Comprar fundas para controles, mezclar pintura sin que cambie el tono, saber cuánto tiempo estuvo el dinero en un banco o calcular cuántos metros cuadrados reales tiene la piscina de un centro deportivo de Concepción dibujada en un plano. Son problemas muy distintos, pero se resuelven con pocas herramientas: decidir si la relación es directa o inversa, y usar bien el porcentaje y la escala. Al final regresamos a la piscina del plano.
Directa o inversa: lo primero es decidir
Directa: más empanadas, más dinero. Inversa: más personas repartiendo el trabajo, menos tiempo.
Practica★☆☆Sin empezar
En una tienda de videojuegos, un pack de $3$ fundas para controles cuesta $12\,000$ pesos. Si queremos comprar fundas para todos los controles de una asociación juvenil,…
En una tienda de videojuegos, un pack de $3$ fundas para controles cuesta $12\,000$ pesos. Si queremos comprar fundas para todos los controles de una asociación juvenil, que son $15$ controles en total, ¿cuánto dinero necesitaremos?
Un grupo de $4$ amigos ha ganado un premio en un concurso de redes sociales y han tardado $30$ minutos en repartirse los regalos. Si el grupo hubiera sido de $6$ amigos…
Un grupo de $4$ amigos ha ganado un premio en un concurso de redes sociales y han tardado $30$ minutos en repartirse los regalos. Si el grupo hubiera sido de $6$ amigos y se repartieran los regalos al mismo ritmo, ¿cuántos minutos habrían tardado? (Supón que todos los amigos ayudan a repartir y que la cantidad de regalos es la misma en ambos casos).
Una protectora de animales está preparando raciones de comida para sus perros. Han calculado que con $45\text{ kg}$ de pienso pueden alimentar a $12$ perros durante $5$…
Una protectora de animales está preparando raciones de comida para sus perros. Han calculado que con $45\text{ kg}$ de pienso pueden alimentar a $12$ perros durante $5$ días. Si mañana llegan $3$ perros nuevos a la protectora y no reciben más suministro de comida, ¿cuántos días durarán las raciones para el total de los animales? Supón que todos los perros comen la misma cantidad cada día.
Indica si las magnitudes (número de perros y días que dura el pienso) son directa o inversamente proporcionales entre sí antes de realizar los cálculos.
Mantener una "receta" al cambiar la cantidad es proporcionalidad directa: todos los ingredientes se multiplican por el mismo factor.
También hay repartos proporcionales: cada quien recibe o paga según un dato (ahorros, horas trabajadas, etc.).
Practica★☆☆Sin empezar
Para pintar una de las paredes de tu habitación, has mezclado $2$ litros de pintura blanca con $500$ ml de tinte azul. Si ahora quieres pintar el resto de la habitación…
Para pintar una de las paredes de tu habitación, has mezclado $2$ litros de pintura blanca con $500$ ml de tinte azul. Si ahora quieres pintar el resto de la habitación usando la misma tonalidad y necesitas gastar $6$ litros de pintura blanca, ¿qué cantidad de tinte azul debes añadir?
Tres hermanos, Lucía, Marcos y David, quieren comprar un regalo de cumpleaños a su madre que cuesta $\$132…
Tres hermanos, Lucía, Marcos y David, quieren comprar un regalo de cumpleaños a su madre que cuesta $\$132$. Deciden repartir el pago de forma directamente proporcional a sus ahorros mensuales. Lucía ahorra $\$25$ al mes, Marcos $\$35$ y David $\$50$. ¿Qué cantidad de dinero debe aportar cada uno para el regalo?
Cuando intervienen tres o más magnitudes, una forma clara es calcular el trabajo total como un producto y compararlo.
Si cambia la cantidad de trabajo (más piezas, más muros), primero calcula cuánto trabajo cuesta cada unidad: horas de máquina por pieza, por ejemplo.
Practica★★☆Sin empezar
Tres impresoras 3D funcionando durante $6$ horas diarias han conseguido fabricar $120$ piezas para un proyecto escolar en $4$ días. Si el centro educativo adquiere una…
Tres impresoras 3D funcionando durante $6$ horas diarias han conseguido fabricar $120$ piezas para un proyecto escolar en $4$ días. Si el centro educativo adquiere una impresora 3D más y todas trabajan $8$ horas diarias, ¿cuántos días tardarán en fabricar un pedido urgente de $200$ piezas idénticas?
En las elecciones al consejo escolar de un colegio, el $12\%$ de los alumnos votó por la candidata A, el $35\%$ por el candidato B y el resto de los alumnos se abstuvo.…
En las elecciones al consejo escolar de un colegio, el $12\%$ de los alumnos votó por la candidata A, el $35\%$ por el candidato B y el resto de los alumnos se abstuvo. Si sabemos que los alumnos que no votaron fueron un total de $424$, ¿cuántos alumnos tiene el colegio en total y cuántos votos recibió el candidato B?
donde $C$ es el capital, $r$ la tasa anual y $t$ el tiempo en años. El monto final es $C + I$.
El monto después de $t$ años es $M = C + C \cdot \dfrac{r}{100} \cdot t$. Es una función afín de $t$: $M(t) = mt + n$, con pendiente $m = C \cdot \dfrac{r}{100}$ (lo que crece cada año, el cambio constante) y coeficiente de posición $n = C$ (el capital inicial). Por eso su gráfica es una recta.
Practica★★★Sin empezar
En un depósito bancario que ofrece un interés simple anual del $4,5\%$, se ingresa un capital durante un tiempo determinado. Al finalizar el periodo, el capital se ha…
En un depósito bancario que ofrece un interés simple anual del $4,5\%$, se ingresa un capital durante un tiempo determinado. Al finalizar el periodo, el capital se ha incrementado en un $18\%$ respecto al valor inicial.
a) ¿Cuántos años ha estado el dinero en el depósito?
b) Si los intereses generados han sido de $720$ pesos, ¿cuál era el capital inicial aportado?
Con velocidad constante, la distancia es $d = v \cdot t$. Si dos corredores o ciclistas salen del mismo punto en sentidos opuestos sobre una pista circular, se acercan por los dos lados a la vez: sus velocidades se suman, y se cruzan cuando entre los dos recorren una vuelta completa.
Practica★★★Sin empezar
Dos atletas entrenan en una pista circular de $400$ metros. El primero corre a una velocidad constante de $15$ $km/h$ y el segundo a $12$ $km/h$. Si salen al mismo…
Dos atletas entrenan en una pista circular de $400$ metros. El primero corre a una velocidad constante de $15$ $km/h$ y el segundo a $12$ $km/h$. Si salen al mismo tiempo desde el mismo punto pero en sentidos opuestos:
a) ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse por primera vez?
b) ¿A qué distancia del punto de salida (medida sobre la pista) se producirá el encuentro?
Al mezclar dos productos de distinto precio, el precio de la mezcla es el costo total entre los kilos totales. Así que el costo de la mezcla es la suma de los costos de las partes.
Si luego el precio sube un porcentaje, multiplicas por $1 + \dfrac{p}{100}$. Para un paquete pequeño, multiplica el precio por kilo por los kilos del paquete (250 g $= 0{,}25$ kg).
Practica★★★Sin empezar
Se quiere obtener una mezcla de café de alta calidad a un precio de $10,20$ pesos/kg. Para ello, se mezclan $30$ kg de un café de tipo A que cuesta $12$ pesos/kg con una…
Se quiere obtener una mezcla de café de alta calidad a un precio de $10,20$ pesos/kg. Para ello, se mezclan $30$ kg de un café de tipo A que cuesta $12$ pesos/kg con una cierta cantidad de café de tipo B que cuesta $7,50$ pesos/kg.
a) ¿Cuántos kilos de café de tipo B se necesitan?
b) Si una vez hecha la mezcla se decide subir el precio un $5\%$ por gastos de envasado, ¿cuál será el precio final de un paquete de $250$ gramos?
Si un plano está a escala $1:k$, las longitudes reales son $k$ veces las del plano. Pero las áreas se multiplican por $k^2$ y los volúmenes por $k^3$.
Practica★★★Sin empezar
El plano de un nuevo centro deportivo está dibujado a una escala de $1:250$. En dicho plano, la piscina olímpica ocupa una superficie rectangular de $32$ $cm^2$. a)…
El plano de un nuevo centro deportivo está dibujado a una escala de $1:250$. En dicho plano, la piscina olímpica ocupa una superficie rectangular de $32$ $cm^2$.
a) ¿Cuál es la superficie real de la piscina en metros cuadrados?
b) Si el volumen real de la piscina es de $2\,500$ $m^3$, ¿cuál sería el volumen representado en el plano en $cm^3$?
Vuelve al principio: una piscina de $35\ \text{cm}^2$ en un plano a escala $1:100$ no mide $35 \times 100$, sino $35 \times 100^2 = 350.000\ \text{cm}^2 = 35\ \text{m}^2$.
Resumen
¡A practicar! 4 ejercicios de nivel fácil en este apartado