ de impurezas (masa que no tiene valor) y pesa en total $24\text{ g}$, ¿cuál es el valor del metal puro que contiene basándote en la gráfica?
Volvamos al principio: si tres cajas cuestan $\$9$, una sola cuesta $9 : 3 = 3$ dólares, y seis cajas cuestan $6 \cdot 3 = \$18$. Fue doble cantidad, doble precio.