La distribución binomial

En una encuesta sobre hábitos de consumo digital, se ha determinado que la probabilidad de que un estudiante de enseñanza media prefiera utilizar una tableta en lugar de un computador para estudiar es $p = 0,3$. Si seleccionamos al azar a $8$ estudiantes de un curso:

1. a) Identifica los parámetros $n$ y $p$ de la distribución binomial que modela esta situación.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente $3$ de ellos prefieran la tableta?

Un examen de tipo test consta de $10$ preguntas con $4$ opciones cada una, de las cuales solo una es correcta. Un alumno que no ha estudiado decide contestar todas las preguntas al azar.

1. a) Justifica por qué esta situación sigue una distribución binomial $B(n, p)$.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que acierte exactamente $5$ preguntas?

Un examen de opción múltiple consta de $5$ preguntas, cada una con $4$ posibles respuestas de las cuales solo una es correcta. Un alumno que no ha estudiado decide responder todas las preguntas al azar.

1. a) Justifica por qué este experimento sigue una distribución binomial e identifica sus parámetros.

1. b) Calcula la probabilidad de que el alumno apruebe el examen (obtenga $3$ o más respuestas correctas).

Un creador de contenido en TikTok sabe que la probabilidad de que uno de sus videos se vuelva "viral" (alcance más de 10.000 visualizaciones) es del $15\%$. Si esta semana ha publicado $5$ videos independientes:

1. a) Calcula la probabilidad de que ninguno de los videos sea viral.
2. b) Calcula la probabilidad de que exactamente $2$ videos lo sean.

Un lanzador de tiros libres de básquetbol tiene una probabilidad de encestar del $80\%$. Si realiza una serie de $4$ lanzamientos independientes:

1. a) Construye la tabla de la función de probabilidad para los posibles éxitos ($0, 1, 2, 3$ y $4$ canastas).
2. b) ¿Cuál es el resultado más probable?

En una encuesta reciente sobre hábitos digitales, se ha determinado que el $35\%$ de los adolescentes chilenos prefiere utilizar plataformas de videos cortos antes que redes sociales convencionales. Si se selecciona un grupo de $8$ estudiantes de $2^o$ medio al azar, calcula:

1. a) La probabilidad de que exactamente $3$ de ellos prefieran los videos cortos.

1. b) La esperanza matemática y la desviación estándar del número de estudiantes que prefieren estas plataformas en este grupo.

Se ha comprobado que la probabilidad de que un cliente de una cafetería cercana al liceo pida un jugo natural es de $0,4$. Si en un momento determinado hay $7$ clientes en la barra haciendo su pedido de forma independiente, calcula la probabilidad de que:

1. a) Exactamente $4$ clientes pidan jugo.

1. b) Más de $2$ clientes pidan jugo.

Se sabe que el $15\%$ de los notebooks fabricados por una marca presentan algún defecto leve de píxeles en la pantalla antes de cumplir los dos años de uso. En una sala de computación que acaba de renovar sus equipos con $10$ de estos notebooks, calcula la probabilidad de que, como máximo, haya $2$ computadores con dicho defecto.

Un tirador con arco del club del colegio tiene una probabilidad de hacer diana de $0,7$ en cada disparo. Si realiza una serie de $6$ lanzamientos de forma independiente, determina la probabilidad de que consiga hacer diana en al menos $5$ ocasiones.

Una plataforma de streaming sabe que el $25\%$ de sus suscriptores jóvenes cancela su suscripción después del mes de prueba gratuito. Si este mes se han registrado $9$ nuevos alumnos de un mismo curso:

1. a) ¿Cuál es el número esperado de alumnos que cancelarán la suscripción?

1. b) Calcula la probabilidad de que el número de alumnos que cancelen la suscripción esté comprendido entre $2$ y $4$, ambos inclusive.

Se sabe que el $60\%$ de los jóvenes de una ciudad utilizan el transporte público para ir al colegio. Si elegimos un grupo de $6$ jóvenes al azar, calcula la probabilidad de que:

1. a) Al menos uno de ellos utilice el transporte público.
2. b) Todos ellos utilicen el transporte público.

En una reserva natural, se ha observado que el $25\%$ de los ejemplares de una especie de aves migratorias tiene una mancha blanca en el ala. Si un fotógrafo toma fotos de una bandada de $12$ aves:

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna tenga la mancha blanca?
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una tenga la mancha?

Una empresa de mensajería entrega correctamente el $94\%$ de sus paquetes en el plazo garantizado. Un adolescente ha realizado $12$ pedidos online a lo largo del año que han sido enviados por esta empresa. Calcula la probabilidad de que al menos uno de los paquetes haya llegado fuera de plazo.

En un control de calidad de una fábrica de componentes para scooters eléctricos, se ha estimado que el $4\%$ de las piezas salen con algún defecto estético. Si se analizan lotes de $50$ piezas:

1. a) ¿Cuál es el número promedio de piezas defectuosas que esperamos encontrar por lote?
2. b) Calcula la desviación estándar de la distribución.

Una aplicación de idiomas envía notificaciones diarias a sus usuarios. La probabilidad de que un usuario abra la notificación es $p = 0,4$. Si un usuario recibe $7$ notificaciones a lo largo de una semana:

1. a) Calcula la probabilidad de que abra exactamente $4$.
2. b) ¿Cuántas notificaciones se espera que abra de media en esa semana?

En una campaña de concienciación ambiental en un centro educativo, se ha observado que la media de alumnos que reciclan correctamente sus envases en grupos de $20$ personas es de $12$. Asumiendo que la conducta de reciclaje sigue una distribución binomial:

1. a) Calcula la probabilidad de éxito $p$ (probabilidad de que un alumno elegido al azar recicle correctamente).

1. b) En un grupo de $5$ alumnos elegidos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente $4$ de ellos reciclen correctamente?

Un analista de ciberseguridad ha determinado que la probabilidad de que un intento de acceso no autorizado a un servidor corporativo sea detectado por el cortafuegos es de $p$. Se sabe que si se realizan $10$ intentos independientes, la probabilidad de que no se detecte ningún intento es de $0,0563$.

1. a) Calcula el valor de la probabilidad de detección $p$.
2. b) Si en una jornada se producen $20$ intentos de acceso, ¿cuál es la probabilidad de que se detecten al menos $18$ de ellos?
3. c) ¿Cuál es el número mínimo de intentos que debería realizar un atacante para que la probabilidad de que al menos uno de ellos no sea detectado sea superior a $0,99$?

Una empresa de fabricación de componentes para drones sabe que la probabilidad de que un motor sea defectuoso es $p$. Se empaquetan en cajas de $8$ unidades. El departamento de control de calidad ha observado que la probabilidad de encontrar exactamente $2$ motores defectuosos en una caja es el triple de la probabilidad de encontrar exactamente $1$ motor defectuoso.

1. a) Determina el valor del parámetro $p$.
2. b) Calcula la esperanza y la desviación típica del número de motores defectuosos en un pedido de $100$ motores.
3. c) Si un cliente compra una caja de $8$ motores, ¿cuál es la probabilidad de que deba devolverla porque contiene más de $2$ motores defectuosos?

El examen final de una asignatura es tipo test y consta de $10$ preguntas con $4$ opciones de respuesta cada una, de las cuales solo una es correcta. Un estudiante responde al azar a todas las preguntas. Para aprobar, se exige obtener al menos un $5$ de nota, sabiendo que cada respuesta correcta suma $1$ punto y cada respuesta incorrecta resta $0,25$ puntos.

1. a) Define la variable aleatoria $X$ que cuenta los aciertos del estudiante, indica cómo se distribuye y cuáles son sus parámetros.

1. b) Determina el número mínimo de aciertos necesarios para aprobar el examen.

1. c) Calcula la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen respondiendo totalmente al azar.

En un proceso de producción de envases de vidrio, la probabilidad de que un envase presente una burbuja de aire es del $2\%$. Los envases se revisan en lotes de $n$ unidades.

1. a) Si los lotes son de $50$ unidades, calcula la probabilidad de que un lote contenga exactamente $2$ envases defectuosos.
2. b) ¿Cuál debe ser el tamaño máximo del lote $n$ para que la probabilidad de que no haya ningún envase defectuoso sea mayor que $0,85$?
3. c) Si se analizan $1000$ envases, calcula la probabilidad de que el número de envases con burbujas esté a menos de una desviación típica de la media.

Un arquero de élite tiene una probabilidad de hacer blanco en el centro de la diana de $0,85$. Durante un entrenamiento, lanza ráfagas de $6$ flechas.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en una ráfaga haga blanco al menos $4$ veces?
2. b) Si el arquero lanza $5$ ráfagas completas (de $6$ flechas cada una), ¿cuál es la probabilidad de que en exactamente $3$ de esas ráfagas haya conseguido hacer blanco al menos $4$ veces?
3. c) Calcula la media y la varianza del número de ráfagas exitosas (considerando éxito lo definido en el apartado b) tras realizar $50$ ráfagas.

Dos plataformas de streaming, "CineMax" y "SeriesHome", compiten por el mercado. En "CineMax", la probabilidad de que un usuario cancele su suscripción mensual es del $15\%$, mientras que en "SeriesHome" es del $20\%$. Se toma una muestra aleatoria de $15$ usuarios de "CineMax" y otra de $15$ usuarios de "SeriesHome".

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en la muestra de "CineMax" haya exactamente el mismo número de cancelaciones que en la de "SeriesHome", si ese número debe ser $0$ o $1$?
2. b) ¿En cuál de las dos muestras es más probable que haya más de $2$ cancelaciones? Justifica la respuesta comparando las probabilidades.
3. c) Si un grupo de amigos de $20$ personas se suscribe a "CineMax", ¿cuál es el número de cancelaciones más probable?

En una red social de microblogging, el $25\%$ de los usuarios son "bots" y el resto son usuarios reales. Se ha comprobado que la probabilidad de que un "bot" publique un enlace publicitario es de $0,8$, mientras que para un usuario real esa probabilidad es de solo $0,1$.

1. a) Se selecciona un usuario al azar y se observa que ha publicado un enlace publicitario. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un "bot"?
2. b) Si seleccionamos al azar a $12$ usuarios que han publicado un enlace publicitario, ¿cuál es la probabilidad de que al menos $10$ de ellos sean realmente "bots"?