Recta de regresión

Observa las siguientes nubes de puntos que representan la relación entre dos variables estadísticas. Asocia razonadamente cada uno de los valores del coeficiente de correlación de Pearson, $r$, con su gráfico correspondiente:

Valores de $r$: $0,95$; $-0,85$; $0,05$.

Indica, para cada una de las siguientes parejas de variables, si esperas que tengan una correlación positiva, negativa o nula:

1. El número de kilómetros recorridos por un carro y el combustible que queda en su tanque.

2. La estatura de una persona y su nota en el examen de Matemáticas.

3. Los ingresos mensuales de una familia y el gasto en recreación y cultura.

4. El tiempo que un deportista entrena al día y su marca personal (tiempo empleado) en una carrera.

Dada la siguiente tabla de valores de una variable bidimensional:

1. a) Calcula el centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$.
2. b) Representa los puntos en una pequeña nube de puntos manual y deduce el signo de la covarianza $\sigma_{xy}$ sin realizar el cálculo completo.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un grupo de estudiantes de 1.º de Bachillerato ha realizado un estudio sobre la relación entre el tiempo diario (en horas) que pasan utilizando una conocida red social de vídeos cortos ($X$) y el porcentaje de batería que les queda en el móvil al final del día ($Y$). Los datos obtenidos de 6 compañeros son los siguientes:

a) Calcula el centro de gravedad de la distribución $(\bar{x}, \bar{y})$.

b) Halla la covarianza $\sigma_{xy}$ y el coeficiente de correlación lineal $r$. Interpreta el resultado obtenido en cuanto al signo y la fuerza de la relación.

c) Determina la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

d) Si un alumno utiliza la red social durante 2,5 horas, ¿qué porcentaje de batería se estima que le quedará? ¿Es fiable esta predicción? Justifica tu respuesta basándote en el coeficiente de determinación $r^2$.

Un sociólogo analiza la relación entre el tiempo semanal dedicado a ver la televisión ($X$, en horas) y la capacidad de concentración en un test específico ($Y$, escala de 0 a 100). Los datos de 10 adolescentes arrojaron los siguientes resultados parciales:

$\sum x_i = 150$; $\sum y_i = 620$; $\sum x_i^2 = 2\,850$; $\sum y_i^2 = 41\,500$; $\sum x_iy_i = 8\,400$.

Se pide:

1. Hallar la covarianza $s_{xy}$ y el coeficiente de correlación $r$.

2. Obtener la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

3. Un alumno dedica 40 horas semanales a ver la televisión. Calcula su puntuación estimada en el test. Analiza si esta estimación es una interpolación o una extrapolación y discute su validez real en el contexto del problema.

En una distribución bidimensional, se sabe que la media de la variable $X$ es $\bar{x} = 12$ y la media de la variable $Y$ es $\bar{y} = 15$.

1. a) ¿Cuáles son las coordenadas del centro de gravedad de esta distribución?
2. b) Si la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 0,8x + a$, calcula el valor del intercepto con el eje $a$ sabiendo que la recta debe pasar obligatoriamente por el centro de gravedad.

Un estudio sobre hábitos de estudio en 1º de Bachillerato analiza la relación entre el número de horas semanales dedicadas a la lectura, $X$, y la nota obtenida en el examen de Lengua, $Y$. La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es:

$y = 0,65x + 3,2$

1. a) Justifica si la correlación entre ambas variables es positiva o negativa.
2. b) Si un alumno le dedica $8$ horas semanales a la lectura, ¿qué nota se estima que obtendrá en el examen?

Se ha realizado una encuesta a un grupo de adolescentes sobre el número de seguidores que tienen en una plataforma ($X$, en cientos) y el número medio de "me gusta" que reciben por publicación ($Y$). Los datos se resumen en la siguiente tabla:

a) Representa la nube de puntos y traza de forma aproximada a mano alzada la recta de regresión.

b) Calcula los coeficientes de la recta de regresión $y = mx + n$.

c) ¿Cuál es el significado físico de la pendiente $m$ en este contexto?

d) Calcula el coeficiente de determinación $r^2$ y explica qué porcentaje de la variación de los "likes" queda explicado por el número de seguidores.

En un estudio sobre hábitos de sueño y rendimiento académico, se obtuvieron las siguientes rectas de regresión para las variables $X$ (horas de sueño diarias) e $Y$ (nota media en el trimestre):

Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,65x + 3,2$

Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 1,15y - 0,45$

a) Sabiendo que ambas rectas se cortan en el centro de gravedad de la distribución, calcula la media de horas de sueño ($\bar{x}$) y la nota media de los alumnos ($\bar{y}$).

b) Calcula el coeficiente de correlación lineal $r$ a partir de las pendientes de ambas rectas.

c) Indica razonadamente si la correlación es directa o inversa y si es fuerte o débil.

Las notas de 50 alumnos en Economía ($X$) y Geografía ($Y$) tienen una media de 6,5 en ambas asignaturas. La varianza de Economía es 4 y la de Geografía es 2,25. Se sabe que el coeficiente de correlación es $r = 0,8$.

1. a) Si un alumno ha obtenido un 4 en Economía, estima su nota en Geografía.

1. b) Si otro alumno ha obtenido un 9 en Geografía, estima su nota en Economía utilizando la recta de regresión pertinente.

1. c) Compara ambas estimaciones y explica por qué no se puede utilizar la misma recta para ambos casos si queremos minimizar el error cuadrático medio.

En un estudio sobre el rendimiento de una nueva criptomoneda, se analizaron las variables $X$ (inversión en publicidad en miles de pesos) e $Y$ (volumen de transacciones diarias en millones de pesos). Tras procesar los datos, se obtuvieron las ecuaciones de las dos rectas de regresión:

• Recta de regresión de $Y$ sobre $X$: $y = 0,85x + 1,24$

• Recta de regresión de $X$ sobre $Y$: $x = 0,92y - 0,15$

Determina de forma justificada:

1. El centro de gravedad de la distribución $(\bar{x}, \bar{y})$.

2. El coeficiente de correlación lineal de Pearson ($r$).

3. Si se desea realizar una inversión en publicidad de $15\,000$ pesos, ¿cuál sería el volumen de transacciones esperado? Justifica la confiabilidad de esta predicción basándote en el coeficiente de determinación.

Una empresa de mensajería analizó la relación entre la distancia recorrida (en km) por sus repartidores en bicicleta ($X$) y el número de calorías quemadas según sus dispositivos inteligentes ($Y$). Tras calcular los parámetros estadísticos, se obtuvieron los siguientes valores:

$\bar{x} = 15 \text{ km}$; $\bar{y} = 480 \text{ kcal}$

$\sigma_x = 4,2$; $\sigma_y = 120$

$\sigma_{xy} = 453,6$

a) Calcula el coeficiente de correlación lineal e indica qué tipo de dependencia existe entre las variables.

b) Halla la recta de regresión de las calorías quemadas ($Y$) en función de la distancia recorrida ($X$).

c) ¿Cuántas calorías se estima que quemará un repartidor que recorre 22 km?

d) Si un repartidor desea quemar aproximadamente 600 kcal, ¿cuántos kilómetros debería recorrer según la recta de regresión de $X$ sobre $Y$?

Se analiza la relación entre el número de horas de luz solar diaria ($X$) y el consumo eléctrico en calefacción ($Y$) en una gran oficina durante 12 meses. Los datos se resumen en:

$\bar{x} = 9$; $\bar{y} = 450$; $s_x = 3,2$; $s_y = 85$ y $s_{xy} = -210$.

1. Calcula la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

2. Calcula la recta de regresión de $X$ sobre $Y$.

3. Explica el significado del signo de la covarianza en este contexto y determina qué porcentaje de la variabilidad del consumo eléctrico no depende de las horas de sol.

Dada una distribución bidimensional donde el coeficiente de determinación es $R^2 = 0,81$, se sabe que la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ tiene una pendiente positiva y pasa por los puntos $(2, 5)$ y $(6, 11)$.

1. Calcula el coeficiente de correlación de Pearson.

2. Determina la varianza de la variable $Y$ si sabemos que la desviación típica de $X$ es $s_x = 2,5$.

3. Encuentra la ecuación de la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ si sabemos que el centro de gravedad es $(\bar{x}, \bar{y}) = (4, 8)$.

Se ha estudiado la relación entre el precio de una suscripción mensual a una plataforma de música ($X$, en pesos) y el número de horas que los usuarios escuchan música al mes ($Y$). Se conoce que:

• La varianza de $X$ es $\sigma_x^2 = 4$.

• La varianza de $Y$ es $\sigma_y^2 = 25$.

• La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = -1,2x + 42$.

a) Determina la covarianza $\sigma_{xy}$ entre ambas variables.

b) Calcula el coeficiente de correlación lineal $r$.

c) ¿Cómo variaría el coeficiente de correlación si decidiéramos expresar el tiempo de escucha en minutos en lugar de horas? Justifica tu respuesta.

Un equipo de marketing estudia la relación entre los "likes" obtenidos en una publicación de Instagram ($X$) y las ventas generadas de un producto ($Y$). Han observado que la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 0,04x + 150$. Sin embargo, se dan cuenta de que los datos de ventas estaban registrados sin el IVA (21%).

Si definimos una nueva variable $Y' = 1,21Y$ para incluir el impuesto:

1. ¿Cuál será la nueva ecuación de la recta de regresión de $Y'$ sobre $X$?

2. ¿Cómo se verá afectado el coeficiente de correlación de Pearson original? Justifica tu respuesta basándote en las propiedades de las transformaciones lineales en estadística.

Se ha medido el tiempo de carga de una batería de celular ($X$, en minutos) y el porcentaje de carga alcanzado ($Y$, en %). Los resultados se muestran en la siguiente gráfica:

Si la ecuación de la recta naranja es $y = 0,5x + 10$:

1. a) Estima el porcentaje de carga después de $60$ minutos.
2. b) ¿Es una relación funcional o estadística? Justifica tu respuesta observando la posición de los puntos respecto a la línea.

Un entrenador de atletismo analiza la relación entre la estatura de sus atletas en cm ($X$) y la longitud de su zancada en cm ($Y$). Los datos de 5 atletas son: (160, 110), (170, 120), (175, 125), (180, 132) y (190, 145).

a) Obtén la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

b) ¿Qué longitud de zancada se esperaría de un atleta que mide 185 cm?

c) Calcula el error de predicción (residuo) para el atleta que mide 180 cm. El error se define como la diferencia entre el valor real y el estimado por la recta: $e = y_i - \hat{y}_i$.

d) Si el coeficiente de correlación fuera $r = 0,98$, ¿qué podrías afirmar sobre la fiabilidad de las predicciones del entrenador?

En una tabla de contingencia que relaciona el nivel de estudios ($X$) y los ingresos ($Y$) de una muestra, se han perdido algunos datos. Conocemos los siguientes parámetros:

$\bar{x} = 3$; $\bar{y} = 2\,400$; $s_x^2 = 1,2$; $s_y^2 = 160\,000$ y la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 300x + 1\,500$.

1. Calcula el coeficiente de determinación $R^2$ e interpreta el porcentaje de la varianza de los ingresos que queda explicada por el nivel de estudios.

2. Si un individuo tiene un nivel de estudios de $X=5$ y sus ingresos reales son de $3\,200$ pesos, calcula el error de predicción (residuo) que comete la recta.

Un nutricionista analiza la relación entre el peso de un grupo de adolescentes ($X$, en kg) y su estatura ($Y$, en cm). Los datos recogidos tienen un coeficiente de correlación de $r = 0,92$ y la recta de regresión es $y = 1,4x + 85$.

Explica el significado de la pendiente ($1,4$) en el contexto del problema y valora la fiabilidad de las predicciones que se realicen con esta recta.

Una empresa de mensajería sabe que el costo de un envío, $Y$ (en pesos), depende del peso del paquete, $X$ (en kg), según la recta de regresión $y = 10\,000x + 20\,000$.

Si el coeficiente de correlación es $r = 0,98$, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

1. Por cada kilogramo de aumento en el peso, el costo aumenta exactamente $10\,000$ pesos.

2. Las predicciones hechas para paquetes de un peso similar a los estudiados serán muy confiables.

3. Si un paquete pesa $0$ kg, el costo será obligatoriamente de $0$ pesos.

4. La relación entre el peso y el costo es inversa.

Observa la siguiente nube de puntos que relaciona la inversión en I+D ($X$) y el beneficio neto anual ($Y$) de varias empresas tecnológicas:

Sabiendo que la recta de regresión es $y = 2,5x + 10$ y que el coeficiente de correlación es $r = 0,92$:

a) Indica razonadamente si existe una relación fuerte entre la inversión y los beneficios.

b) Si una empresa no invierte nada en I+D ($x = 0$), según el modelo, ¿cuál sería su beneficio estimado? ¿Tiene sentido este valor en la realidad?

c) Explica qué ocurriría con la pendiente de la recta si el coeficiente de correlación fuera negativo.

d) Si multiplicamos todos los valores de los beneficios por 2, ¿cómo cambiaría el valor del coeficiente de correlación $r$? Justifica tu respuesta.

Dada la siguiente nube de puntos correspondiente a las variables $X$ (antigüedad de un carro en años) e $Y$ (valor de mercado en miles de pesos), se ha trazado la recta de regresión de $Y$ sobre $X$. Se observa que existe un punto atípico en las coordenadas $(1, 8\,000)$.

1. Si eliminamos dicho punto de la serie de datos, ¿qué esperarías que ocurriera con el valor absoluto del coeficiente de correlación? ¿Y con la pendiente de la recta de regresión?

2. Si la recta original es $y = -6\,000x + 80\,000$, calcula el valor estimado para un carro de 10 años y argumenta sobre la idoneidad de usar este modelo para carros de más de 15 años.

Un centro de adopción de mascotas quiere predecir el tiempo que tarda un perro en ser adoptado ($Y$, en días) en función de su edad ($X$, en años). Han recogido datos de 10 perros y han obtenido una correlación de $r = 0,85$. La media de edad es de 4 años y la de días hasta la adopción es de 25 días. La desviación típica de la edad es de 2 años y la de los días es de 10 días.

a) Obtén la ecuación de la recta de regresión.

b) Estima cuánto tiempo tardará en ser adoptado un cachorro de 0,5 años.

c) Estima cuánto tiempo tardará un perro senior de 12 años.

d) De las dos estimaciones anteriores, indica cuál es más fiable y por qué, teniendo en cuenta el rango de los datos originales (edades entre 1 y 8 años).