Sistemas de ecuaciones lineales
En un taller mecánico de Maracay hay carros y motos: 35 vehículos en total y 110 ruedas. Con una sola ecuación y dos incógnitas no alcanza para saber cuántos hay de cada uno, pero el enunciado te da dos datos independientes. Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, y con dos pistas sí hay una respuesta. Vamos a repasar cómo encontrarla.
Qué es un sistema y cómo se comprueba una solución
Para comprobar una solución se reemplaza en las dos ecuaciones: $20+15=35$ ✓ y $4\cdot20+2\cdot15=80+30=110$ ✓. Si cumple solo una, no es solución del sistema.
Comprueba si el par de valores $(x, y) = (2, -1)$ es solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales: $3x + 2y = 4$ $x - 4y = 6$
Comprueba si el par de valores $(x, y) = (2, -1)$ es solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$3x + 2y = 4$
$x - 4y = 6$
Tres métodos para resolver
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución: $x = 2y + 5$ $3x - 4y = 11$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución:
$x = 2y + 5$
$3x - 4y = 11$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de igualación: $y = 3x - 2$ $y = -x + 6$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de igualación:
$y = 3x - 2$
$y = -x + 6$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción: $5x + 3y = 21$ $2x - 3y = 0$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción:
$5x + 3y = 21$
$2x - 3y = 0$
Sistemas que primero hay que ordenar
A veces el sistema trae paréntesis o denominadores. Antes de aplicar un método, lo llevas a la forma $ax+by=c$.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, operando previamente para eliminar los paréntesis: $2(x - 3) + 3(y + 1) = 4$ $x - 4(y + 2) = -10$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, operando previamente para eliminar los paréntesis:
$2(x - 3) + 3(y + 1) = 4$
$x - 4(y + 2) = -10$
Resuelve el siguiente sistema eliminando primero los denominadores: $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$ $\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = \frac{1}{2}$
Resuelve el siguiente sistema eliminando primero los denominadores:
$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$
$\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = \frac{1}{2}$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, simplificando previamente las expresiones con fracciones y paréntesis:…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, simplificando previamente las expresiones con fracciones y paréntesis:
$\frac{3(x - 1)}{2} + \frac{y + 2}{4} = \frac{11}{4}$
$\frac{x + y}{5} - \frac{x - y}{2} = \frac{3}{2}$
Significado gráfico: dos rectas
Cada ecuación lineal es una recta en el plano. La solución del sistema es el punto donde las rectas se cortan, si es que se cortan. Prueba mover los deslizadores y observa qué pasa con el punto de intersección.
Para graficar a mano, despeja $y$ en cada ecuación, haz una tabla con dos o tres puntos y traza las rectas. Lee las coordenadas del punto de corte y verifícalas en ambas ecuaciones.
Observa la representación gráfica de dos rectas que forman un sistema de ecuaciones lineales. Indica cuál es la solución del sistema y clasifícalo según su número de…
Observa la representación gráfica de dos rectas que forman un sistema de ecuaciones lineales. Indica cuál es la solución del sistema y clasifícalo según su número de soluciones (compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible).
Representa gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones lineales e indica su solución a partir de la gráfica: $x + y = 5$ $2x - y = 4$ Puedes hacerlo en papel y…
Representa gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones lineales e indica su solución a partir de la gráfica:
$x + y = 5$
$2x - y = 4$
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Clasificar sin resolver
Mirando los coeficientes de $\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}$ puedes saber cuántas soluciones tiene, sin resolverlo.
Observa la siguiente representación gráfica de un sistema formado por dos rectas, $r_1$ y $r_2$, cuyas ecuaciones son de la forma $ax+by=c$ y $a'x+b'y=c'$. A partir del…
Observa la siguiente representación gráfica de un sistema formado por dos rectas, $r_1$ y $r_2$, cuyas ecuaciones son de la forma $ax+by=c$ y $a'x+b'y=c'$. A partir del gráfico, clasifica el sistema según su número de soluciones y explica qué relación algebraica debe existir entre los coeficientes de ambas ecuaciones para que se dé esta situación.
Determina el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema de ecuaciones sea incompatible (es decir, que las rectas que lo representan sean paralelas):…
Determina el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema de ecuaciones sea incompatible (es decir, que las rectas que lo representan sean paralelas):
$kx + 3y = 5$
$4x - 2y = 7$
Determina el valor del parámetro $m$ para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones (sea un sistema compatible indeterminado): $3x - my = 12$ $-6x + 8y = -24$
Determina el valor del parámetro $m$ para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones (sea un sistema compatible indeterminado):
$3x - my = 12$
$-6x + 8y = -24$
Problemas con sistemas lineales
La suma de dos números es $54$ y su diferencia es $12$. Plantea un sistema de ecuaciones lineales y calcula el valor de ambos números.
La suma de dos números es $54$ y su diferencia es $12$. Plantea un sistema de ecuaciones lineales y calcula el valor de ambos números.
En una cafetería, por $3$ cafés y $2$ cruasanes nos han cobrado $7,50$ dólares. Si compramos $1$ café y $4$ cruasanes del mismo tipo, el precio es de $6,50$ dólares.…
En una cafetería, por $3$ cafés y $2$ cruasanes nos han cobrado $7,50$ dólares. Si compramos $1$ café y $4$ cruasanes del mismo tipo, el precio es de $6,50$ dólares. ¿Cuánto cuesta cada café y cada cruasán?
En un taller de reparación de vehículos hay entre carros y motos un total de $35$ vehículos. Si contamos las ruedas de todos ellos (sin tener en cuenta las de repuesto),…
En un taller de reparación de vehículos hay entre carros y motos un total de $35$ vehículos. Si contamos las ruedas de todos ellos (sin tener en cuenta las de repuesto), hay un total de $110$ ruedas. ¿Cuántos carros y cuántas motos hay en el taller?
En una alcancía hay $40$ monedas, algunas de $0,20$ dólares y otras de $0,50$ dólares. Si en total hay $12,50$ dólares, ¿cuántas monedas de cada tipo contiene la…
En una alcancía hay $40$ monedas, algunas de $0,20$ dólares y otras de $0,50$ dólares. Si en total hay $12,50$ dólares, ¿cuántas monedas de cada tipo contiene la alcancía?
Vuelve al principio: en el taller, con $x$ carros e $y$ motos, $x+y=35$ y $4x+2y=110$ dan $20$ carros y $15$ motos.
Porcentajes, mezclas e inversiones
Cuando el problema habla de porcentajes, cada parte aporta su propio porcentaje: la segunda ecuación suma «porcentaje por cantidad» de cada parte y lo iguala al total.
La misma idea sirve para disoluciones: la cantidad de soluto de cada disolución es su concentración por su volumen.
Un comerciante mezcla aceite de oliva de $4$ dólares/litro con aceite de girasol de $2$ dólares/litro para obtener $60$ litros de una mezcla que venderá a $3,50$…
Un comerciante mezcla aceite de oliva de $4$ dólares/litro con aceite de girasol de $2$ dólares/litro para obtener $60$ litros de una mezcla que venderá a $3,50$ dólares/litro. Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos litros de cada tipo de aceite ha utilizado.
En una tienda de electrónica, una laptop y una tableta cuestan juntas $1500$ dólares. Durante la semana de ofertas, aplican un descuento del $15\,\%$ a la laptop y un…
En una tienda de electrónica, una laptop y una tableta cuestan juntas $1500$ dólares. Durante la semana de ofertas, aplican un descuento del $15\,\%$ a la laptop y un $10\,\%$ a la tableta, por lo que el precio conjunto pasa a ser de $1305$ dólares. Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar el precio original de cada artículo.
En un laboratorio se dispone de dos disoluciones de un mismo ácido, una al $10\,\%$ de concentración y otra al $25\,\%$. Se desea obtener $45$ litros de una nueva…
En un laboratorio se dispone de dos disoluciones de un mismo ácido, una al $10\,\%$ de concentración y otra al $25\,\%$. Se desea obtener $45$ litros de una nueva disolución al $16\,\%$ de concentración. ¿Cuántos litros de cada disolución original se deben mezclar?
Una persona invierte un total de $25000$ dólares en dos fondos de inversión diferentes. El primer fondo le ofrece un interés anual del $4\,\%$, mientras que el segundo…
Una persona invierte un total de $25000$ dólares en dos fondos de inversión diferentes. El primer fondo le ofrece un interés anual del $4\,\%$, mientras que el segundo le ofrece un $6\,\%$. Si al cabo de un año los beneficios totales obtenidos por ambos fondos ascienden a $1320$ dólares, ¿qué cantidad de dinero invirtió en cada uno de ellos?
Edades, movimiento y geometría
En los problemas de edades, un dato se refiere al pasado o al futuro: si hoy una persona tiene $x$ años, hace $n$ años tenía $x-n$ y dentro de $n$ años tendrá $x+n$. En los de movimiento, distancia $=$ velocidad $\cdot$ tiempo.
En los problemas de geometría usa la fórmula de la figura. Por ejemplo, en un rectángulo de largo $x$ y ancho $y$, el perímetro da la ecuación $2x+2y=P$.
Hace $5$ años, la edad de una madre era el triple que la de su hijo. Dentro de $10$ años, la edad de la madre será el doble que la del hijo. Plantea un sistema de…
Hace $5$ años, la edad de una madre era el triple que la de su hijo. Dentro de $10$ años, la edad de la madre será el doble que la del hijo. Plantea un sistema de ecuaciones lineales para calcular las edades actuales de ambos.
El perímetro de una parcela rectangular mide $120$ metros. Si el largo de la parcela mide $10$ metros más que el ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la parcela?
El perímetro de una parcela rectangular mide $120$ metros. Si el largo de la parcela mide $10$ metros más que el ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la parcela?
Dos ciclistas salen al mismo tiempo de dos ciudades, A y B, separadas por $78$ km, y se dirigen el uno hacia el otro en línea recta. Tardan exactamente $3$ horas en…
Dos ciclistas salen al mismo tiempo de dos ciudades, A y B, separadas por $78$ km, y se dirigen el uno hacia el otro en línea recta. Tardan exactamente $3$ horas en encontrarse. Si la velocidad del primer ciclista es $4$ km/h mayor que la del segundo, ¿a qué velocidad circula cada uno?