Función exponencial

Dada la función exponencial $f(x) = 3^x$, calcula los valores numéricos de $f(2)$, $f(-1)$, $f(0)$ y $f(\frac{1}{2})$. Expresa los resultados de forma exacta, utilizando raíces o fracciones si fuera necesario.

Halla la expresión analítica de una función exponencial de la forma $f(x) = k \cdot a^x$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $(0, 3)$ y $(2, 12)$.

Clasifica las siguientes funciones exponenciales en crecientes o decrecientes, justificando tu respuesta en función del valor de su base:

• $f(x) = 4^x$

• $g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$

• $h(x) = 0,8^x$

• $i(x) = e^x$

Relaciona cada una de las gráficas etiquetadas con A, B, C y D en la siguiente figura con su función exponencial correspondiente. Las funciones son: $f(x) = 2^x$, $g(x) = 0,5^x$, $h(x) = 3^x$ e $i(x) = -2^x$.

En la gráfica adjunta se muestran las funciones $f(x) = e^x$ y $g(x) = e^{-x}$, junto con la recta horizontal $y = e$.

Determina analíticamente las coordenadas del punto de corte entre las funciones $f(x)$ y $g(x)$. A continuación, calcula el área exacta del triángulo cuyos vértices son dicho punto de intersección y los dos puntos donde las curvas cortan a la recta $y = e$.

Determina el dominio, el recorrido y la ecuación de la asíntota horizontal de la función $f(x) = 2^x - 5$.

Calcula analíticamente las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y con el eje de ordenadas de la función $f(x) = 3^{x+1} - 9$.

A partir de la función $f(x) = 2^x$, explica detalladamente qué transformaciones geométricas hay que aplicar a su gráfica para obtener la gráfica de la función $g(x) = 2^{x-3} + 1$. Determina el dominio, el recorrido y la ecuación de la asíntota horizontal de $g(x)$.

Resuelve la siguiente ecuación exponencial igualando las bases a ambos lados de la igualdad:

$5^{2x-1} = 125$

Expresa ambos miembros de la ecuación como potencias de base $2$ y resuelve:

$8^x = \frac{1}{4}$

Resuelve la siguiente ecuación exponencial, extrayendo factor común tras aplicar las propiedades de las potencias:

$2^{x+2} + 2^{x-1} - 2^{x-2} = 34$

Resuelve la siguiente ecuación exponencial realizando un cambio de variable adecuado:

$9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales:

Resuelve la siguiente ecuación exponencial aplicando logaritmos:

$4^{x-1} = 15$

Expresa el resultado de forma exacta utilizando logaritmos y proporciona también una aproximación redondeada a dos cifras decimales.

Una población de bacterias se duplica cada hora. Si inicialmente en el cultivo hay $150$ bacterias, escribe la función $P(t)$ que modeliza el número de bacterias en función del tiempo $t$ (expresado en horas). ¿Cuántas bacterias habrá en el cultivo al cabo de $4$ horas?

Se invierten $20\,000\,000$ pesos en un depósito bancario que ofrece un interés compuesto anual del $3\%$.

• Escribe la función que determina el capital acumulado $C(t)$ al cabo de $t$ años.

• Calcula el capital total que se habrá acumulado después de $10$ años.

El valor de mercado de una máquina industrial decrece exponencialmente con el tiempo. Se compró por $160\,000\,000$ pesos y se sabe que cada año pierde un $15\%$ de su valor respecto al año inmediatamente anterior.

• Escribe la función $V(t)$ que da el valor de la máquina en función de los años transcurridos.

• ¿Cuál será su valor después de $5$ años?

• ¿Cuánto tiempo exacto debe transcurrir para que su valor se reduzca a la mitad?

Un isótopo radiactivo tiene un periodo de semidesintegración (tiempo que tarda en reducirse a la mitad su masa inicial) de $8$ días. Si partimos de una muestra inicial de $200$ gramos:

• Escribe la función $M(t)$ que proporciona la masa restante del isótopo en función del tiempo $t$ en días.

• ¿Qué masa de dicho isótopo quedará tras $24$ días?

Según la ley de enfriamiento de Newton, la temperatura de un objeto en un instante $t$ (en minutos) viene dada por la expresión $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$, donde $T_a$ es la temperatura ambiente y $T_0$ la temperatura inicial del objeto. Una taza de café a $90^\circ\text{C}$ se deja en una habitación que se mantiene a una temperatura constante de $20^\circ\text{C}$. Si tras $10$ minutos la temperatura del café ha descendido a $60^\circ\text{C}$:

• Calcula el valor exacto de la constante de enfriamiento $k$.

• Determina el tiempo total transcurrido desde el inicio para que el café alcance una temperatura de $30^\circ\text{C}$.

La propagación de un virus en una población aislada de $10000$ habitantes sigue un modelo de crecimiento logístico dado por la función:

$P(t) = \frac{10000}{1 + 99 e^{-0,5t}}$

donde $P(t)$ es el número de personas contagiadas y $t$ es el tiempo transcurrido en días desde el inicio del brote.

• Calcula el número inicial de contagiados en el instante $t = 0$.

• Determina cuántas personas estarán contagiadas transcurridos $10$ días.

• Calcula el tiempo exacto necesario para que la mitad de la población esté contagiada.

Determina el dominio de definición de la siguiente función:

$f(x) = \frac{x+2}{e^x - e^2}$

Determina analíticamente los intervalos de signo constante (es decir, los intervalos donde la función es estrictamente positiva y donde es estrictamente negativa) de la función:

$f(x) = (x^2 - 5x + 6)e^{-x}$

Dada la función $f(x) = e^{\frac{2x}{x-1}}$, realiza un estudio analítico para determinar:

• Su dominio de definición.

• Los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

• Las ecuaciones de sus asíntotas horizontales y verticales, si las tuviera.

Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en todo $\mathbb{R}$: