Máximo común divisor

Calcula todos los divisores de los números $12$ y $18$. Después, indica cuáles son los divisores comunes y señala cuál de ellos es el Máximo Común Divisor (MCD).

Puedes ayudarte de un diagrama como el de la figura: escribe en cada círculo los divisores de cada número y, en la zona donde se cruzan, los que son comunes.

Calcula mentalmente el $MCD$ de las siguientes parejas de números. Son números pequeños donde puedes identificar el divisor común mayor de un vistazo:

1. a) $MCD(4, 8)$
2. b) $MCD(5, 10)$
3. c) $MCD(7, 14)$
4. d) $MCD(10, 20)$

¿Qué tienen en común todos estos resultados?

Observa las descomposiciones factoriales de estos dos números y halla su $MCD$:

• $A = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$

• $B = 2 \cdot 3^{2}$

Recuerda la regla pedagógica: "Para el MCD, tomamos los factores comunes elevados al menor exponente".

Calcula el Máximo Común Divisor ($M.C.D.$) de los siguientes grupos de números utilizando el método de descomposición en factores primos:

1. a) $48$ y $72$
2. b) $30, 45$ y $60$
3. c) $120$ y $150$

Observa las siguientes descomposiciones factoriales de tres números y, sin realizar las multiplicaciones, indica cuál es su $M.C.D.$:

$A = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$

$B = 2^2 \cdot 3^3$

$C = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$

Se dice que dos números son primos entre sí si su único divisor común es el $1$. Comprueba si las siguientes parejas de números son primos entre sí calculando su $M.C.D.$:

1. a) $14$ y $15$
2. b) $22$ y $33$
3. c) $21$ y $25$

Inventa dos números naturales distintos, $a$ y $b$, de manera que se cumpla la siguiente condición:

$M.C.D.(a, b) = 12$

Razona tu respuesta mostrando la descomposición factorial de los números elegidos.

En el taller de tecnología, los alumnos tienen dos listones de madera de $36$ cm y $48$ cm de longitud. Necesitan cortarlos en trozos de la misma longitud, siendo esta la máxima posible.

1. a) ¿Cuál será la longitud de cada trozo?
2. b) ¿Cuántos trozos obtendrán en total de los dos listones?

En una biblioteca quieren organizar $45$ libros de aventuras y $60$ libros de ciencia ficción en estantes, de modo que en cada estante haya el mismo número de libros y que este sea el máximo posible.

1. a) ¿Cuántos libros pondrán en cada estante?
2. b) ¿Cuántos estantes usarán para los libros de aventuras y cuántos para los de ciencia ficción?

En el instituto se ha organizado una jornada de convivencia. Hay $54$ alumnos de 1º ESO y $42$ alumnos de 2º ESO. Se quieren formar equipos de modo que cada equipo esté formado solo por alumnos del mismo curso (no se mezclan alumnos de 1º y de 2º). Todos los equipos deben tener exactamente el mismo número de personas, y ese número debe ser el máximo posible sin que sobre nadie.

1. a) ¿Cuántos alumnos habrá en cada equipo?

1. b) ¿Cuántos equipos de 1º ESO y cuántos de 2º ESO se formarán?

Para un banco de alimentos, un supermercado dona $36$ botes de legumbres, $48$ cajas de leche y $60$ paquetes de arroz. Quieren preparar el mayor número posible de bolsas iguales para repartir, de manera que en cada bolsa haya el mismo número de productos de cada tipo.

1. a) ¿Cuántas bolsas podrán preparar como máximo?
2. b) ¿Qué contendrá cada bolsa?

Una artista urbana quiere diseñar un mural en una pared rectangular que mide $210$ cm de alto por $165$ cm de ancho. Para su diseño, quiere dividir toda la pared en cuadrados iguales, de forma que estos sean lo más grandes posible y no tenga que cortar ninguna pieza.

1. a) ¿Cuánto debe medir el lado de cada cuadrado para cubrir toda la pared?
2. b) ¿Cuántos cuadrados tendrá el mural en total?

Un jardinero quiere rodear un huerto rectangular de $90$ metros de largo y $126$ metros de ancho con postes para una valla. El dueño del huerto le ha pedido que coloque un poste en cada esquina y que la distancia entre poste y poste sea siempre la misma y la mayor posible.

1. a) ¿Qué distancia debe dejar entre cada poste?
2. b) ¿Cuántos postes necesitará en total para rodear todo el perímetro del huerto?

Estamos buscando el número más grande posible que, al dividir a los números $159$ y $195$, deje en ambos casos un resto de $3$ unidades. Razona los pasos que sigues para encontrarlo utilizando el concepto de Máximo Común Divisor.

Sabemos que el Máximo Común Divisor de dos números es $12$ y que uno de esos números es el $48$. Si el otro número es mayor que $50$ pero menor que $70$:

1. a) Halla cuál es ese segundo número.
2. b) Justifica tu respuesta utilizando la descomposición en factores primos.