Una balita de gas licuado, un extintor de $\text{CO}_2$, un globo aerostático sobre el valle de Viñales: los tres se explican con una sola ecuación. Si llevas un pomo de plástico cerrado en una guagua desde el Malecón hasta lo alto del Pico Turquino, llega apretado y hinchado de otra manera. ¿Cómo se relacionan la presión, el volumen, la temperatura y la cantidad de gas? Eso es lo que vas a resolver aquí.
La ecuación de estado de los gases ideales
El estado de un gas encerrado en un cilindro con émbolo se describe con cuatro variables: la presión $p$ (qué tan fuerte chocan las partículas contra las paredes), el volumen $V$ (el espacio que ocupa), la temperatura $T$ (qué tan rápido se mueven en promedio) y la cantidad de sustancia $n$ (los moles de partículas).
Prueba el simulador: cambia la temperatura, el volumen y los moles, y observa qué pasa con la presión.
Para pasar de grados Celsius a kelvin: $T(\text{K}) = t(°\text{C}) + 273$. Otras unidades de presión: $1\ \text{atm} = 760\ \text{mmHg} = 101{,}3\ \text{kPa}$. La constante $R$ se usa con estas unidades.
En el Sistema Internacional las unidades son: presión en pascal (Pa), volumen en $\text{m}^3$, temperatura en kelvin (K) y cantidad de sustancia en mol. Como $1\ \text{atm} = 101.300\ \text{Pa}$ y $1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{L} = 1000\ \text{dm}^3$, para usar $R$ con atm y L pasa el volumen de $\text{m}^3$ a L (multiplicando por 1000).
Cómo se relacionan las variables
En un cilindro con émbolo, ¿qué pasa si cambias una variable y mantienes fijas otras dos? Despejando de $p \cdot V = n \cdot R \cdot T$ salen cuatro casos:
$T$ y $n$ constantes: $p \cdot V$ es constante. Presión y volumen son inversamente proporcionales (si el volumen se reduce a la mitad, la presión se duplica).
$n$ y $p$ constantes: $V/T$ es constante. Volumen y temperatura (en kelvin) son directamente proporcionales.
$n$ y $V$ constantes: $p/T$ es constante. Presión y temperatura (en kelvin) son directamente proporcionales.
$T$ y $p$ constantes: $V/n$ es constante. Volumen y cantidad de sustancia son directamente proporcionales.
Estas relaciones se conocen como leyes de los gases: la ley de Boyle (a $T$ y $n$ constantes, $p \cdot V$ constante), la ley de Charles (a $p$ y $n$ constantes, $V/T$ constante) y la ley de Gay-Lussac (a $V$ y $n$ constantes, $p/T$ constante). Cada una es un caso particular de $p \cdot V = n \cdot R \cdot T$ con dos variables fijas, y la ecuación general las reúne a todas.
¿Por qué? Con el modelo cinético: al reducir el volumen, las partículas chocan más seguido contra las paredes y sube $p$; al calentar, se mueven más rápido y chocan más fuerte y más seguido; al agregar partículas, hay más choques contra las paredes.
Condiciones normales y volumen molar
Mide en el laboratorio el volumen de $1\ \text{mol}$ de helio ($4\ \text{g}$), de dinitrógeno ($28\ \text{g}$) y de dióxido de carbono ($44\ \text{g}$) a $0\ °\text{C}$ y $1\ \text{atm}$: en los tres casos salen $22{,}4\ \text{L}$. ¿Por qué moléculas tan distintas ocupan el mismo espacio?
La razón: en un gas las partículas están muy separadas, así que el tamaño de cada una casi no importa; el volumen depende de cuántas partículas hay, no de su masa (ley de Avogadro).
Practica★☆☆Sin empezar
En un laboratorio se pesan $32\ \text{g}$ de oxígeno, $\text{O}2$. Datos: masa molar del $\text{O}2$, $32\ \text{g/mol}$; volumen molar en condiciones normales,…
En un laboratorio se pesan $32\ \text{g}$ de oxígeno, $\text{O}_2$. Datos: masa molar del $\text{O}_2$, $32\ \text{g/mol}$; volumen molar en condiciones normales, $22,4\ \text{L/mol}$.
a) ¿Cuántos moles de oxígeno son?
b) ¿Qué volumen ocuparía ese gas en condiciones normales?
Dos recipientes idénticos de $11,2\ \text{L}$ están, ambos, en condiciones normales ($1\ \text{atm}$ y $273\ \text{K}$): uno contiene nitrógeno, $\text{N}2$, y el otro…
Dos recipientes idénticos de $11,2\ \text{L}$ están, ambos, en condiciones normales ($1\ \text{atm}$ y $273\ \text{K}$): uno contiene nitrógeno, $\text{N}_2$, y el otro hidrógeno, $\text{H}_2$. Datos: masas molares del $\text{N}_2$ y del $\text{H}_2$, $28\ \text{g/mol}$ y $2\ \text{g/mol}$; volumen molar en condiciones normales, $22,4\ \text{L/mol}$.
a) ¿Cuántos moles de gas hay en cada recipiente?
b) Calcula la masa de gas de cada uno.
c) ¿Cuál de los dos recipientes pesa más? ¿Contiene por ello más partículas? Razona las respuestas.
Un globo con helio sube al techo; uno inflado con $\text{CO}_2$ de un cartucho cae. ¿Cómo decide la masa de las moléculas si un gas flota o se hunde en el aire?
La densidad de un gas es muy pequeña frente a la de un líquido. Por ejemplo, $10\ \text{g}$ de $\text{N}_2$ en $5\ \text{L}$ dan $\rho = \dfrac{10}{5} = 2\ \text{g/L}$, mientras que el agua tiene $1000\ \text{g/L}$, unas 500 veces más. El modelo de partículas lo explica: en un gas las partículas están muy separadas y casi todo el volumen es espacio vacío; en un líquido están casi en contacto, así que hay mucha más masa en cada litro.
Practica★☆☆Sin empezar
Una botella de $5\ \text{L}$ contiene $10\ \text{g}$ de nitrógeno gaseoso. La figura compara esa botella con el mismo volumen de agua según el modelo de partículas. a)…
Una botella de $5\ \text{L}$ contiene $10\ \text{g}$ de nitrógeno gaseoso. La figura compara esa botella con el mismo volumen de agua según el modelo de partículas.
a) Calcula la densidad del gas en $\text{g/L}$ (la masa dividida entre el volumen).
b) La densidad del agua es $1000\ \text{g/L}$: ¿cuántas veces más densa es el agua que ese gas?
c) Explica, con el modelo de partículas, por qué los gases tienen densidades tan pequeñas en comparación con los líquidos.
El $\text{CO}2$ es más denso que el aire, lo que explica que pueda acumularse en el fondo de pozos y de almacenes mal ventilados. Datos: masa molar del $\text{CO}2$,…
El $\text{CO}_2$ es más denso que el aire, lo que explica que pueda acumularse en el fondo de pozos y de almacenes mal ventilados. Datos: masa molar del $\text{CO}_2$, $44\ \text{g/mol}$; $R=0,082\ \text{atm}\cdot\text{L}/(\text{mol}\cdot\text{K})$; densidad del aire en condiciones normales, $1,29\ \text{g/L}$.
a) Calcula la masa de $1\ \text{mol}$ de $\text{CO}_2$ y el volumen que ocupa en condiciones normales ($1\ \text{atm}$ y $273\ \text{K}$).
b) Calcula la densidad del $\text{CO}_2$ en condiciones normales, con un decimal.
c) Compárala con la del aire y explica por qué el $\text{CO}_2$ se acumula en las zonas bajas.
En un laboratorio se recibe una botella con un gas desconocido. Al medir su masa y su volumen se obtiene una densidad de $1,43\ \text{g/L}$ en condiciones normales.…
En un laboratorio se recibe una botella con un gas desconocido. Al medir su masa y su volumen se obtiene una densidad de $1,43\ \text{g/L}$ en condiciones normales. Dato: volumen molar en condiciones normales, $22,4\ \text{L/mol}$.
a) Calcula la masa de $22,4\ \text{L}$ del gas, es decir, su masa molar.
b) ¿De qué gas puede tratarse: $\text{H}_2$ ($2\ \text{g/mol}$), $\text{O}_2$ ($32\ \text{g/mol}$) o $\text{CO}_2$ ($44\ \text{g/mol}$)? Justifica la respuesta.
Balitas, globos y recipientes: la ecuación en situaciones reales
Casi todos los problemas se resuelven igual: identifica qué te dan, pasa a las unidades de $R$ y despeja la incógnita. Si el gas cambia de condiciones, calcula primero la cantidad de sustancia (que se conserva si no sale gas) y luego aplica la ecuación al nuevo estado.
Un globo aerostático funciona con esta misma ecuación: está abierto por abajo, así que la presión interior es siempre la atmosférica. Si calientas el aire, su densidad $\rho = pM/(RT)$ baja y queda menor que la del aire frío exterior: el globo flota.
Vuelve al principio: en el extintor, el $\text{CO}_2$ se guarda comprimido; al abrir la válvula se expande hasta $1\ \text{atm}$ y ocupa cientos de veces su volumen. Y como su densidad (unos $1{,}97\ \text{g/L}$) es mayor que la del aire, cubre el fuego y desplaza al dioxígeno. Y el pomo cerrado: en lo alto del Pico Turquino la presión exterior es menor, el aire encerrado se expande ($p \cdot V$ constante) y el pomo se hincha.
¡A practicar! 3 ejercicios de nivel medio en este apartado