Propiedades de las potencias
Valentina manda un chiste por el celular a 2 amigos. Cada uno lo reenvía a otros 2, y así durante 10 rondas. ¿Cuántas personas lo reciben en la última ronda? Sumar a mano es interminable. Con las propiedades de las potencias se resuelve en un renglón. Ya conoces las reglas de 3.er año. Aquí aprendes a reconocerlas dentro de expresiones largas, con bases distintas, con letras o escondidas en una ecuación. Es justo lo que se pide en las pruebas de admisión.
Exponente cero y exponente negativo
Una potencia con exponente natural cuenta factores repetidos. Para que las propiedades sigan funcionando con cualquier exponente entero, se define así:
¿Por qué? Mira la sucesión $2^3 = 8$, $2^2 = 4$, $2^1 = 2$. Cada vez que el exponente baja una unidad, el resultado se divide por 2. Si seguimos, $2^0 = 1$, $2^{-1} = \frac{1}{2}$, $2^{-2} = \frac{1}{4}$, $2^{-3} = \frac{1}{8}$.
Para una fracción, el exponente negativo la invierte: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}$.
Expresa el número $\frac{1}{128}$ como una potencia de base $2$ utilizando un exponente negativo.
Expresa el número $\frac{1}{128}$ como una potencia de base $2$ utilizando un exponente negativo.
Calcula el valor de la siguiente potencia y expresa el resultado en forma de fracción irreducible: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$.
Calcula el valor de la siguiente potencia y expresa el resultado en forma de fracción irreducible: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$.
Las propiedades con la misma base
¿Por qué? En $a^m \cdot a^n$ juntas $m$ factores con otros $n$, y en total hay $m+n$. En $(a^m)^n$ repites $n$ veces un bloque de $m$ factores, o sea $m \cdot n$ factores. La división sale de la multiplicación porque restar un exponente es "sacar" factores.
Expresa como una única potencia de base $5$ aplicando las propiedades de las potencias: $\frac{5^4 \cdot 5^{-2}}{5^3}$.
Expresa como una única potencia de base $5$ aplicando las propiedades de las potencias: $\frac{5^4 \cdot 5^{-2}}{5^3}$.
Reduce a una sola potencia utilizando las propiedades adecuadas: $\left((-7)^3\right)^{-4} \cdot (-7)^5$.
Reduce a una sola potencia utilizando las propiedades adecuadas: $\left((-7)^3\right)^{-4} \cdot (-7)^5$.
Encuentra el valor del exponente $x$ para que se cumpla la siguiente igualdad: $2^x \cdot 2^3 = 2^{-1}$.
Encuentra el valor del exponente $x$ para que se cumpla la siguiente igualdad: $2^x \cdot 2^3 = 2^{-1}$.
Mismo exponente, bases distintas
¿Por qué? $(ab)^3 = ab \cdot ab \cdot ab$. Reordenando los factores queda $a^3 \cdot b^3$. Vale para multiplicar y dividir, pero no para sumar ni restar: $(a+b)^m \neq a^m + b^m$.
Escribe como una única potencia aplicando las propiedades de las operaciones con potencias del mismo exponente: $15^4 : 3^4 \cdot 2^4$.
Escribe como una única potencia aplicando las propiedades de las operaciones con potencias del mismo exponente: $15^4 : 3^4 \cdot 2^4$.
Indica si la siguiente afirmación es verdadera o falsa, justificando tu respuesta mediante las propiedades de las potencias: "El doble de $2^8$ es $4^8$".
Indica si la siguiente afirmación es verdadera o falsa, justificando tu respuesta mediante las propiedades de las potencias: "El doble de $2^8$ es $4^8$".
Una empresa de embalajes fabrica cajas con forma cúbica. Si deciden triplicar la longitud de la arista de una caja estándar, ¿por qué factor quedará multiplicado su…
Una empresa de embalajes fabrica cajas con forma cúbica. Si deciden triplicar la longitud de la arista de una caja estándar, ¿por qué factor quedará multiplicado su volumen? Expresa tu razonamiento utilizando las propiedades de la potencia de un producto.
Expresiones con letras
Con letras las propiedades funcionan igual. Se trabaja base por base: se junta cada letra por separado y se restan los exponentes arriba menos abajo.
Simplifica la siguiente expresión algebraica dejando el resultado con exponentes positivos: $\frac{x^3 \cdot y^{-2}}{x^{-1} \cdot y^4}$.
Simplifica la siguiente expresión algebraica dejando el resultado con exponentes positivos: $\frac{x^3 \cdot y^{-2}}{x^{-1} \cdot y^4}$.
Simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica, utilizando las propiedades de las potencias y dejando el resultado sin exponentes negativos:…
Simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica, utilizando las propiedades de las potencias y dejando el resultado sin exponentes negativos: $\left( \frac{a^{-2} \cdot b^3}{a \cdot b^{-1}} \right)^{-2}$.
Simplifica la siguiente expresión algebraica, donde $x$ e $y$ son números reales distintos de cero y $a, b$ son números enteros positivos:…
Simplifica la siguiente expresión algebraica, donde $x$ e $y$ son números reales distintos de cero y $a, b$ son números enteros positivos:
$\left( \frac{x^{a-b} \cdot y^{b+a}}{x^{a+b} \cdot y^{b-a}} \right)^{-1}$
Aplica las propiedades de potencias con la misma base y expresa el resultado final utilizando únicamente exponentes positivos.
Bases distintas: factorizar y comparar
Si las bases son distintas, el truco es descomponerlas en factores primos (factorización) y trabajar con potencias de $2$, $3$, $5$…
Para comparar dos potencias sin calculadora, llévalas a la misma base. Si la base es mayor que $1$, es mayor la de mayor exponente.
Simplifica la siguiente expresión factorizando previamente las bases y aplicando las propiedades de las potencias. Expresa el resultado como un producto de potencias de…
Simplifica la siguiente expresión factorizando previamente las bases y aplicando las propiedades de las potencias. Expresa el resultado como un producto de potencias de bases primas: $\frac{18^2 \cdot 12^{-3}}{24^{-1} \cdot 9^3}$.
Sin utilizar la calculadora, determina cuál de las siguientes cantidades es mayor: $3^{50}$ o $9^{20}$. Justifica tu respuesta transformando una de las potencias para…
Sin utilizar la calculadora, determina cuál de las siguientes cantidades es mayor: $3^{50}$ o $9^{20}$. Justifica tu respuesta transformando una de las potencias para que ambas tengan la misma base.
Un alumno ha realizado el siguiente desarrollo algebraico para simplificar una expresión:…
Un alumno ha realizado el siguiente desarrollo algebraico para simplificar una expresión:
$\frac{10^4 \cdot 5^{-2}}{2^4 \cdot 5^2} = \frac{(2 \cdot 5)^4 \cdot 5^{-2}}{2^4 \cdot 5^2} = \frac{2^4 \cdot 5^4 \cdot 5^{-2}}{2^4 \cdot 5^2} = 5^{4 - 2 - 2} = 5^0 = 1$
Identifica si hay algún error en su razonamiento, explícalo detalladamente y proporciona el resultado correcto aplicando de forma estricta las propiedades de las potencias.
Exponentes con letras y factor común
Cuando el exponente tiene una letra, como $2^{n+3}$, usamos $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ al revés: $2^{n+3} = 2^n \cdot 2^3$. Así aparece un factor común y se puede simplificar.
Simplifica la siguiente expresión en la que los exponentes dependen del parámetro $n$, extrayendo factor común si es necesario para poder operar:…
Simplifica la siguiente expresión en la que los exponentes dependen del parámetro $n$, extrayendo factor común si es necesario para poder operar: $\frac{3^{n+2} - 3^n}{3^{n+1} + 3^n}$.
Ecuaciones exponenciales sencillas
Una ecuación exponencial tiene la incógnita en el exponente. Para resolverla escribes todo con la misma base y después igualas los exponentes, que es una ecuación de primer grado. Funciona porque, con base mayor que $1$, dos potencias de igual base son iguales solo si tienen el mismo exponente. Más adelante verás cómo se resuelve cuando no se pueden igualar las bases (logaritmos).
Si hay dos incógnitas, cada igualdad de potencias da una ecuación lineal y queda un sistema.
Una estimación útil: $2^{10} = 1.024 \approx 10^3$. Entonces $2^{30} = (2^{10})^3 \approx 10^9$. Para multiplicar algo por mil millones alcanzan unas $30$ duplicaciones, y con eso se pueden estimar números enormes sin calculadora.
Resuelve la siguiente ecuación exponencial expresando todos los términos como potencias de la misma base y operando con sus exponentes: $4^x \cdot 2^{x+1} = \frac{1}{8}$.
Resuelve la siguiente ecuación exponencial expresando todos los términos como potencias de la misma base y operando con sus exponentes: $4^x \cdot 2^{x+1} = \frac{1}{8}$.
Encuentra los valores de $x$ e $y$ que satisfacen simultáneamente las siguientes igualdades, utilizando las propiedades de las potencias para transformar el sistema en…
Encuentra los valores de $x$ e $y$ que satisfacen simultáneamente las siguientes igualdades, utilizando las propiedades de las potencias para transformar el sistema en un sistema de ecuaciones lineales:
$2^x \cdot 4^y = 256$
$\frac{3^{2x}}{9^y} = 27$
Imagina que tienes una hoja de papel de $0,1\text{ mm}$ de grosor. Cada vez que doblas la hoja por la mitad sobre sí misma, su grosor se duplica. Expresa el grosor de la…
Imagina que tienes una hoja de papel de $0,1\text{ mm}$ de grosor. Cada vez que doblas la hoja por la mitad sobre sí misma, su grosor se duplica. Expresa el grosor de la hoja tras $n$ dobleces mediante una potencia. Si la distancia media de la Tierra a la Luna es de aproximadamente $384\,000\text{ km}$, plantea una ecuación utilizando potencias de $2$ para estimar cuántos dobleces se necesitarían para que el grosor del papel alcance la Luna (puedes estimar el valor sabiendo que $2^{10} \approx 10^3$).
Modelos: crecer por un factor
Cuando algo se multiplica siempre por el mismo número $r$ en cada período, tras $t$ períodos vale $\text{inicial} \cdot r^t$. Un aumento del $10\,\%$ equivale a multiplicar por $1{,}1$.
Volvamos al chiste de Valentina: la primera ronda llega a $2$ personas, la segunda a $2^2$, y la décima a $2^{10} = 1.024$. Si quieres el total de personas alcanzadas, hay que sumar todas las rondas, pero para la última ronda alcanza con la potencia. Moore es parecido: si los transistores se duplican cada $2$ años, en $t$ años el factor es $2^{t/2}$.
Un rumor en un liceo se propaga duplicando cada hora el número de personas que lo conocen. Si inicialmente lo conocen $1000$ personas, expresa en forma de producto con…
Un rumor en un liceo se propaga duplicando cada hora el número de personas que lo conocen. Si inicialmente lo conocen $1000$ personas, expresa en forma de producto con una potencia el número de personas que lo conocerán al cabo de $12$ horas y calcula su valor final.
Un capital se invierte a un interés compuesto anual tal que cada año el dinero se multiplica por $1,05$. Si la inversión inicial es de $2000$ dólares, escribe la…
Un capital se invierte a un interés compuesto anual tal que cada año el dinero se multiplica por $1,05$. Si la inversión inicial es de $2000$ dólares, escribe la expresión en forma de potencia que calcula el capital tras $t$ años. ¿Cuánto dinero habrá tras $4$ años?
La ley empírica de Moore sugiere que el número de transistores en un microprocesador se duplica aproximadamente cada $2$ años. Si en el año 1970 un procesador tenía…
La ley empírica de Moore sugiere que el número de transistores en un microprocesador se duplica aproximadamente cada $2$ años. Si en el año 1970 un procesador tenía $2000$ transistores, expresa el número de transistores en el año $1970 + t$ mediante una potencia de base $2$. Utiliza esta propiedad para estimar cuántos transistores tendría un procesador en el año 2010.
Modelos: decrecer y alejarse
Si el factor es menor que $1$, la cantidad disminuye. Multiplicar por $\frac{1}{3}$ cada vez es multiplicar por $3^{-1}$, así que después de $t$ pasos el factor es $3^{-t}$. Las magnitudes inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia también se escriben con exponente negativo: si la distancia se multiplica por $d$, la intensidad se multiplica por $d^{-2}$.
En la alfombra de Sierpinski, en cada paso queda $\frac{8}{9}$ del área anterior, así que el área es $\left(\frac{8}{9}\right)^n$ del área inicial.
Una sustancia radiactiva reduce su masa a la tercera parte cada día que pasa. Si hoy tenemos una muestra de $81$ gramos, expresa mediante una potencia de base $3$ la…
Una sustancia radiactiva reduce su masa a la tercera parte cada día que pasa. Si hoy tenemos una muestra de $81$ gramos, expresa mediante una potencia de base $3$ la cantidad de sustancia que quedará dentro de $6$ días y calcula el resultado.
La alfombra de Sierpinski es un fractal que se construye a partir de un cuadrado. En cada iteración, cada cuadrado sólido se divide en $9$ cuadrados iguales y se elimina…
La alfombra de Sierpinski es un fractal que se construye a partir de un cuadrado. En cada iteración, cada cuadrado sólido se divide en $9$ cuadrados iguales y se elimina el central. Si el área inicial ($n=0$) es de $1\text{ m}^2$, en la primera iteración el área restante es $\frac{8}{9}\text{ m}^2$. Expresa el área restante tras $n$ iteraciones usando potencias. Calcula el área que quedará tras $5$ iteraciones.
En astrofísica, la intensidad de la luz que recibimos de una estrella es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la que nos encontramos. Si nos alejamos…
En astrofísica, la intensidad de la luz que recibimos de una estrella es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la que nos encontramos. Si nos alejamos a una distancia $4$ veces mayor de la estrella, expresa mediante una potencia de exponente negativo el factor por el cual se multiplica la intensidad de la luz original. Si la intensidad inicial era $I_0$, ¿cuál será la nueva intensidad en función de $I_0$?