Secciones cónicas y lugares geométricos
Apunta la linterna del celular contra la pared de tu cuarto. Si la sostienes de frente, la mancha de luz es un círculo. Si la inclinas, se vuelve un óvalo, y si la inclinas más, se abre en una curva que parece no cerrarse. El haz de luz es un cono, y la pared es un plano que lo corta. Las curvas que salen son solo cuatro: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola. En esta página las conoces de dos maneras: como cortes de un cono y como lugares geométricos, es decir, conjuntos de puntos que cumplen una condición de distancias. Con la segunda aprenderás a hallar la ecuación de cada curva.
Cortar un cono y un cilindro: de dónde salen las cónicas
Con un plano casi vertical que corta el cono y su «gemelo» opuesto por el vértice, como un reloj de arena, aparece la hipérbola. Cada rama sale de un cono distinto.
| Plano que corta el cono | Curva |
|---|---|
| Perpendicular al eje | Circunferencia |
| Inclinado, corta todas las generatrices de una hoja | Elipse |
| Paralelo a una única generatriz | Parábola |
| Corta las dos hojas del cono | Hipérbola (dos ramas) |
| Pasa por el vértice | Casos degenerados: un punto, una recta o dos rectas |
El cilindro también tiene sus cortes, más sencillos: uno transversal (perpendicular al eje) da una circunferencia, uno oblicuo da una elipse y uno longitudinal (paralelo al eje) da dos rectas paralelas. Así se explica la mancha elíptica de una linterna que ilumina un tubo.
Un cono de revolución se corta con un plano que no pasa por su vértice. Si el plano es paralelo a una única generatriz del cono, ¿qué sección cónica se obtiene?…
Un cono de revolución se corta con un plano que no pasa por su vértice. Si el plano es paralelo a una única generatriz del cono, ¿qué sección cónica se obtiene? Justifica tu respuesta basándote en la definición geométrica de las secciones cónicas.
Lugar geométrico: mediatriz y circunferencia
Ya conoces dos ejemplos. La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que están a una distancia fija $r$ de un punto $O$. La mediatriz de un segmento $AB$ es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de $A$ y de $B$. Arrastra el punto y comprueba que la condición se cumple.
Las cuatro cónicas son lugares geométricos con condiciones un poco más elaboradas. En lugar de una distancia fija, relacionan dos distancias.
También puedes hallar el centro de la circunferencia que pasa por tres puntos. Ese centro equidista de los tres, así que está en la intersección de dos mediatrices.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al origen de coordenadas es siempre igual a $5$.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al origen de coordenadas es siempre igual a $5$.
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$. ¿Qué figura geométrica representa?
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$. ¿Qué figura geométrica representa?
Durante una excavación arqueológica se descubre un fragmento del borde de un plato circular antiguo. Para reconstruir su tamaño original, se digitaliza el fragmento y se…
Durante una excavación arqueológica se descubre un fragmento del borde de un plato circular antiguo. Para reconstruir su tamaño original, se digitaliza el fragmento y se toman tres puntos de su contorno: $A(-2, 1)$, $B(2, 5)$ y $C(4, 1)$. Utilizando el concepto de lugar geométrico (intersección de mediatrices), calcula las coordenadas del centro original del plato y su radio.
Equidistar de dos rectas: las bisectrices
Para trabajar con rectas necesitas la distancia de un punto a una recta. Úsala como herramienta.
Si dos rectas se cortan, los puntos que equidistan de ambas forman dos rectas perpendiculares entre sí: las bisectrices de los ángulos que forman.
Determina las ecuaciones de los lugares geométricos de los puntos que equidistan de las rectas secantes $r: 3x - 4y + 5 = 0$ y $s: 4x + 3y - 1 = 0$.
Determina las ecuaciones de los lugares geométricos de los puntos que equidistan de las rectas secantes $r: 3x - 4y + 5 = 0$ y $s: 4x + 3y - 1 = 0$.
En el plano de una ciudad, dos avenidas rectas siguen las ecuaciones $r: 2x + y - 4 = 0$ y $s: x - 2y + 3 = 0$. Se desea construir una plaza en un punto que equidiste de…
En el plano de una ciudad, dos avenidas rectas siguen las ecuaciones $r: 2x + y - 4 = 0$ y $s: x - 2y + 3 = 0$. Se desea construir una plaza en un punto que equidiste de ambas avenidas y que, por restricciones urbanísticas, esté situado sobre la calle peatonal $x + y = 5$. Calcula las coordenadas de las posibles ubicaciones para la plaza.
Rectas paralelas y distancia constante a una recta
Con rectas paralelas pasa algo distinto: los puntos que equidistan de ambas forman una recta, paralela a las dos y situada a mitad de camino.
Si en cambio piden los puntos a distancia constante $d$ de una recta, salen dos rectas paralelas a ella, una a cada lado.
Para la recta media entre dos paralelas $3x+4y-10=0$ y $3x+4y+5=0$ basta promediar los términos independientes: $3x+4y+\tfrac{-10+5}{2}=0$, que es $6x+8y-5=0$.
Determina el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas paralelas $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: x + 2y + 6 = 0$.
Determina el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas paralelas $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: x + 2y + 6 = 0$.
Halla las ecuaciones del lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia constante de $3$ unidades de la recta $4x - 3y + 2 = 0$.
Halla las ecuaciones del lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia constante de $3$ unidades de la recta $4x - 3y + 2 = 0$.
Construir la ecuación paso a paso
El método es siempre el mismo. Llamas $P(x,y)$ al punto genérico, escribes la condición con las fórmulas de distancia y simplificas hasta quitar las raíces.
Para reconocer la figura final te sirve completar cuadrados: $x^2-12x=(x-6)^2-36$. Es el mismo truco de las identidades notables de grado séptimo, pero al revés.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos $A(2,0)$ y $B(-2,0)$ es igual a $20$.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos $A(2,0)$ y $B(-2,0)$ es igual a $20$.
En un proyecto de telecomunicaciones, se ubican dos antenas emisoras en los puntos $A(-3,0)$ y $B(3,0)$ de un plano cartesiano (en km). Un receptor $R(x,y)$ se mueve de…
En un proyecto de telecomunicaciones, se ubican dos antenas emisoras en los puntos $A(-3,0)$ y $B(3,0)$ de un plano cartesiano (en km). Un receptor $R(x,y)$ se mueve de forma que su distancia a la antena $A$ es siempre el doble que su distancia a la antena $B$. Halla la ecuación del lugar geométrico que describe el receptor e identifica de qué cónica se trata, indicando su centro y su radio.
Condiciones con distancias al cuadrado
Algunas condiciones piden la suma o la diferencia de los cuadrados de dos distancias. No tienen raíces y se trabajan más rápido.
Con tres o más puntos fijos pasa lo mismo: sumas los cuadrados de todas las distancias, desarrollas y, si $x^2$ e $y^2$ quedan con el mismo coeficiente, divides entre él y completas cuadrados.
Halla el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos $A(1,0)$ y $B(-1,0)$ es igual a $8$, es decir,…
Halla el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos $A(1,0)$ y $B(-1,0)$ es igual a $8$, es decir, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 8$.
Tres sensores sísmicos están ubicados en las coordenadas $A(0,0)$, $B(4,0)$ y $C(0,4)$. Un dron de calibración vuela en el mismo plano de modo que la suma de los…
Tres sensores sísmicos están ubicados en las coordenadas $A(0,0)$, $B(4,0)$ y $C(0,4)$. Un dron de calibración vuela en el mismo plano de modo que la suma de los cuadrados de sus distancias a los tres sensores se mantiene constante e igual a $50$. Halla la ecuación del lugar geométrico de la trayectoria del dron y describe la figura resultante.
Un velero navega de modo que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a dos boyas situadas en $A(-3, -1)$ y $B(5, 5)$ es siempre constante e igual a $32$. Es…
Un velero navega de modo que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a dos boyas situadas en $A(-3, -1)$ y $B(5, 5)$ es siempre constante e igual a $32$. Es decir, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 32$. Halla la ecuación del lugar geométrico de la trayectoria del velero y demuestra analíticamente que dicha trayectoria es una recta perpendicular al segmento que une las dos boyas.
Foco y directriz: la parábola
Hay un lugar geométrico que mezcla un punto y una recta. La parábola es el conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo $F$ (el foco) y de una recta fija (la directriz).
Para medir la distancia de $P(x,y)$ a una recta vertical $x=k$ usa $|x-k|$. Para una horizontal $y=k$, usa $|y-k|$.
La razón entre las dos distancias no siempre es $1$. Si el enunciado dice que la distancia a una recta es el doble de la distancia a un punto, el método es el mismo: escribes la razón, elevas al cuadrado y simplificas. Por ejemplo, con $|x+4|=2\sqrt{(x+1)^2+y^2}$ no sale una parábola (es el caso de la última sección de esta página).
El reflector de un faro marítimo tiene un perfil diseñado de manera que la distancia de cualquier punto de su superficie al foco emisor de luz, situado en $F(0,2)$, es…
El reflector de un faro marítimo tiene un perfil diseñado de manera que la distancia de cualquier punto de su superficie al foco emisor de luz, situado en $F(0,2)$, es exactamente igual a su distancia a una línea de referencia horizontal de ecuación $y = -2$. Determina la ecuación del lugar geométrico del perfil del reflector.
El extremo $P(x,y)$ de un brazo robótico industrial está programado para moverse de tal forma que su distancia a la recta de seguridad $x = -4$ es siempre el doble de su…
El extremo $P(x,y)$ de un brazo robótico industrial está programado para moverse de tal forma que su distancia a la recta de seguridad $x = -4$ es siempre el doble de su distancia al punto de anclaje $F(-1,0)$. Determina la ecuación de la trayectoria que describe el extremo del brazo e identifica qué tipo de cónica representa.
Un móvil se desplaza en el plano cartesiano de manera que su distancia a la recta vertical $x = k$ es igual a su distancia al punto fijo $F(2,0)$. Determina la ecuación…
Un móvil se desplaza en el plano cartesiano de manera que su distancia a la recta vertical $x = k$ es igual a su distancia al punto fijo $F(2,0)$. Determina la ecuación del lugar geométrico en función del parámetro $k$. ¿Para qué valor exacto de $k$ el lugar geométrico degenera en una recta en lugar de formar una parábola?
Centros que se mueven
Una circunferencia tangente a una recta tiene el radio igual a la distancia de su centro a esa recta. Si además debe pasar por un punto fijo $P$, el radio también es $d(C,P)$. Así que el centro equidista de un punto y de una recta, que es la definición de parábola.
En el diseño de un sistema de fluidos, se debe instalar un conducto cilíndrico cuya sección transversal puede variar de tamaño, pero siempre debe ser tangente al eje de…
En el diseño de un sistema de fluidos, se debe instalar un conducto cilíndrico cuya sección transversal puede variar de tamaño, pero siempre debe ser tangente al eje de abscisas y pasar obligatoriamente por un sensor fijo situado en $P(0,2)$. Encuentra la ecuación del lugar geométrico que describen los posibles centros $C(x,y)$ de dicha sección transversal e identifica la cónica.
Suma y diferencia de distancias: elipse e hipérbola
Un jardinero clava dos estacas, ata a ellas una cuerda y la mantiene tensa con un palo mientras traza el contorno. La suma de las distancias de la punta a las dos estacas siempre es la longitud de la cuerda. Ese contorno es una elipse.
La hipérbola sirve para localizar. Si dos estaciones registran la misma señal (un sismo, una emisión de radio) y miden la diferencia en el tiempo de llegada, saben la diferencia de distancias. Eso ubica la fuente sobre una rama de hipérbola.
En general, una elipse con focos $(\pm c,0)$ y suma $2a$ tiene ecuación $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ con $b^2=a^2-c^2$. Una hipérbola con focos $(\pm c,0)$ y diferencia $2a$ tiene $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ con $b^2=c^2-a^2$.
Para diseñar un parterre elíptico en un parque, un jardinero clava dos estacas en el suelo en los puntos $(-3,0)$ y $(3,0)$ (medidas en metros). Luego, ata los extremos…
Para diseñar un parterre elíptico en un parque, un jardinero clava dos estacas en el suelo en los puntos $(-3,0)$ y $(3,0)$ (medidas en metros). Luego, ata los extremos de una cuerda de $10\text{ m}$ de longitud a ambas estacas y, manteniendo la cuerda tensa con un punzón, traza el contorno sobre la tierra. Halla la ecuación del lugar geométrico del borde del parterre.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En un sistema de navegación hiperbólica, un barco recibe señales de radio simultáneas desde dos estaciones costeras ubicadas en $A(-5,0)$ y $B(5,0)$ (en decenas de km).…
En un sistema de navegación hiperbólica, un barco recibe señales de radio simultáneas desde dos estaciones costeras ubicadas en $A(-5,0)$ y $B(5,0)$ (en decenas de km). El retardo en la recepción de la señal indica que el barco se encuentra siempre $60\text{ km}$ más cerca de la estación $B$ que de la estación $A$. Obtén la ecuación del lugar geométrico sobre el cual navega el barco.
Un rayo láser parte del foco $F_1(c,0)$ de una elipse reflectante, rebota en un punto $P(x,y)$ de su superficie y llega directamente al otro foco $F_2(-c,0)$. Si la…
Un rayo láser parte del foco $F_1(c,0)$ de una elipse reflectante, rebota en un punto $P(x,y)$ de su superficie y llega directamente al otro foco $F_2(-c,0)$. Si la distancia total recorrida por el rayo de luz es de $10$ unidades y la distancia focal es de $6$ unidades, deduce la ecuación reducida del lugar geométrico de la elipse utilizando su definición basada en distancias.
Ángulos, pendientes y productos
Otras condiciones usan herramientas de geometría analítica que ya manejas.
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Distancias a los ejes: el punto $P(x,y)$ está a $|y|$ del eje $x$ y a $|x|$ del eje $y$.
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Pendiente del segmento que une $A(x_A,y_A)$ con $P(x,y)$: $\dfrac{y-y_A}{x-x_A}$. Esa expresión no existe en $x=x_A$.
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Ángulo recto en $P$: se escribe con Pitágoras, $d(P,A)^2+d(P,B)^2=d(A,B)^2$, o con pendientes, $m_{PA}\cdot m_{PB}=-1$.
Una cámara de seguridad ubicada en un punto móvil $P(x,y)$ debe vigilar un pasillo lineal definido por el segmento $AB$, con extremos en $A(-4,0)$ y $B(4,0)$. Para que…
Una cámara de seguridad ubicada en un punto móvil $P(x,y)$ debe vigilar un pasillo lineal definido por el segmento $AB$, con extremos en $A(-4,0)$ y $B(4,0)$. Para que los sensores de la cámara funcionen de manera óptima, el ángulo de visión $\angle APB$ debe ser exactamente de $90^\circ$. Halla analíticamente el lugar geométrico de las posibles posiciones de la cámara, excluyendo los puntos $A$ y $B$. Describe la figura resultante.
En un mecanismo articulado, dos varillas giran alrededor de los pivotes fijos $A(-a,0)$ y $B(a,0)$. El mecanismo está diseñado de modo que el producto de las pendientes…
En un mecanismo articulado, dos varillas giran alrededor de los pivotes fijos $A(-a,0)$ y $B(a,0)$. El mecanismo está diseñado de modo que el producto de las pendientes de ambas varillas en su punto de intersección $P(x,y)$ es siempre una constante negativa $-k^2$ (con $k > 0$). Demuestra que el lugar geométrico del punto $P$ es una elipse y determina la longitud de sus semiejes en función de $a$ y $k$.
En un estudio acústico, dos fuentes sonoras emiten ondas sobre ejes perpendiculares que coinciden con los ejes de coordenadas. El lugar geométrico de los puntos donde el…
En un estudio acústico, dos fuentes sonoras emiten ondas sobre ejes perpendiculares que coinciden con los ejes de coordenadas. El lugar geométrico de los puntos donde el producto de las distancias a ambos ejes es constante e igual a $16$ define unas curvas isofónicas. Halla la ecuación del lugar geométrico y demuestra que está formado por dos hipérbolas equiláteras, calculando la distancia exacta entre los vértices de cada una de ellas.
La excentricidad: una receta para las cuatro curvas
Si imponemos que la razón entre la distancia a un foco $F$ y la distancia a una directriz $r$ sea constante, sale una cónica distinta según el valor de esa razón.
Con un valor general de $e$ y directriz $x=d$, la misma cuenta da $(1-e^2)x^2+2e^2d\,x+y^2-e^2d^2=0$. El signo de $1-e^2$ decide: si es positivo (elipse), cero (parábola) o negativo (hipérbola).
Demuestra analíticamente que el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya distancia al origen $O(0,0)$ es igual a $e$ veces su distancia a la recta $x = d$ (con…
Demuestra analíticamente que el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya distancia al origen $O(0,0)$ es igual a $e$ veces su distancia a la recta $x = d$ (con $e > 0$ y $d > 0$) representa una elipse si $e < 1$, una parábola si $e = 1$ y una hipérbola si $e > 1$. Escribe la ecuación general obtenida antes de clasificarla.
Vuelve al principio: la mancha de la linterna es la intersección de un cono de luz con la pared. Según la inclinación sale una circunferencia, una elipse, una parábola o una rama de hipérbola. Cada una la puedes describir con una condición de distancias.