Parámetros estadísticos
Isidora y Benjamín, en Santiago, quieren comprarse un celular y comparan dos modelos. Los dos tienen el mismo promedio de duración de batería. ¿Son igual de confiables? Un solo número no lo cuenta todo: hay que saber dónde está el «centro» de los datos y también si están muy juntos o muy repartidos.
Media, mediana y moda
Cambia los datos y mira dónde quedan la media y la mediana:
¿Y si la variable no es numérica?
Con variables cualitativas (color favorito, marca de celular, sabor de helado) solo se puede calcular la moda: no se puede sumar «azul» con «rojo», ni ordenar colores de menor a mayor. Con variables cuantitativas (discretas, como la cantidad de «me gusta», o continuas, como minutos de uso) se pueden calcular los tres parámetros.
Para realizar un estudio sobre los hábitos de consumo de los adolescentes en una red social, se analizaron los perfiles de $50$ estudiantes de un colegio. Clasifica las…
Para realizar un estudio sobre los hábitos de consumo de los adolescentes en una red social, se analizaron los perfiles de $50$ estudiantes de un colegio. Clasifica las siguientes variables estadísticas obtenidas en el estudio como cualitativas o cuantitativas (indicando si son discretas o continuas):
-
a) Marca del celular utilizado.
-
b) Número de "me gusta" recibidos en la última publicación.
-
c) Tiempo total (en minutos) de uso de la aplicación durante el día.
-
d) Temática principal de los videos que visualiza (deportes, humor, música, etc.).
Siete estudiantes han cronometrado cuánto tiempo tardan (en segundos) en resolver un cubo de Rubik. Los tiempos registrados son: $$45, 52, 38, 60, 41, 55, 48$$ Calcula…
Siete estudiantes han cronometrado cuánto tiempo tardan (en segundos) en resolver un cubo de Rubik. Los tiempos registrados son:
$$45, 52, 38, 60, 41, 55, 48$$Calcula la mediana de estos tiempos. Recuerda que debes ordenar los datos previamente.
Un grupo de amigos ha anotado el número de horas semanales que dedican a jugar a videojuegos online. Los datos obtenidos son los siguientes:…
Un grupo de amigos ha anotado el número de horas semanales que dedican a jugar a videojuegos online. Los datos obtenidos son los siguientes:
$12, 15, 9, 12, 18, 20, 12, 14, 15, 10$
Calcula los parámetros de centralización: la media aritmética ($\bar{x}$), la mediana ($Me$) y la moda ($Mo$).
Valores atípicos y problemas con la media
Trabajar con la suma total
Como $\bar{x} = \dfrac{\text{suma}}{N}$, también vale $\text{suma} = \bar{x} \cdot N$. Esto sirve para saber qué dato falta o qué pasa cuando se suma alguien más.
Reconstruir datos a partir de los parámetros
A veces te dan la media, la mediana, la moda o el rango y tienes que encontrar los datos. Ordena los valores como $a \le b \le c \le d \le e$ y ubica cada pista.
Un joven ahorra semanalmente distintas cantidades de dinero. Durante las últimas $5$ semanas, sus ahorros han sido: $$\$5.000, \$8.000, \$6.000, \$7.000, \$54.000$…
Un joven ahorra semanalmente distintas cantidades de dinero. Durante las últimas $5$ semanas, sus ahorros han sido:
$$\$5.000, \$8.000, \$6.000, \$7.000, \$54.000$$-
a) Calcula la media de sus ahorros.
-
b) Calcula la mediana.
-
c) ¿Cuál de los dos parámetros crees que representa mejor el ahorro "normal" de este joven? Justifica tu respuesta mencionando el efecto del valor $\$54\,000$.
Un conocido streamer* está analizando las visualizaciones de sus últimos 5 videos. El promedio de visualizaciones de los primeros 4 videos es de $12\,500$ personas. Si…
Un conocido streamer está analizando las visualizaciones de sus últimos 5 videos. El promedio de visualizaciones de los primeros 4 videos es de $12\,500$ personas. Si quiere que el promedio total de los 5 videos suba hasta las $15\,000$ visualizaciones para atraer a un nuevo patrocinador, ¿cuántas visualizaciones debe conseguir, como mínimo, en su quinto video? Explica el proceso razonando si es posible que la mediana de visualizaciones sea mayor que la media en este caso.
Se tiene un conjunto de 5 números enteros positivos. Se sabe que: La media es $10$. La mediana es $12$. La moda es $15$ y es única. El rango (recorrido) es $12$.…
Se tiene un conjunto de 5 números enteros positivos. Se sabe que:
-
La media es $10$.
-
La mediana es $12$.
-
La moda es $15$ y es única.
-
El rango (recorrido) es $12$.
Encuentra los 5 números que forman este conjunto. Explica los pasos lógicos que has seguido para deducirlos.
Tablas de frecuencias
Cuando los datos vienen en una tabla, cada valor pesa según su frecuencia $n_i$:
$$\bar{x} = \frac{\sum x_i \cdot n_i}{N}$$Esto es lo mismo que sumar todos los datos, pero multiplicando en vez de repetir sumas.
La siguiente tabla muestra la cantidad de libros que han leído los alumnos de un curso de $2º$ medio durante el primer trimestre: | Libros leídos ($x_i$) | Número de…
La siguiente tabla muestra la cantidad de libros que han leído los alumnos de un curso de $2º$ medio durante el primer trimestre:
| Libros leídos ($x_i$) | Número de alumnos ($f_i$) |
|---|---|
| $0$ | $4$ |
| $1$ | $10$ |
| $2$ | $7$ |
| $3$ | $4$ |
Calcula la media aritmética del número de libros leídos por alumno.
En un entrenamiento de básquetbol, se ha registrado el número de triples encestados por cada jugador en 25 intentos. Los resultados se muestran en el siguiente gráfico:…
En un entrenamiento de básquetbol, se ha registrado el número de triples encestados por cada jugador en 25 intentos. Los resultados se muestran en el siguiente gráfico:
A partir del gráfico de barras:
- a) Elabora la tabla de frecuencias absolutas.
- b) Calcula la media, la mediana y la moda de los triples encestados.
Datos agrupados en intervalos
Si los datos están agrupados en intervalos, ya no conocemos cada valor exacto. Usamos la marca de clase, que es el punto medio del intervalo: $\dfrac{\text{extremo inferior}+\text{extremo superior}}{2}$. La media que se obtiene es una estimación.
-
Intervalo modal: el de mayor frecuencia.
-
Intervalo mediano: el que contiene al dato central. Para encontrarlo se usan las frecuencias acumuladas.
Leer las frecuencias en un histograma
En un histograma cada barra representa un intervalo. Cuando todos los intervalos tienen el mismo ancho, la altura de cada barra es proporcional a la frecuencia: una barra el doble de alta tiene el doble de datos. Si el eje de frecuencias no está marcado, se usa el total.
Calcula la media aritmética y la moda de la siguiente distribución de datos agrupados en intervalos, que corresponden al peso (en kg) de los integrantes de un equipo de…
Calcula la media aritmética y la moda de la siguiente distribución de datos agrupados en intervalos, que corresponden al peso (en kg) de los integrantes de un equipo de judo:
| Intervalo de peso | Marca de clase ($x_i$) | Frecuencia ($n_i$) |
|---|---|---|
| $[50, 60)$ | $55$ | $4$ |
| $[60, 70)$ | $65$ | $9$ |
| $[70, 80)$ | $75$ | $5$ |
| $[80, 90)$ | $85$ | $2$ |
Se realizó una encuesta sobre el tiempo diario (en minutos) que pasan los adolescentes de un colegio usando redes sociales. Los datos se han agrupado en la siguiente…
Se realizó una encuesta sobre el tiempo diario (en minutos) que pasan los adolescentes de un colegio usando redes sociales. Los datos se han agrupado en la siguiente tabla:
| Tiempo (min) | $[0, 30)$ | $[30, 60)$ | $[60, 90)$ | $[90, 120)$ |
|---|---|---|---|---|
| Nº Alumnos ($n_i$) | $12$ | $25$ | $x$ | $8$ |
Sabiendo que el tiempo promedio de uso es de $57$ minutos:
- a) Calcula el valor de $x$ (frecuencia absoluta del intervalo $[60, 90)$).
- b) Determina la moda (intervalo modal) y la mediana (intervalo mediano) de la distribución.
- c) ¿Qué porcentaje de alumnos dedica $90$ minutos o más a las redes sociales?
El siguiente histograma muestra la distribución de las notas obtenidas en un examen de recuperación por 40 alumnos. Sin embargo, el eje de frecuencias se ha borrado…
El siguiente histograma muestra la distribución de las notas obtenidas en un examen de recuperación por 40 alumnos. Sin embargo, el eje de frecuencias se ha borrado parcialmente.
Sabiendo que el total de alumnos es $40$ y que las alturas de las barras son proporcionales a las frecuencias:
- a) Determina la frecuencia absoluta de cada intervalo.
- b) Calcula la nota media estimada utilizando las marcas de clase.
- c) Si para aprobar se necesita un $5$ y suponemos que las notas se reparten de forma uniforme dentro de cada intervalo, ¿qué porcentaje estimado de alumnos ha suspendido el examen?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
El rango: la dispersión más sencilla
Volvamos a los celulares: las dos marcas tienen la misma media, pero ¿los datos están juntos o repartidos?
Los dos modelos tienen media 15 h, pero el A siempre dura parecido (rango $16-14=2$) y el B es muy irregular (rango $20-10=10$).
Las temperaturas máximas registradas durante una semana de abril en Santiago fueron: $22$, $25$, $19$, $24$, $27$, $26$ y $21$ °C. Calcula el rango (o recorrido) de las…
Las temperaturas máximas registradas durante una semana de abril en Santiago fueron: $22$, $25$, $19$, $24$, $27$, $26$ y $21$ °C. Calcula el rango (o recorrido) de las temperaturas de esa semana.
En dos cursos de $2.º$ medio se han anotado los minutos que tardan los alumnos en llegar al colegio. En $2.º$ A los tiempos van de $5$ a $40$ minutos y en $2.º$ B van de…
En dos cursos de $2.º$ medio se han anotado los minutos que tardan los alumnos en llegar al colegio. En $2.º$ A los tiempos van de $5$ a $40$ minutos y en $2.º$ B van de $15$ a $25$ minutos.
a) Calcula el rango de los tiempos de cada curso.
b) ¿En qué curso son los tiempos más parecidos entre sí? ¿Por qué?
Dos jugadores de básquetbol han anotado en sus últimos $6$ partidos: Jugador A: $7$, $8$, $8$, $9$, $6$, $10$ puntos Jugador B: $2$, $14$, $5$, $11$, $9$, $7$ puntos a)…
Dos jugadores de básquetbol han anotado en sus últimos $6$ partidos:
-
Jugador A: $7$, $8$, $8$, $9$, $6$, $10$ puntos
-
Jugador B: $2$, $14$, $5$, $11$, $9$, $7$ puntos
a) Comprueba que ambos jugadores tienen el mismo promedio de puntos.
b) Calcula el rango de las anotaciones de cada uno.
c) El entrenador necesita un jugador de rendimiento regular para el próximo partido. ¿A cuál elegirías? ¿Por qué?
La desviación media
El rango mira solo dos datos. La desviación media tiene en cuenta todos: cuánto se aleja, en promedio, cada dato de la media.
Las notas de los últimos $5$ exámenes de Inglés de Salma son: $6$, $7$, $8$, $5$ y $9$. a) Calcula la media de las notas. b) Calcula la desviación de cada nota respecto…
Las notas de los últimos $5$ exámenes de Inglés de Salma son: $6$, $7$, $8$, $5$ y $9$.
a) Calcula la media de las notas.
b) Calcula la desviación de cada nota respecto de la media (en valor absoluto) y la desviación media.
Una aplicación de salud ha registrado los pasos diarios (en miles) de una adolescente durante las últimas dos semanas: $8, 10, 12, 8, 9, 11, 15, 8, 10, 12, 14, 8, 9, 10$…
Una aplicación de salud ha registrado los pasos diarios (en miles) de una adolescente durante las últimas dos semanas:
$8, 10, 12, 8, 9, 11, 15, 8, 10, 12, 14, 8, 9, 10$
Representa estos datos en una tabla de frecuencias y calcula:
- a) El rango o recorrido de la distribución.
- b) La desviación media ($DM$) respecto a la media aritmética.
Dos jugadoras de básquetbol, Lucía y María, han anotado las siguientes cantidades de puntos en sus últimos 6 partidos: Lucía: $18, 22, 20, 19, 21, 20$ María:…
Dos jugadoras de básquetbol, Lucía y María, han anotado las siguientes cantidades de puntos en sus últimos 6 partidos:
-
Lucía: $18, 22, 20, 19, 21, 20$
-
María: $10, 35, 5, 40, 12, 18$
- a) Calcula la media aritmética de puntos de cada jugadora.
- b) Calcula el rango y la desviación media de ambas.
- c) Si el entrenador busca una jugadora confiable que asegure una cantidad constante de puntos, aunque no sea muy alta, ¿a quién debería elegir? Justifica tu respuesta comparando su dispersión.
Varianza y desviación típica
Otra forma de medir la dispersión es elevar las desviaciones al cuadrado, así tampoco se cancelan y las distancias grandes pesan más.
Los goles marcados por un equipo de fútbol sala en sus últimos $5$ partidos han sido: $2$, $5$, $1$, $4$ y $3$. a) Calcula la media de goles por partido. b) Calcula la…
Los goles marcados por un equipo de fútbol sala en sus últimos $5$ partidos han sido: $2$, $5$, $1$, $4$ y $3$.
a) Calcula la media de goles por partido.
b) Calcula la varianza y la desviación típica, redondeando a las centésimas.
Para estudiar la dispersión de sus notas ($5$, $6$, $7$ y $8$), un alumno resta la media a cada dato y obtiene: $-1,5$; $-0,5$; $0,5$ y $1,5$. Como la suma de esas…
Para estudiar la dispersión de sus notas ($5$, $6$, $7$ y $8$), un alumno resta la media a cada dato y obtiene: $-1,5$; $-0,5$; $0,5$ y $1,5$. Como la suma de esas diferencias es $0$, afirma: «La desviación típica es $0$, así que mis notas no se dispersan nada».
a) Explica el error que ha cometido en su razonamiento.
b) Calcula correctamente la desviación típica de las cuatro notas, redondeando a las centésimas.
El número de libros leídos este trimestre por los $20$ alumnos de una clase viene dado por esta tabla: | Libros leídos | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | |---|---|---|---|---| |…
El número de libros leídos este trimestre por los $20$ alumnos de una clase viene dado por esta tabla:
| Libros leídos | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|
| N.º de alumnos | $4$ | $8$ | $5$ | $3$ |
a) Calcula la media de libros leídos.
b) Calcula la varianza y la desviación típica, redondeando a las centésimas.
Cuartiles y diagrama de cajón
La mediana divide los datos en dos mitades. Los cuartiles dividen los datos en cuatro partes con la misma cantidad de datos:
-
$Q_1$: la mediana de la mitad inferior (deja a su izquierda el 25 % de los datos).
-
$Q_2 = Me$.
-
$Q_3$: la mediana de la mitad superior (deja a su izquierda el 75 %).
El rango intercuartílico $Q_3 - Q_1$ indica dónde se concentra el 50 % central de los datos.
El diagrama de cajón muestra todo junto: mínimo, $Q_1$, mediana, $Q_3$ y máximo.
Para leer un diagrama de cajón: cada cuarto de los datos (cada «bigote» y cada mitad de la caja) contiene el 25 % de los datos. Una caja angosta significa datos muy concentrados.
Las notas de $11$ alumnos en un examen han sido: $5$, $7$, $3$, $8$, $6$, $9$, $4$, $7$, $5$, $6$ y $10$. a) Ordena las notas y calcula la mediana. b) Calcula los…
Las notas de $11$ alumnos en un examen han sido: $5$, $7$, $3$, $8$, $6$, $9$, $4$, $7$, $5$, $6$ y $10$.
a) Ordena las notas y calcula la mediana.
b) Calcula los cuartiles primero y tercero.
c) ¿Entre qué valores se concentra, aproximadamente, el $50\%$ central de las notas?
A continuación se presenta un diagrama de caja (box-plot*) que representa las notas obtenidas por los alumnos de una clase en un examen de recuperación: Observa el…
A continuación se presenta un diagrama de caja (box-plot) que representa las notas obtenidas por los alumnos de una clase en un examen de recuperación:
Observa el gráfico e identifica los siguientes parámetros de posición:
- a) Valor mínimo y valor máximo.
- b) Primer cuartil ($Q_1$), Mediana ($Me$) y Tercer cuartil ($Q_3$).
- c) ¿Qué porcentaje de alumnos ha obtenido una nota superior a $8$?
En una competición de E-sports*, dos equipos, el "Team Alpha" y el "Team Beta", han obtenido los siguientes tiempos de respuesta (en milisegundos) en una prueba de…
En una competición de E-sports, dos equipos, el "Team Alpha" y el "Team Beta", han obtenido los siguientes tiempos de respuesta (en milisegundos) en una prueba de reflejos. Los datos se presentan en los siguientes diagramas de caja (Box-plot):
Basándote en los gráficos:
- a) ¿Qué equipo tiene un tiempo de respuesta mediano más bajo?
- b) ¿Cuál de los dos equipos es más "regular" o consistente en sus reflejos? Justifica tu respuesta usando el rango intercuartílico.
- c) Si para ganar la competición se valora no superar nunca los $200$ ms, ¿qué equipo tiene mejores expectativas?
Comparar con media y dispersión
Para decidir entre dos conjuntos de datos, miramos centro y dispersión juntos. Volviendo al principio: los celulares A y B tienen la misma media de batería (15 h), pero el A tiene rango $2$ y el B rango $10$. Si buscas confiabilidad, eliges el de menor dispersión.
Se ha realizado un estudio sobre la duración de la batería (en horas) de dos modelos diferentes de smartphones, $A$ y $B$, realizando 10 pruebas con cada uno. Modelo…
Se ha realizado un estudio sobre la duración de la batería (en horas) de dos modelos diferentes de smartphones, $A$ y $B$, realizando 10 pruebas con cada uno.
Modelo $A$: $14, 15, 16, 14, 15, 16, 15, 14, 15, 16$
Modelo $B$: $10, 20, 15, 12, 18, 11, 19, 15, 14, 16$
- a) Calcula la media de ambos modelos. ¿Qué observas?
- b) Calcula el rango y la desviación media de cada modelo.
- c) Si tuvieras que comprar uno basándote en la fiabilidad de la duración, ¿cuál elegirías y por qué?
Los diagramas de puntos muestran los puntos anotados por dos jugadoras en sus últimos $6$ partidos. a) Calcula la media de puntos de cada jugadora. b) Calcula el rango…
Los diagramas de puntos muestran los puntos anotados por dos jugadoras en sus últimos $6$ partidos.
a) Calcula la media de puntos de cada jugadora.
b) Calcula el rango de cada una.
c) A la vista de los gráficos y de los cálculos, ¿cuál de las dos es más regular? Explica qué significa eso.
Matías compara dos aplicaciones de transporte para ir al colegio. En los últimos $8$ viajes, los minutos de espera han sido: App A: $4$, $6$, $5$, $7$, $5$, $6$, $4$,…
Matías compara dos aplicaciones de transporte para ir al colegio. En los últimos $8$ viajes, los minutos de espera han sido:
-
App A: $4$, $6$, $5$, $7$, $5$, $6$, $4$, $7$
-
App B: $2$, $9$, $3$, $10$, $4$, $8$, $3$, $5$
a) Calcula la media de espera de cada aplicación.
b) Calcula la desviación estándar de cada una, redondeando a las centésimas.
c) Si Matías dispone de $10$ minutos justos cada mañana, ¿qué aplicación le recomendarías? Justifica tu respuesta usando la media y la dispersión.
Vuelve al principio: dos celulares con la misma media de batería no son igual de confiables. Para saberlo hay que mirar la dispersión (rango, desviación media o desviación típica).