Eventos

Un estudiante de 2º de Bachillerato está organizando sus carpetas digitales de apuntes. En su carpeta de "Economía" tiene 12 archivos PDF, 8 documentos de texto y 5 esquemas en formato imagen. Si elige un archivo al azar para repasarlo antes de un examen, determina:

1. a) El espacio muestral del experimento.

1. b) La probabilidad de que el archivo elegido sea un esquema en formato imagen.

1. c) La probabilidad de que el archivo elegido no sea un documento de texto.

En una clase de 2º de Bachillerato, se ha realizado una encuesta sobre el uso de redes sociales. Se sabe que el suceso $A$ es "utilizar Instagram" y el suceso $B$ es "utilizar TikTok". Define mediante operaciones de sucesos (unión, intersección o complementario) las siguientes situaciones:

1. a) El alumno utiliza ambas redes sociales.
2. b) El alumno utiliza al menos una de las dos redes.
3. c) El alumno no utiliza Instagram.
4. d) El alumno utiliza Instagram pero no TikTok.

Extraemos una bola de una urna que contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10. Consideramos los eventos:

$A = \{ \text{sacar un número par} \}$

$B = \{ \text{sacar un número múltiplo de 3} \}$

1. a) Escribe los elementos que forman los eventos $A \cup B$ y $A \cap B$.
2. b) Calcula $P(A \cup B)$ utilizando la regla de Laplace sobre el conteo de sus elementos.
3. c) Comprueba el resultado anterior aplicando la fórmula $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Un equipo de e-sports tiene en su plantel jugadores de tres nacionalidades: 5 chilenos, 3 franceses y 2 italianos. Si se selecciona al azar un capitán para el próximo torneo, calcula:

1. a) La probabilidad de que sea francés.
2. b) La probabilidad de que no sea chileno.
3. c) ¿Son los eventos "ser chileno" y "ser italiano" compatibles o incompatibles? Justifica tu respuesta.

Dados dos eventos $M$ y $N$ tales que son incompatibles entre sí, con $P(M) = 0,35$ y $P(N) = 0,45$, calcula la probabilidad de que:

1. a) Ocurra el evento $M$ o el evento $N$.
2. b) No ocurra ninguno de los dos eventos.
3. c) Ocurran $M$ y $N$ simultáneamente.

En una plataforma de streaming, el $70\%$ de los usuarios ve series de acción ($S$), el $40\%$ ve documentales ($D$) y el $25\%$ ve ambos tipos de contenido. Calcula la probabilidad de que un usuario elegido al azar:

1. a) Vea series de acción o documentales.

1. b) No vea ninguno de estos dos contenidos.

Sean $A$ y $B$ dos eventos tales que $P(A) = 0,5$, $P(\bar{B}) = 0,7$ y $P(A \cup B) = 0,65$. Calcula la probabilidad de la intersección $P(A \cap B)$ y determina si los eventos son compatibles.

Sean $A$ y $B$ dos eventos tales que $P(A) = 0,4$ y $P(B) = 0,3$. Calcula la probabilidad de la unión $P(A \cup B)$ en cada uno de los siguientes supuestos:

1. a) $A$ y $B$ son eventos incompatibles.
2. b) $A$ y $B$ son eventos independientes.
3. c) El evento $B$ está contenido en el evento $A$ ($B \subset A$).

Un equipo de desarrolladores de videojuegos está analizando los errores (bugs) de su última versión. Han clasificado los errores en tres categorías: Críticos ($C$), Gráficos ($G$) y de Sonido ($S$). Tras un test masivo, se han obtenido los siguientes datos:

• El $10\%$ de los errores son de los tres tipos a la vez.

• La probabilidad de que un error sea Crítico es $P(C) = 0,4$.

• La probabilidad de que sea Gráfico es $P(G) = 0,5$.

• La probabilidad de que sea de Sonido es $P(S) = 0,35$.

• La probabilidad de que un error sea Crítico y Gráfico es $0,2$.

• La probabilidad de que sea Gráfico y de Sonido es $0,15$.

• La probabilidad de que un error no pertenezca a ninguna de estas tres categorías es $0,2$.

Calcula la probabilidad de que un error seleccionado al azar sea:

1. a) Crítico y de Sonido.
2. b) Exclusivamente un error Gráfico.
3. c) De sonido, sabiendo que no es Crítico ni Gráfico.

Considera tres eventos $A$, $B$ y $C$ tales que $A$ y $B$ son independientes, y $A$ y $C$ son incompatibles. Se conocen las siguientes probabilidades:

$P(A) = 0,4$; $P(B) = 0,5$; $P(C) = 0,2$ y $P(B \cap C) = 0,1$.

Calcula la probabilidad de los siguientes eventos compuestos:

1. a) $P(A \cup B \cup C)$
2. b) $P((A \cap B) \cup C)$
3. c) $P(A | \bar{C})$

Considera dos eventos $A$ y $B$ asociados a un experimento aleatorio. Si sabemos que $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,4$ y $P(A \cap B) = 0,2$, calcula las siguientes probabilidades:

1. a) $P(A \cup B)$
2. b) $P(\bar{A})$ (probabilidad del evento complementario de $A$).
3. c) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ utilizando las leyes de De Morgan.

Sean $A$ y $B$ dos eventos de un mismo experimento aleatorio de los que se conocen las siguientes probabilidades: $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,5$ y $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,2$.

Basándote en las propiedades de la probabilidad y las leyes de De Morgan, calcula:

1. a) La probabilidad de la unión de los eventos, $P(A \cup B)$.
2. b) La probabilidad de la intersección, $P(A \cap B)$.
3. c) Indica razonadamente si los eventos $A$ y $B$ son compatibles o incompatibles.

En un estudio sobre el consumo de contenidos digitales entre jóvenes de 16 años, se ha detectado que el $70 \%$ utiliza la plataforma StreamVibe y el $45 \%$ utiliza CloudMusic. Además, se sabe que un $25 \%$ de los jóvenes no utiliza ninguna de las dos plataformas. Si elegimos un joven al azar, calcula:

1. a) La probabilidad de que utilice ambas plataformas.
2. b) La probabilidad de que utilice solo StreamVibe.
3. c) La probabilidad de que utilice CloudMusic pero no StreamVibe.

Disponemos de la siguiente tabla de contingencia parcial que muestra la distribución de un grupo de 120 estudiantes de enseñanza media según su participación en actividades extraescolares (Deporte o Música):

1. a) Completa la tabla de contingencia en tu cuaderno.
2. b) Calcula la probabilidad de que un estudiante elegido al azar no realice ninguna de las dos actividades.
3. c) ¿Son los eventos "Participar en Música" y "Participar en Deporte" independientes? Justifica tu respuesta matemáticamente.

Considera los eventos $A$ y $B$ tales que $P(A) = 0,5$, $P(B|A) = 0,4$ y $P(A \cup B) = 0,65$. A partir de estos datos:

1. a) Halla el valor de la probabilidad de la intersección $P(A \cap B)$.
2. b) Calcula el valor de $P(B)$.
3. c) Determina razonadamente si los eventos $A$ y $B$ son independientes.

Sean $A$ y $B$ dos eventos de un experimento aleatorio tales que sus probabilidades son $P(A) = x$ y $P(B) = y$. Se sabe que el evento unión tiene una probabilidad $P(A \cup B) = 0,75$ y que el evento intersección cumple $P(A \cap B) = 0,15$.

Si además se conoce que la probabilidad de que ocurra $A$ condicionada a que no ocurra $B$ es $P(A | \bar{B}) = 0,5$, determina los valores de $x$ e $y$. ¿Son $A$ y $B$ eventos compatibles? ¿Son independientes?

Demuestra, utilizando las propiedades de la probabilidad y las leyes de Morgan, la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación:

"Si $A$ y $B$ son dos eventos incompatibles con probabilidades no nulas, entonces siempre se cumple que $P(\bar{A} | B) = 1$".

Acompaña tu razonamiento con un ejemplo numérico original donde $P(A) = 0,3$ y $P(B) = 0,4$.

Un estudiante de 2º de Bachillerato ha preparado 18 de los 25 temas de los que consta el temario de Geografía. En el examen final, el profesor elige dos temas al azar (sin reemplazamiento). Calcula:

1. a) La probabilidad de que el alumno se sepa los dos temas.
2. b) La probabilidad de que no se sepa ninguno.
3. c) La probabilidad de que se sepa al menos uno de los dos temas seleccionados.

En un juego de rol, un jugador debe superar dos pruebas consecutivas. La probabilidad de superar la primera prueba es de $0,7$. Si supera la primera, la probabilidad de superar la segunda es de $0,8$, pero si falla la primera, la probabilidad de superar la segunda cae a $0,4$.

1. a) Dibuja el diagrama de árbol que represente esta situación.
2. b) Calcula la probabilidad de que el jugador supere las dos pruebas.
3. c) Calcula la probabilidad de que el jugador supere solo una de las dos pruebas.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

De una baraja española de 40 cartas se extraen dos cartas sucesivamente y sin devolver la primera a la baraja. Determina las siguientes probabilidades:

1. a) Que las dos cartas sean figuras (Sota, Caballo o Rey).
2. b) Que la primera carta sea un As y la segunda sea un Rey.
3. c) Que al menos una de las dos cartas sea de Oros.

En un campeonato de E-sports, se analizan las jugadas de un pro-player. Se definen los eventos $K$ (conseguir una baja) y $W$ (ganar la ronda). El analista determina que:

• La probabilidad de ganar la ronda habiendo conseguido una baja es $P(W|K) = 0,8$.

• La probabilidad de ganar la ronda sin haber conseguido bajas es $P(W|\bar{K}) = 0,3$.

• La probabilidad de que en una ronda ocurra que el jugador gane o consiga una baja es $0,85$.

Utilizando el álgebra de eventos, calcula:

1. a) La probabilidad de que el jugador consiga una baja en una ronda, $P(K)$.
2. b) La probabilidad de que el jugador gane la ronda y no consiga ninguna baja.
3. c) Demuestra si los eventos "ganar la ronda" y "conseguir una baja" son dependientes o independientes.

En un estudio sobre el uso de redes sociales, se seleccionan dos estudiantes de 2º de Bachillerato de forma consecutiva y sin reemplazamiento. Se sabe que el $60\%$ de los alumnos del centro utiliza la red social X.

Si la probabilidad de que el segundo alumno seleccionado utilice la red social X, sabiendo que el primero la utiliza, es de $35/59$, determina el número total de alumnos de 2º de Bachillerato que hay en dicho centro.

En una plataforma de streaming, se ha observado que el $65\%$ de los usuarios menores de 20 años ve series de animación (evento $A$) y el $40\%$ ve documentales de naturaleza (evento $D$). Además, se sabe que la probabilidad de que un usuario no vea series de animación sabiendo que no ve documentales de naturaleza es de $0,5$.

Calcula razonadamente:

1. a) La probabilidad de que un usuario vea ambos tipos de contenido.
2. b) La probabilidad de que un usuario vea series de animación pero no documentales de naturaleza.
3. c) ¿Son los eventos $A$ y $D$ independientes? Justifica tu respuesta utilizando los resultados anteriores.

Un sistema de ciberseguridad tiene dos barreras de protección independientes, $B_1$ y $B_2$. La probabilidad de que un ataque externo supere la primera barrera es $P(B_1) = 0,15$ y la probabilidad de que supere la segunda es $P(B_2) = 0,10$.

Calcula la probabilidad de que un ataque:

1. a) Supere al menos una de las dos barreras.
2. b) Supere exactamente una de las barreras.
3. c) No sea detectado por ninguna barrera, sabiendo que el ataque ha conseguido superar la primera protección.

Considera tres eventos $A$, $B$ y $C$ tales que $A$ y $B$ son independientes, y $A$ y $C$ son incompatibles. Se conocen las siguientes probabilidades:

$P(A) = 0,4$; $P(B) = 0,5$; $P(C) = 0,2$ y $P(B \cap C) = 0,1$.

Calcula la probabilidad de los siguientes eventos compuestos:

1. a) $P(A \cup B \cup C)$
2. b) $P((A \cap B) \cup C)$
3. c) $P(A | \bar{C})$