Características de las funciones
Santiago patea un tiro libre en la cancha del barrio y la altura de la pelota (en metros) a los $t$ segundos es $h(t) = -5t^2 + 10t$. ¿Durante cuánto tiempo está en el aire? ¿En qué momento llega a lo más alto y cuánto vale esa altura máxima? Para responder hay que hacer un análisis completo de la función: dónde está definida, dónde corta a los ejes, dónde es positiva o negativa, qué valores toma, si es simétrica y dónde crece o decrece. Vamos una pregunta a la vez.
Dominio: qué valores de x se pueden usar
Hay tres operaciones que "se rompen" y que conviene tener presentes:
| Si aparece… | Condición |
|---|---|
| una fracción $\dfrac{\ldots}{g(x)}$ | $g(x) \neq 0$ |
| una raíz de índice par $\sqrt{g(x)}$ | $g(x) \ge 0$ |
| un logaritmo $\log_a g(x)$ o $\ln g(x)$ | $g(x) > 0$ |
¿Por qué? No se puede dividir por cero, no existe (en $\mathbb{R}$) la raíz cuadrada de un número negativo y no hay ningún exponente que dé un número negativo o cero con base positiva.
Determina el dominio de definición de la función racional $f(x) = \frac{x-1}{x^2-9}$.
Determina el dominio de definición de la función racional $f(x) = \frac{x-1}{x^2-9}$.
Calcula el dominio de la función con radical $g(x) = \sqrt{2x-8}$.
Calcula el dominio de la función con radical $g(x) = \sqrt{2x-8}$.
Calcula el dominio de la función logarítmica $s(x) = \log_3(x+2)$.
Calcula el dominio de la función logarítmica $s(x) = \log_3(x+2)$.
Dominio con varias condiciones a la vez
Cuando una función mezcla fracción, raíz y logaritmo, cada ingrediente pone su condición y el dominio es la intersección de todas: tienen que cumplirse al mismo tiempo. Si una sola operación falla, toda la cuenta falla.
Halla el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{\frac{x+1}{x-3}}$.
Halla el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{\frac{x+1}{x-3}}$.
Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 3)$.
Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 3)$.
Calcula de forma razonada el dominio de la función $f(x) = \sqrt{\log_2(x-3)}$.
Calcula de forma razonada el dominio de la función $f(x) = \sqrt{\log_2(x-3)}$.
Puntos de corte con los ejes
¿Por qué? Un punto está sobre el eje $y$ cuando su $x$ vale $0$, y sobre el eje $x$ cuando su $y$ vale $0$.
En una función racional, los ceros son los del numerador (siempre que no anulen también el denominador). Por ejemplo, $g(x) = \dfrac{x^2-4}{x-1}$ tiene ceros en $x = \pm 2$ e intercepto con el eje $y$ en $g(0) = \dfrac{-4}{-1} = 4$.
Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función polinómica $h(x) = x^2 - 5x + 6$.
Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función polinómica $h(x) = x^2 - 5x + 6$.
Estudio del signo
Método. Se marcan en la recta los ceros y los puntos que no están en el dominio. Esos valores parten la recta en intervalos y, dentro de cada uno, el signo no cambia. Se evalúa $f$ en un valor de prueba de cada intervalo.
Funciones a trozos. Se estudia cada rama en su propio intervalo.
Determina los intervalos en los que la función $q(x) = -3x + 12$ tiene signo positivo y en cuáles tiene signo negativo.
Determina los intervalos en los que la función $q(x) = -3x + 12$ tiene signo positivo y en cuáles tiene signo negativo.
Calcula los puntos de corte con los ejes y estudia el signo de la función racional $g(x) = \frac{x^2-4}{x-1}$.
Calcula los puntos de corte con los ejes y estudia el signo de la función racional $g(x) = \frac{x^2-4}{x-1}$.
Dada la función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} 2x+6 & \text{si } x < -1 \\ x^2+3 & \text{si } x \ge -1 \end{cases}$ Halla sus puntos de corte con los ejes y…
Dada la función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} 2x+6 & \text{si } x < -1 \\ x^2+3 & \text{si } x \ge -1 \end{cases}$
Halla sus puntos de corte con los ejes y estudia su signo en todo su dominio.
Imagen (rango o recorrido)
En $r(x) = x^2 + 4$, cualquier $x$ sirve ($\text{Dom} r = \mathbb{R}$), pero como $x^2 \ge 0$, siempre $y \ge 4$: $\text{Im} r = [4, +\infty)$.
Imagen de una función racional del tipo $\frac{ax+b}{cx+d}$. Una forma algebraica de hallarla: se despeja $x$ en función de $y$ (es decir, se calcula la función inversa). Los valores de $y$ para los cuales ese despeje es posible forman la imagen.
Indica cuál es el recorrido o imagen de la función cuadrática $r(x) = x^2 + 4$.
Indica cuál es el recorrido o imagen de la función cuadrática $r(x) = x^2 + 4$.
Calcula la función inversa (o recíproca) de $f(x) = \frac{2x-5}{x+1}$ y utilízala para determinar el recorrido (imagen) de la función $f(x)$.
Calcula la función inversa (o recíproca) de $f(x) = \frac{2x-5}{x+1}$ y utilízala para determinar el recorrido (imagen) de la función $f(x)$.
Simetría: funciones pares e impares
Método: calcular $f(-x)$ y simplificar. Compararlo con $f(x)$ y con $-f(x)$.
Con logaritmos se usa que $\ln\dfrac{1}{A} = -\ln A$.
Estudia la simetría (par, impar o ninguna) de la función polinómica $p(x) = x^4 - 2x^2 + 7$.
Estudia la simetría (par, impar o ninguna) de la función polinómica $p(x) = x^4 - 2x^2 + 7$.
Determina analíticamente si la función $h(x) = \frac{x^3}{x^2+1}$ es par, impar o no tiene simetría.
Determina analíticamente si la función $h(x) = \frac{x^3}{x^2+1}$ es par, impar o no tiene simetría.
Demuestra analíticamente que la función $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$ es impar y determina su dominio de definición.
Demuestra analíticamente que la función $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$ es impar y determina su dominio de definición.
Crecimiento, extremos y la parábola
Al leer una gráfica, se recorre de izquierda a derecha: si sube, crece; si baja, decrece. Los intervalos se escriben sobre el eje $x$ y el extremo se da como punto $(x, y)$.
Parábola $f(x) = ax^2 + bx + c$ (función cuadrática). Su vértice está en $x_v = -\dfrac{b}{2a}$ y su altura es $y_v = f(x_v)$. Si $a > 0$ es un mínimo (abre hacia arriba); si $a < 0$, un máximo (abre hacia abajo). Por qué: el vértice está en el punto medio entre los dos ceros, y por eso en el eje de simetría.
Hallar la ecuación de una parábola. Con el vértice $V(x_v, y_v)$ se usa la forma canónica $f(x) = a(x - x_v)^2 + y_v$ y con otro punto se obtiene $a$.
Dominio en el contexto. Si la función modela una situación, hay que restringir el dominio a lo que tiene sentido: longitudes positivas, tiempos desde cero, etc. Por ejemplo, para el área $A(x) = x(100-2x)$ de un lote con $x$ en metros, se necesita $x > 0$ y $100 - 2x > 0$, o sea $x \in (0, 50)$; el vértice está en $x = 25$.
A partir de la representación gráfica de la parábola $y = f(x)$, indica sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como las coordenadas de su extremo relativo.
A partir de la representación gráfica de la parábola $y = f(x)$, indica sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como las coordenadas de su extremo relativo.
Se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba. La altura $h(t)$ en metros que alcanza tras $t$ segundos viene dada por la función $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$. Determina…
Se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba. La altura $h(t)$ en metros que alcanza tras $t$ segundos viene dada por la función $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$. Determina en qué instante alcanza la altura máxima y cuál es el valor de dicha altura.
Un agricultor dispone de $100$ metros de valla para cercar un huerto rectangular aprovechando un muro de piedra ya existente (no necesita valla en ese lado). Si $x$ es…
Un agricultor dispone de $100$ metros de valla para cercar un huerto rectangular aprovechando un muro de piedra ya existente (no necesita valla en ese lado). Si $x$ es la longitud de los lados perpendiculares al muro, la función que describe el área es $A(x) = x(100-2x)$. Determina el dominio de la función en el contexto del problema y calcula las dimensiones que maximizan el área.
Funciones periódicas
Para calcular $f(a)$ con $a$ grande: se resta el periodo las veces necesarias hasta caer dentro de un ciclo conocido. Por ejemplo, si $T = 6$ y $f(2) = 3$, entonces $f(20) = f(20 - 18) = f(2) = 3$, porque $20 = 2 + 3 \cdot 6$.
Modelos con funciones trigonométricas. La altura de una cabina de una rueda panorámica (noria) sigue una función de la forma $h(t) = c - A\cos\left(\dfrac{2\pi}{T}\,t\right)$, donde $c$ es la altura del centro, $A$ el radio y $T$ el tiempo de una vuelta. Con el signo menos, en $t = 0$ la cabina está en el punto más bajo.
Observa la gráfica de la siguiente función periódica que modela el voltaje en un circuito electrónico. Determina su periodo $T$ y calcula el valor de $f(17)$.
Observa la gráfica de la siguiente función periódica que modela el voltaje en un circuito electrónico. Determina su periodo $T$ y calcula el valor de $f(17)$.
Una noria tiene un radio de $10\text{ m}$, su centro se sitúa a $15\text{ m}$ del suelo y gira a velocidad constante tardando $4\text{ min}$ en dar una vuelta completa.…
Una noria tiene un radio de $10\text{ m}$, su centro se sitúa a $15\text{ m}$ del suelo y gira a velocidad constante tardando $4\text{ min}$ en dar una vuelta completa. Una cabina se encuentra en su punto más bajo en el instante $t = 0\text{ min}$. Sabiendo que la altura $h(t)$ en metros de la cabina en función del tiempo $t$ en minutos se modela con una función trigonométrica, determina su periodo, las alturas máxima y mínima que alcanza la cabina, y los instantes de tiempo en los que se alcanzan durante el primer ciclo completo.
Análisis completo y problemas con parámetros
Para hacer el análisis completo de una gráfica se responden, en orden:
-
Dominio e imagen (proyectar sobre cada eje).
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Interceptos con los ejes y signo ($C^+$, $C^-$).
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Simetría (¿se refleja sobre el eje $y$ o sobre el origen?).
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Asíntotas: una recta vertical $x = a$ donde la función "se escapa" hacia $\pm\infty$ (suele ser un valor excluido del dominio por un denominador nulo); una recta horizontal $y = b$ a la que se acerca cuando $x$ se hace muy grande o muy pequeño.
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Crecimiento y extremos relativos.
Parámetros. Cuando un enunciado da datos sobre el dominio o los ceros, se traducen en ecuaciones. Si $f(x) = \dfrac{x^2 + a}{x - b}$ debe tener dominio $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ y cortar al eje $x$ en $x = \pm 5$: el denominador se anula en $3$, así que $b = 3$; y como $x = 5$ es cero, $25 + a = 0$, o sea $a = -25$ (se verifica que $-5$ también anula el numerador y que el numerador no se anula en $3$).
Crecimiento demostrado algebraicamente. Para $f(x) = 2 + \dfrac{6}{x}$ con $x > 0$: tomamos $0 < x_1 < x_2$. Entonces $\dfrac{1}{x_1} > \dfrac{1}{x_2}$, y multiplicando por $6$ y sumando $2$ queda $f(x1) > f(x2)$. Como al aumentar $x$ disminuye $f$, la función es decreciente en $(0, +\infty)$. Este razonamiento sirve para costos medios del tipo $Cm(x) = \dfrac{ax + b}{x}= a + \dfrac{b}{x}$, con dominio $x > 0$ en el contexto de una producción.
Determina los coeficientes $a$, $b$ y $c$ de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su vértice es el punto $V(3, -4)$ y que corta al eje de abscisas…
Determina los coeficientes $a$, $b$ y $c$ de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su vértice es el punto $V(3, -4)$ y que corta al eje de abscisas en $x = 1$.
El costo medio mensual (en pesos) por unidad producida en una fábrica de componentes electrónicos está dado por la función…
El costo medio mensual (en pesos) por unidad producida en una fábrica de componentes electrónicos está dado por la función $C_m(x) = \frac{1\,200\,000x + 4\,800\,000}{x}$, donde $x$ es el número de unidades producidas ($x > 0$). Determina el dominio en el contexto del problema, estudia su signo y demuestra analíticamente en qué intervalos el costo medio es creciente o decreciente.
Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \frac{x^2+a}{x-b}$ tenga como dominio $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ y corte al eje de abscisas…
Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \frac{x^2+a}{x-b}$ tenga como dominio $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ y corte al eje de abscisas en los puntos $x = 4$ y $x = -4$.
A partir de la gráfica de la función $y = f(x)$, realiza un análisis completo indicando: dominio, recorrido, simetría, ecuaciones de las asíntotas, extremos relativos e…
A partir de la gráfica de la función $y = f(x)$, realiza un análisis completo indicando: dominio, recorrido, simetría, ecuaciones de las asíntotas, extremos relativos e intervalos de signo positivo y negativo.