Paridad de una función
Un programa de la Universidad Central de Venezuela mide el error de un modelo de predicción del clima de forma simétrica: equivocarse 4 unidades por exceso cuenta igual que equivocarse 4 por defecto. ¿Cómo se ve esa simetría en una función y cómo se comprueba con la fórmula? Eso vamos a resolver.
Función par e impar
Gráficamente: una función par es simétrica respecto del eje de ordenadas (el eje $y$); una impar es simétrica respecto del origen.
Para comprobarlo con la fórmula, siempre haces lo mismo: reemplazas $x$ por $-x$ en toda la expresión y comparas el resultado con $f(x)$ y con $-f(x)$.
Dos consecuencias útiles de la definición: si una función impar está definida en $x=0$, entonces $f(0)=0$ (porque $f(0)=-f(0)$). Y conociendo $f(a)$, la paridad te da $f(-a)$ sin calcular nada: $f(-a)=f(a)$ si es par y $f(-a)=-f(a)$ si es impar.
Sabiendo que el costo de mantenimiento de una máquina sigue una función par $C(t)$ respecto al tiempo óptimo $t=0$, y que $C(4) = 150$ dólares, ¿cuál será el valor de…
Sabiendo que el costo de mantenimiento de una máquina sigue una función par $C(t)$ respecto al tiempo óptimo $t=0$, y que $C(4) = 150$ dólares, ¿cuál será el valor de $C(-4)$?
Completa los valores que faltan para que la función $f(x)$ sea impar en todo su dominio: $f(1)=4$, $f(2)=-1$, $f(-1)=\dots$, $f(-2)=\dots$
Completa los valores que faltan para que la función $f(x)$ sea impar en todo su dominio: $f(1)=4$, $f(2)=-1$, $f(-1)=\dots$, $f(-2)=\dots$
La posición de un objeto en un entorno virtual tridimensional se rige por una función impar $p(t)$. Si en el instante $t=3$ s su posición en uno de los ejes es…
La posición de un objeto en un entorno virtual tridimensional se rige por una función impar $p(t)$. Si en el instante $t=3$ s su posición en uno de los ejes es $p(3) = -12$ m, ¿cuál era su posición en el instante $t=-3$ s?
Observa la siguiente gráfica y clasifica la función representada como par, impar o sin simetría evidente, justificando tu respuesta a partir de los puntos destacados.
Observa la siguiente gráfica y clasifica la función representada como par, impar o sin simetría evidente, justificando tu respuesta a partir de los puntos destacados.
Polinomios y parámetros
Para un polinomio, la paridad se lee en los exponentes: si todos los términos tienen exponente par (el término independiente cuenta como $x^0$), es par; si todos tienen exponente impar, es impar. Si hay de los dos tipos, no es ni par ni impar.
Cuando el enunciado trae un parámetro, se impone la condición de paridad y se igualan los coeficientes.
Comprueba matemáticamente si la función polinómica $h(x) = x^3 - 5x + 2$ presenta algún tipo de simetría respecto al eje de ordenadas o respecto al origen.
Comprueba matemáticamente si la función polinómica $h(x) = x^3 - 5x + 2$ presenta algún tipo de simetría respecto al eje de ordenadas o respecto al origen.
Calcula el valor del parámetro $k$ para que la función de beneficios de una empresa, dada por $B(x) = x^2 + (k-3)x + 10$, sea una función par y, por tanto, simétrica…
Calcula el valor del parámetro $k$ para que la función de beneficios de una empresa, dada por $B(x) = x^2 + (k-3)x + 10$, sea una función par y, por tanto, simétrica respecto a $x=0$.
Sea $f(x)$ una función polinómica de grado 4. Si $f(x)$ es una función par, $f(0)=3$, $f(1)=4$ y $f(2)=11$, determina la expresión analítica completa de $f(x)$.
Sea $f(x)$ una función polinómica de grado 4. Si $f(x)$ es una función par, $f(0)=3$, $f(1)=4$ y $f(2)=11$, determina la expresión analítica completa de $f(x)$.
Funciones racionales, trigonométricas, exponenciales y con módulo
Con eso, $\operatorname{tg}(-x)=\dfrac{-\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}=-\operatorname{tg}(x)$: la tangente es impar.
Otras piezas que conviene tener a mano: $|{-x}|=|x|$ (el valor absoluto es par) y $3^{-x}$ es el "espejo" de $3^x$.
Estudia la paridad de la función racional $g(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$, indicando si presenta simetría respecto al eje de ordenadas o respecto al origen.
Estudia la paridad de la función racional $g(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$, indicando si presenta simetría respecto al eje de ordenadas o respecto al origen.
Determina analíticamente la paridad de la función trigonométrica $f(x) = 2\sin(x)$, recordando las propiedades del seno para ángulos negativos.
Determina analíticamente la paridad de la función trigonométrica $f(x) = 2\sin(x)$, recordando las propiedades del seno para ángulos negativos.
El perfil de un arco arquitectónico se modeliza mediante la función $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x^2 + 4}$, donde $x$ es la distancia horizontal al centro en metros.…
El perfil de un arco arquitectónico se modeliza mediante la función $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x^2 + 4}$, donde $x$ es la distancia horizontal al centro en metros. Demuestra analíticamente si este perfil es simétrico respecto al eje central vertical (función par).
Una empresa de análisis de datos utiliza la función $E(x) = 3^x + 3^{-x}$ para medir el error simétrico de un algoritmo de predicción. Analiza y demuestra la paridad de…
Una empresa de análisis de datos utiliza la función $E(x) = 3^x + 3^{-x}$ para medir el error simétrico de un algoritmo de predicción. Analiza y demuestra la paridad de esta función.
La fuerza de atracción electromagnética entre dos componentes metálicos se modeliza con una función impar $F(d) = \frac{ad^3 + bd^2 + 5d}{d^2 + 1}$, donde $d$ es la…
La fuerza de atracción electromagnética entre dos componentes metálicos se modeliza con una función impar $F(d) = \frac{ad^3 + bd^2 + 5d}{d^2 + 1}$, donde $d$ es la distancia. Determina el valor que debe tener obligatoriamente el parámetro $b$ para que se cumpla dicha simetría.
Logaritmos y asíntotas verticales en la paridad
Dos herramientas que aparecen en funciones más complejas.
Logaritmo de un cociente y de un recíproco. Para $a>0$ y $b>0$ vale $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$. En particular, $\ln\left(\dfrac{1}{u}\right)=-\ln u$. Por eso, si al calcular $f(-x)$ te queda el recíproco del argumento que tenías en $f(x)$, el logaritmo cambia de signo.
Asíntota vertical de una función racional. Una función racional $\dfrac{N(x)}{D(x)}$ tiene una asíntota vertical en $x=c$ cuando $D(c)=0$ y $N(c)\neq0$: cerca de $c$ el cociente crece (o decrece) sin límite. Entonces, saber que hay una asíntota en $x=c$ te da la ecuación $D(c)=0$. Si además la función es impar, hay otra asíntota en $x=-c$ y puedes usar los puntos por los que pasa para plantear más ecuaciones.
Cuando la fórmula tiene raíces, no se ve a simple vista si es par o impar. Un truco es calcular $f(-x)$ y comparar con $-f(x)$, intercambiando los términos que se restan.
Estudia la paridad de la función $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$, utilizada en física para modelizar ciertos potenciales eléctricos en el intervalo $(-1, 1)$.
Estudia la paridad de la función $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$, utilizada en física para modelizar ciertos potenciales eléctricos en el intervalo $(-1, 1)$.
Analiza la paridad de la función $f(x) = \sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 - x + 1}$, que representa la diferencia de distancias de un punto $P(x, 0)$ del eje de abscisas a…
Analiza la paridad de la función $f(x) = \sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 - x + 1}$, que representa la diferencia de distancias de un punto $P(x, 0)$ del eje de abscisas a dos focos emisores de calor situados en $F_1\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ y $F_2\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
Un ingeniero diseña una pieza mecánica cuyo contorno superior viene dado por $f(x) = \frac{ax^3 + cx}{x^2 + b}$. Sabiendo que el contorno es una función impar, pasa por…
Un ingeniero diseña una pieza mecánica cuyo contorno superior viene dado por $f(x) = \frac{ax^3 + cx}{x^2 + b}$. Sabiendo que el contorno es una función impar, pasa por los puntos $(2, \frac{10}{3})$ y $(3, \frac{15}{4})$, y tiene una asíntota vertical en $x=1$ (para $x>0$), calcula los valores exactos de los parámetros $a, b$ y $c$.
Producto y composición
Con la suma pasa algo parecido: par + par es par e impar + impar es impar; pero par + impar, en general, no es ni par ni impar. De hecho, toda función definida en $\mathbb{R}$ se puede descomponer como suma de una par y una impar:
$$P(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}\qquad I(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}\qquad f=P+I$$Estudia la paridad de la función $f(x) = x|x|$, que describe la fuerza de arrastre aerodinámico de un vehículo en función de su velocidad $x$.
Estudia la paridad de la función $f(x) = x|x|$, que describe la fuerza de arrastre aerodinámico de un vehículo en función de su velocidad $x$.
Determina analíticamente si la función $g(x) = \frac{x^3 - x}{|x|}$ es par, impar o ninguna de las dos.
Determina analíticamente si la función $g(x) = \frac{x^3 - x}{|x|}$ es par, impar o ninguna de las dos.
Dadas dos funciones, $f(x)$ que es par y $g(x)$ que es impar, demuestra analíticamente qué tipo de paridad tiene la función producto $h(x) = f(x) \cdot g(x)$.
Dadas dos funciones, $f(x)$ que es par y $g(x)$ que es impar, demuestra analíticamente qué tipo de paridad tiene la función producto $h(x) = f(x) \cdot g(x)$.
Demuestra que cualquier función $f(x)$ definida en $\mathbb{R}$ puede expresarse como la suma de una función par $P(x)$ y una función impar $I(x)$ utilizando las…
Demuestra que cualquier función $f(x)$ definida en $\mathbb{R}$ puede expresarse como la suma de una función par $P(x)$ y una función impar $I(x)$ utilizando las expresiones $P(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}$ e $I(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}$.
Sabiendo que cualquier función $f(x)$ definida en $\mathbb{R}$ puede expresarse como la suma de una función par $P(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}$ y una función impar…
Sabiendo que cualquier función $f(x)$ definida en $\mathbb{R}$ puede expresarse como la suma de una función par $P(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}$ y una función impar $I(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}$, descompón la función exponencial $f(x) = e^x$ en la suma de una función par y una función impar.
Si $f(x)$ es una función par y $g(x)$ es una función impar, determina y demuestra rigurosamente la paridad de la función compuesta $h(x) = f(g(x))$.
Si $f(x)$ es una función par y $g(x)$ es una función impar, determina y demuestra rigurosamente la paridad de la función compuesta $h(x) = f(g(x))$.
Paridad y derivada
En una función par, lo que ocurre a la izquierda del eje $y$ es el reflejo de lo que ocurre a la derecha. Por ejemplo, $x^2$ sube a la derecha del eje y baja a la izquierda; en cambio, $\cos(x)$ también es par, pero decrece a la derecha de $0$ y crece a la izquierda. Lo que no cambia es el reflejo: si en $x=a$ la tangente tiene pendiente $m$, la tangente en $x=-a$ es su imagen en el espejo y tiene pendiente $-m$ (reflejar respecto del eje $y$ cambia el signo de la pendiente). Entonces, para una función par, $f'(-a)=-f'(a)$: la derivada es impar.
En una función impar pasa lo contrario. El giro de $180^\circ$ alrededor del origen no cambia la pendiente de una recta, así que la tangente en $-a$ tiene la misma pendiente que en $a$: $f'(-a)=f'(a)$. La derivada de una función impar es par.
Fíjate en ejemplos conocidos: $x^2$ es par y su derivada $2x$ es impar; $x^3$ es impar y su derivada $3x^2$ es par; $\cos(x)$ es par y su derivada $-\operatorname{sen}(x)$ es impar.
La derivada de una función nos da la pendiente de su recta tangente en cada punto. Si $f(x)$ es una función impar y derivable en todo $\mathbb{R}$, demuestra…
La derivada de una función nos da la pendiente de su recta tangente en cada punto. Si $f(x)$ es una función impar y derivable en todo $\mathbb{R}$, demuestra matemáticamente que su función derivada $f'(x)$ debe ser obligatoriamente una función par.
Leer la paridad en el gráfico
Si conoces la mitad derecha del gráfico ($x\ge 0$) y sabes que la función es par, la mitad izquierda es el reflejo respecto del eje $y$: $f(-x)=f(x)$. Si es impar, la mitad izquierda se obtiene reflejando respecto del eje $y$ y también respecto del eje $x$ (un giro de $180^\circ$ alrededor del origen): $f(-x)=-f(x)$.
La gráfica muestra la mitad derecha (para $x \ge 0$) del perfil de una antena parabólica. Sabiendo que su ecuación global corresponde a una función par, describe cómo…
La gráfica muestra la mitad derecha (para $x \ge 0$) del perfil de una antena parabólica. Sabiendo que su ecuación global corresponde a una función par, describe cómo sería la mitad izquierda y qué valor tomará $f(-x)$ en función de $f(x)$.
Vuelve al principio: si un modelo penaliza igual un error por exceso que por defecto, su función de error cumple $E(-x)=E(x)$: es una función par, como $|x|$ o $x^2$.