Sistemas de ecuaciones
En la papelería de la escuela, Daniela compró 2 bolígrafos y 3 gomas de borrar por $\$4$. Alejandro compró 2 bolígrafos y 1 goma por $\$2$. ¿Cuánto cuesta cada cosa? Hay dos incógnitas (el bolígrafo y la goma) y dos pistas. Con una sola ecuación no alcanza: hay que usar las dos a la vez. Eso es un sistema de ecuaciones.
Qué es un sistema
Para comprobar una solución hay que reemplazar en las dos ecuaciones, no solo en una. Prueba con $x = 0{,}5$ e $y = 1$: $2 \cdot 0{,}5 + 3 \cdot 1 = 4$ ✓ y $2 \cdot 0{,}5 + 1 = 2$ ✓.
Significado gráfico
Cada ecuación de este tipo se representa con una recta (todos sus puntos son soluciones de esa ecuación). La solución del sistema es el punto donde las dos rectas se cortan. Mueve las rectas y observa qué pasa:
En un videojuego de rol, los puntos de experiencia de dos habilidades, Fuerza ($x$) y Magia ($y$), deben cumplir las condiciones del siguiente sistema de ecuaciones:…
En un videojuego de rol, los puntos de experiencia de dos habilidades, Fuerza ($x$) y Magia ($y$), deben cumplir las condiciones del siguiente sistema de ecuaciones:
$$\begin{cases} x + y = 15 \\ 2x - y = 9 \end{cases}$$Comprueba, realizando las operaciones necesarias, cuál de estas parejas de valores es la solución correcta del sistema para que el personaje pueda subir de nivel:
- a) $x = 10, y = 5$
- b) $x = 8, y = 7$
Traduce al lenguaje algebraico y escribe el sistema de ecuaciones correspondiente a la siguiente situación: "En una cafetería, por dos refrescos ($x$) y una bolsa de…
Traduce al lenguaje algebraico y escribe el sistema de ecuaciones correspondiente a la siguiente situación:
"En una cafetería, por dos refrescos ($x$) y una bolsa de papitas ($y$) nos cobraron $5$ dólares. Si compramos un refresco y una bolsa de papitas, el precio es de $3$ dólares."
(No es necesario resolverlo, solo plantear el sistema).
Método de sustitución
Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones y se la sustituye en la otra. Conviene cuando una incógnita ya está despejada o tiene coeficiente $1$ o $-1$. Despejar significa operar de los dos lados de la igualdad (no «pasar términos»).
Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución. Fíjate que en la segunda ecuación la incógnita $y$ ya está despejada, lo que facilita el proceso:…
Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución. Fíjate que en la segunda ecuación la incógnita $y$ ya está despejada, lo que facilita el proceso:
$$\begin{cases} 3x + y = 10 \\ y = 2x \end{cases}$$Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución. Recuerda que es aconsejable despejar la incógnita que tenga el coeficiente más sencillo:…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución. Recuerda que es aconsejable despejar la incógnita que tenga el coeficiente más sencillo:
$$ \begin{cases} 3x - y = 7 \\ 5x + 2y = 19 \end{cases} $$Método de igualación
Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan las dos expresiones obtenidas. Es lógico: si dos expresiones valen lo mismo que $x$, valen lo mismo entre sí.
Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema. Para ello, iguala las dos expresiones que representan el valor de $x$: $$\begin{cases} x = y + 5 \\ x = 2y + 2…
Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema. Para ello, iguala las dos expresiones que representan el valor de $x$:
$$\begin{cases} x = y + 5 \\ x = 2y + 2 \end{cases}$$Observa la siguiente figura compuesta por dos rectángulos con propiedades diferentes. El rectángulo A tiene un perímetro de $22\text{ cm}$. El rectángulo B es tal que su…
Observa la siguiente figura compuesta por dos rectángulos con propiedades diferentes. El rectángulo A tiene un perímetro de $22\text{ cm}$. El rectángulo B es tal que su base es el doble que la del rectángulo A y su altura es el triple que la del rectángulo A, sumando un perímetro total de $52\text{ cm}$.
Calcula las dimensiones $x$ (base) e $y$ (altura) del rectángulo A planteando y resolviendo un sistema por el método de igualación.
Método de reducción
Se multiplican las ecuaciones por números convenientes para que, al sumarlas (o restarlas), una incógnita desaparezca. Se puede hacer porque sumar a los dos lados de una igualdad cantidades iguales mantiene la igualdad.
Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de reducción. Observa que la incógnita $y$ tiene coeficientes opuestos ($+1$ y $-1$), por lo que puedes sumar las dos…
Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de reducción. Observa que la incógnita $y$ tiene coeficientes opuestos ($+1$ y $-1$), por lo que puedes sumar las dos ecuaciones directamente para eliminarla:
$$\begin{cases} 4x + y = 13 \\ x - y = 2 \end{cases}$$Lucía compró en la papelería $2$ bolígrafos y $3$ gomas de borrar por un total de $4$ dólares. Pedro compró $2$ bolígrafos y $1$ goma de borrar por $2$ dólares. Si $x$…
Lucía compró en la papelería $2$ bolígrafos y $3$ gomas de borrar por un total de $4$ dólares. Pedro compró $2$ bolígrafos y $1$ goma de borrar por $2$ dólares.
Si $x$ es el precio de un bolígrafo e $y$ el de una goma, el sistema que representa la situación es:
$$\begin{cases} 2x + 3y = 4 \\ 2x + y = 2 \end{cases}$$Halla el precio de cada artículo utilizando el método de reducción (restando ambas ecuaciones).
En la cafetería de la escuela, un grupo de amigos pagó $\$15$ por 4 refrescos y 2 bocaditos. Al día siguiente, otro grupo pagó $\$17,50$ por 3 refrescos y 4 bocaditos.…
En la cafetería de la escuela, un grupo de amigos pagó $\$15$ por 4 refrescos y 2 bocaditos. Al día siguiente, otro grupo pagó $\$17,50$ por 3 refrescos y 4 bocaditos. Utiliza el método de reducción para hallar el precio de un refresco y el de un bocadito.
Sistemas con paréntesis y fracciones; cuántas soluciones tienen
A veces el sistema no viene en forma ordenada. Antes de elegir un método, hay que simplificar cada ecuación hasta llegar a la forma $ax + by = c$:
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Aplica la propiedad distributiva para quitar paréntesis.
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Si hay fracciones, multiplica toda la ecuación por un denominador común.
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Agrupa los términos con $x$, los términos con $y$ y los números.
¿Cuántas soluciones tiene?
Según cómo se cortan las rectas (mira de nuevo el dibujo del comienzo), un sistema puede ser:
| Clasificación | Rectas | Soluciones | Qué te pasa al resolver |
|---|---|---|---|
| Compatible determinado | se cortan | una sola | obtienes valores para $x$ e $y$ |
| Compatible indeterminado | coinciden | infinitas | llegas a algo siempre cierto, como $0 = 0$ |
| Incompatible | paralelas | ninguna | llegas a algo imposible, como $0 = 2$ |
Por ejemplo, $\begin{cases} x + y = 3 \\ x + y = 5 \end{cases}$ es incompatible: la misma suma no puede dar $3$ y $5$. Y $\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 6 \end{cases}$ es compatible indeterminado: la segunda es la primera multiplicada por $2$.
Halla la solución del siguiente sistema de ecuaciones mediante el método que consideres más apropiado. Antes de resolverlo, observa si es necesario simplificar las…
Halla la solución del siguiente sistema de ecuaciones mediante el método que consideres más apropiado. Antes de resolverlo, observa si es necesario simplificar las expresiones quitando los paréntesis:
$$ \begin{cases} 2(x + y) - 3x = 1 \\ x + 3(y - 1) = 2 \end{cases} $$Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales simplificando previamente ambas expresiones. Para hallar la solución definitiva, utiliza el método de reducción…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales simplificando previamente ambas expresiones. Para hallar la solución definitiva, utiliza el método de reducción doble (eliminando una incógnita y luego la otra):
$$ \begin{cases} \dfrac{2(x-1)}{3} - \dfrac{y+2}{6} = -1 \\ \\ \dfrac{x+y}{2} + \dfrac{x-y}{3} = \dfrac{7}{6} \end{cases} $$Resuelve el siguiente sistema mediante el método que consideres más oportuno, tras eliminar los paréntesis y agrupar términos: $$ \begin{cases} 3(x+2) - 5(y-1) = 2x + 5…
Resuelve el siguiente sistema mediante el método que consideres más oportuno, tras eliminar los paréntesis y agrupar términos:
$$ \begin{cases} 3(x+2) - 5(y-1) = 2x + 5 \\ \\ 2(x+y) - 3(x-y) = 11 \end{cases} $$Una vez resuelto, indica si el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.
Plantear problemas con sistemas
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Elige dos incógnitas y escribe qué significa cada una ($x$ = precio del bolígrafo, $y$ = precio de la goma).
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Traduce cada dato del enunciado en una ecuación distinta.
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Resuelve por el método que más te convenga.
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Comprueba en el enunciado y responde con una oración, con sus unidades.
En una pequeña granja hay un total de $12$ animales entre gallinas ($x$) y conejos ($y$). Si contamos las patas de todos ellos, hay un total de $34$ patas. El sistema de…
En una pequeña granja hay un total de $12$ animales entre gallinas ($x$) y conejos ($y$). Si contamos las patas de todos ellos, hay un total de $34$ patas. El sistema de ecuaciones que describe esta situación es:
$$\begin{cases} x + y = 12 \\ 2x + 4y = 34 \end{cases}$$Resuelve el sistema por el método que prefieras para averiguar cuántas gallinas y cuántos conejos hay en la granja.
En un videojuego de estrategia, para desbloquear una mejora necesitas recolectar gemas azules y gemas rojas. Sabemos que el triple de gemas azules más el doble de gemas…
En un videojuego de estrategia, para desbloquear una mejora necesitas recolectar gemas azules y gemas rojas. Sabemos que el triple de gemas azules más el doble de gemas rojas suma un total de 34 energía. Además, la diferencia entre el número de gemas azules y rojas es de solo 3 unidades.
- a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar cuántas gemas de cada tipo necesitas.
- b) Comprueba si la pareja de valores $x = 8, y = 5$ (donde $x$ son las azules e $y$ las rojas) es la solución del sistema.
Precios, recaudaciones y figuras
En los problemas de compras, una ecuación suele hablar de cantidades (cuántas entradas, cuántos refrescos) y la otra de dinero (cuánto se pagó en total). En los de geometría, las ecuaciones salen de fórmulas como el perímetro $P = 2b + 2h$.
Para organizar un festival benéfico se han vendido dos tipos de entradas: infantiles a $\$4$ y de adultos a $\$7$. Al terminar el evento, se sabe que han asistido un…
Para organizar un festival benéfico se han vendido dos tipos de entradas: infantiles a $\$4$ y de adultos a $\$7$. Al terminar el evento, se sabe que han asistido un total de 240 personas y que la recaudación total ha sido de $\$1350$. ¿Cuántos niños y cuántos adultos asistieron al festival?
En una tienda de informática, un usuario compra 3 teclados mecánicos y 2 ratones inalámbricos por un total de $135$ dólares. Al día siguiente, aprovechando una oferta,…
En una tienda de informática, un usuario compra 3 teclados mecánicos y 2 ratones inalámbricos por un total de $135$ dólares. Al día siguiente, aprovechando una oferta, compra 2 teclados y 4 ratones por $111$ dólares. Sin embargo, la oferta consistía en que los teclados tenían un $10\%$ de descuento y los ratones un $20\%$ sobre su precio original.
Calcula el precio original de cada artículo planteando un sistema de ecuaciones.
Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide $40$ cm. Si se triplicara su base y se redujera su altura a la mitad, el perímetro pasaría a ser de…
Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide $40$ cm. Si se triplicara su base y se redujera su altura a la mitad, el perímetro pasaría a ser de $70$ cm. Una vez halladas la base ($x$) y la altura ($y$), calcula el área del rectángulo original.
Edades, cifras, movimientos y mezclas
Edades. Una tabla ordena los datos: una fila por persona y una columna por momento.
Cifras. Un número de dos cifras con decenas $x$ y unidades $y$ vale $10x + y$. Si se invierten las cifras, vale $10y + x$.
Movimientos. Con velocidad constante, $d = v \cdot t$. Cuando dos cuerpos en movimiento van uno hacia el otro, las velocidades se suman; cuando van en el mismo sentido, se restan.
Mezclas. Una ecuación habla de las cantidades (litros que se mezclan) y otra de la sustancia pura (litros de ácido: concentración por cantidad de mezcla).
La edad de una madre es actualmente el triple que la de su hijo. Sin embargo, dentro de 12 años, la edad de la madre será solamente el doble que la de su hijo. ¿Qué edad…
La edad de una madre es actualmente el triple que la de su hijo. Sin embargo, dentro de 12 años, la edad de la madre será solamente el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen ambos en la actualidad? Utiliza una tabla para organizar los datos de las edades antes de plantear el sistema.
Dos ciclistas, Ana y David, se encuentran a una distancia de $45\text{ km}$. Ana sale desde el punto A a una velocidad constante de $12\text{ km/h}$ y David sale al…
Dos ciclistas, Ana y David, se encuentran a una distancia de $45\text{ km}$. Ana sale desde el punto A a una velocidad constante de $12\text{ km/h}$ y David sale al mismo tiempo desde el punto B al encuentro de Ana a $18\text{ km/h}$.
Si $x$ es el tiempo que tardan en encontrarse e $y$ es la distancia recorrida por Ana:
- a) Plantea un sistema de ecuaciones que relacione el tiempo y el espacio de ambos.
- b) ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse y a qué distancia del punto A ocurrirá?
La suma de las dos cifras de un número es $12$. Si invertimos el orden de sus cifras, obtenemos un nuevo número que es $18$ unidades mayor que el original. Plantea un…
La suma de las dos cifras de un número es $12$. Si invertimos el orden de sus cifras, obtenemos un nuevo número que es $18$ unidades mayor que el original. Plantea un sistema de ecuaciones para encontrar dicho número.
(Pista: Un número de dos cifras se escribe como $10x + y$).
Los otros dos problemas de este tipo usan lo mismo: uno de movimiento en el que se cruzan o se alcanzan, y otro de mezcla.
Dos ciclistas, Elena y Marco, están a una distancia de $36$ km. Si avanzan el uno hacia el otro, tardan $45$ minutos en encontrarse. Si avanzan en el mismo sentido…
Dos ciclistas, Elena y Marco, están a una distancia de $36$ km. Si avanzan el uno hacia el otro, tardan $45$ minutos en encontrarse. Si avanzan en el mismo sentido (Elena persiguiendo a Marco), Elena tarda $3$ horas en alcanzarlo.
Calcula la velocidad de cada ciclista en km/h planteando un sistema de ecuaciones.
Un laboratorio químico necesita preparar $10$ litros de una solución ácida al $25\%$. Para ello, dispone de dos garrafas: una con una concentración del $15\%$ de ácido y…
Un laboratorio químico necesita preparar $10$ litros de una solución ácida al $25\%$. Para ello, dispone de dos garrafas: una con una concentración del $15\%$ de ácido y otra con una concentración del $40\%$. ¿Qué cantidad de litros debe mezclar de cada garrafa para obtener la solución deseada?
Vuelta al principio: el sistema de la papelería era $\begin{cases} 2x + 3y = 4 \\ 2x + y = 2 \end{cases}$. Al resolverlo obtuvimos $x = 0{,}5$ e $y = 1$: cada bolígrafo cuesta $\$0{,}50$ y cada goma $\$1$.
Un problema aparte: pintar un tronco de pirámide
Este problema no necesita un sistema: es de geometría y aparece entre los ejercicios para que practiques el cálculo de un área con Pitágoras y un precio por metro cuadrado.
Un tronco de pirámide cuadrangular regular tiene dos bases cuadradas paralelas (una grande y una pequeña) y cuatro caras laterales que son trapecios iguales. Para hallar la superficie lateral, se calcula el área de un trapecio y se multiplica por $4$.
El trapecio tiene como bases los lados de las dos bases del tronco. Su altura no es la altura del tronco: es la altura inclinada de la cara (se llama apotema del tronco). Se obtiene con el teorema de Pitágoras (que se estudia a fondo en 9.° grado, aquí solo lo usamos como herramienta) en un triángulo rectángulo cuyos catetos son:
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la altura del tronco;
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la mitad de la diferencia de los lados de las bases.
Calcula el costo de pintar la superficie lateral de un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas bases miden $4\text{ m}$ y $2\text{ m}$ de lado y su altura es de…
Calcula el costo de pintar la superficie lateral de un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas bases miden $4\text{ m}$ y $2\text{ m}$ de lado y su altura es de $1{,}5\text{ m}$, sabiendo que el precio es de $85\text{ \$/m}^2$.