Problemas con ecuaciones cuadráticas
Valentina quiere armar una huerta rectangular en el fondo de su casa: sabe que el largo tiene que ser 5 metros más que el ancho y que necesita 150 m² de superficie. ¿Cuánto miden los lados? Ya sabes resolver $ax^2+bx+c=0$ con la resolvente o factorizando. Lo difícil es traducir el enunciado a una ecuación y después decidir qué hacer con las dos soluciones.
Plantear el problema
Encuentra un número positivo tal que el triple de su cuadrado sea exactamente igual a doce veces ese mismo número.
Encuentra un número positivo tal que el triple de su cuadrado sea exactamente igual a doce veces ese mismo número.
Números y repartos
Cuando el problema habla de números consecutivos, nombra uno con $x$ y escribe los demás en función de él: consecutivos $x$ y $x+1$; pares o impares consecutivos $x$ y $x+2$.
El producto de dos números enteros consecutivos es $156$. ¿Cuáles son esos números?
El producto de dos números enteros consecutivos es $156$. ¿Cuáles son esos números?
El producto de dos números pares positivos consecutivos es $288$. Halla dichos números.
El producto de dos números pares positivos consecutivos es $288$. Halla dichos números.
La suma de los cuadrados de dos números naturales impares consecutivos es $130$. Determina de qué números se trata.
La suma de los cuadrados de dos números naturales impares consecutivos es $130$. Determina de qué números se trata.
Un grupo de amigos decide comprar un regalo de bodas que cuesta $120$ dólares, a pagar a partes iguales. A última hora se unen dos amigos más al grupo, lo que hace que…
Un grupo de amigos decide comprar un regalo de bodas que cuesta $120$ dólares, a pagar a partes iguales. A última hora se unen dos amigos más al grupo, lo que hace que cada uno de los anteriores deba pagar $3$ dólares menos de lo inicialmente previsto. ¿Cuántos amigos conformaban el grupo inicial?
Geometría: áreas y Pitágoras
En un triángulo rectángulo vale $a^2+b^2=c^2$. Si los lados se describen como «$x$ más algo», Pitágoras da una ecuación de segundo grado. Lo mismo pasa con áreas: el área de un rectángulo es base por altura, y si ambas dependen de $x$, aparece $x^2$. Fórmulas útiles: el área de un rombo es $\dfrac{D\cdot d}{2}$ (con sus diagonales), y el área total de un cilindro es $2\pi r^2 + 2\pi r h$. Si recortas un cuadrado de lado $x$ en cada esquina de una plancha, cada lado de la base pierde $2x$. Al doblar las solapas, la altura de la caja es $x$, y el volumen de la caja sin tapa es área de la base por altura: $V = (\text{área de la base}) \cdot x$. Por ejemplo, con una plancha de $20 \times 10$ y base de $(20-2x)(10-2x)$, si $x=2$ la base es $16 \cdot 6 = 96$ y el volumen es $96 \cdot 2 = 192$. Y si un borde o camino de ancho $x$ rodea una figura, cada dimensión crece $2x$ (o lo que corresponda a cada lado): área del borde = área exterior − área interior.
La base de una parcela rectangular mide $5$ metros más que su altura. Si su área total es de $150 \text{ m}^2$, calcula sus dimensiones.
La base de una parcela rectangular mide $5$ metros más que su altura. Si su área total es de $150 \text{ m}^2$, calcula sus dimensiones.
En un triángulo rectángulo, un cateto mide $7 \text{ cm}$ más que el otro. Si la hipotenusa mide $13 \text{ cm}$, calcula la longitud de ambos catetos.
En un triángulo rectángulo, un cateto mide $7 \text{ cm}$ más que el otro. Si la hipotenusa mide $13 \text{ cm}$, calcula la longitud de ambos catetos.
Si se aumenta el lado de un cuadrado de cerámica en $4 \text{ cm}$, su área se cuadruplica. ¿Cuánto medía el lado inicialmente?
Si se aumenta el lado de un cuadrado de cerámica en $4 \text{ cm}$, su área se cuadruplica. ¿Cuánto medía el lado inicialmente?
Una piscina rectangular de $10 \text{ m}$ de largo por $6 \text{ m}$ de ancho está rodeada por un pasillo de grama de ancho uniforme $x$. Si el área exclusiva del…
Una piscina rectangular de $10 \text{ m}$ de largo por $6 \text{ m}$ de ancho está rodeada por un pasillo de grama de ancho uniforme $x$. Si el área exclusiva del pasillo es de $80 \text{ m}^2$, ¿cuál es el ancho del pasillo?
Para fabricar una cometa, se necesita una tela en forma de rombo. Se sabe que la diagonal mayor mide $4 \text{ cm}$ más que la diagonal menor, y que el área total de la…
Para fabricar una cometa, se necesita una tela en forma de rombo. Se sabe que la diagonal mayor mide $4 \text{ cm}$ más que la diagonal menor, y que el área total de la cometa es de $96 \text{ cm}^2$. Calcula la longitud de ambas diagonales.
Se dispone de una plancha de cartón rectangular de $30 \text{ cm}$ de largo por $20 \text{ cm}$ de ancho. Se desea construir una caja sin tapa cortando un cuadrado de…
Se dispone de una plancha de cartón rectangular de $30 \text{ cm}$ de largo por $20 \text{ cm}$ de ancho. Se desea construir una caja sin tapa cortando un cuadrado de lado $x$ en cada esquina y doblando las solapas hacia arriba. Si el área de la base de la caja resultante debe ser de $336 \text{ cm}^2$, calcula el valor de $x$ y el volumen de la caja.
Edades
«Hace $n$ años» se escribe $x-n$ y «dentro de $n$ años», $x+n$. Si esas expresiones aparecen en un producto o un cuadrado, la ecuación es de segundo grado.
Si al cuadrado de la edad que tendrá Lucía dentro de $3$ años le restamos el triple de la edad que tenía hace $2$ años, obtenemos $55$. ¿Qué edad tiene Lucía actualmente?
Si al cuadrado de la edad que tendrá Lucía dentro de $3$ años le restamos el triple de la edad que tenía hace $2$ años, obtenemos $55$. ¿Qué edad tiene Lucía actualmente?
La diferencia entre las edades de un abuelo y su nieto es de $56$ años. Hace $4$ años, la edad del abuelo era exactamente el cuadrado de la edad del nieto. ¿Qué edades…
La diferencia entre las edades de un abuelo y su nieto es de $56$ años. Hace $4$ años, la edad del abuelo era exactamente el cuadrado de la edad del nieto. ¿Qué edades tienen actualmente?
Movimiento y otras situaciones
Cuando una fórmula dada (como la altura de un proyectil) se iguala a un valor, queda una ecuación de segundo grado en el tiempo. Si el enunciado dice que algo «toca el suelo», la altura es $0$. Con velocidades, recuerda que $v=\dfrac{d}{t}$, o sea $t=\dfrac{d}{v}$: al igualar tiempos aparecen fracciones que, al quitar denominadores, dan segundo grado.
Trabajo conjunto: dos llaves, un depósito
Si una llave llena un depósito en $t$ horas, en una hora llena $\dfrac{1}{t}$ del depósito. Esa es su «tasa de llenado». Cuando dos llaves trabajan juntas, las tasas se suman: $\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}=\dfrac{1}{t}$, donde $t$ es el tiempo juntas. Ojo: se suman las tasas, no los tiempos.
Un proyectil se lanza verticalmente hacia arriba. Su altura $h$ (en metros) en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión matemática…
Un proyectil se lanza verticalmente hacia arriba. Su altura $h$ (en metros) en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión matemática $h = 40t - 5t^2$. ¿En qué instantes de tiempo el proyectil se encontrará exactamente a una altura de $75 \text{ metros}$?
Una empresa de tecnología fabrica paneles solares con forma rectangular. El largo del panel debe ser el doble de su ancho menos $1 \text{ metro}$. Si para un nuevo…
Una empresa de tecnología fabrica paneles solares con forma rectangular. El largo del panel debe ser el doble de su ancho menos $1 \text{ metro}$. Si para un nuevo modelo se requiere que la superficie del panel sea de $28 \text{ m}^2$, halla sus dimensiones.
En una competición de atletismo, se lanza un peso. La trayectoria sigue una parábola dada por la ecuación $y = -0,05x^2 + 0,8x + 1,8$, donde $x$ es la distancia…
En una competición de atletismo, se lanza un peso. La trayectoria sigue una parábola dada por la ecuación $y = -0,05x^2 + 0,8x + 1,8$, donde $x$ es la distancia horizontal en metros e $y$ la altura en metros. ¿A qué distancia horizontal tocará el suelo?
Dos tuberías llenan juntas un depósito de agua en $6$ horas. Si se abriera solo la primera tubería, tardaría $5$ horas menos en llenar el depósito que si se abriera solo…
Dos tuberías llenan juntas un depósito de agua en $6$ horas. Si se abriera solo la primera tubería, tardaría $5$ horas menos en llenar el depósito que si se abriera solo la segunda. ¿Cuánto tardaría cada tubería en llenar el depósito de forma independiente?
Dos carros parten a la vez desde el mismo cruce por dos carreteras perpendiculares. Uno va a $10 \text{ km/h}$ más rápido que el otro. Al cabo de $2$ horas, la distancia…
Dos carros parten a la vez desde el mismo cruce por dos carreteras perpendiculares. Uno va a $10 \text{ km/h}$ más rápido que el otro. Al cabo de $2$ horas, la distancia en línea recta que los separa es de $100 \text{ km}$. ¿A qué velocidad va cada uno?
Un ciclista viaja de un pueblo A a un pueblo B, separados por $60 \text{ km}$. A la vuelta, debido a la fatiga, su velocidad media es $5 \text{ km/h}$ menor que a la…
Un ciclista viaja de un pueblo A a un pueblo B, separados por $60 \text{ km}$. A la vuelta, debido a la fatiga, su velocidad media es $5 \text{ km/h}$ menor que a la ida, por lo que tarda $1$ hora más en realizar el mismo trayecto. ¿A qué velocidad circuló a la ida?
Cuidado con las dos soluciones
Algunos problemas combinan varios temas. En el interés compuesto, el capital final a los dos años es $C(1+i)^2$, y al despejar $i$ queda una ecuación de segundo grado.
El precio de costo de un lote de franelas es de $300$ dólares. El vendedor decide quedarse con $5$ franelas para su familia y vender el resto a $2$ dólares más de lo que…
El precio de costo de un lote de franelas es de $300$ dólares. El vendedor decide quedarse con $5$ franelas para su familia y vender el resto a $2$ dólares más de lo que le costó cada una. Si después de venderlas todas obtiene una ganancia neta de $60$ dólares (es decir, ingresa $360$ dólares en total), ¿cuántas franelas compró inicialmente?
Un inversionista coloca un capital de $5000$ dólares a una determinada tasa de interés compuesto anual. Al cabo de dos años, el capital acumulado es de $5408$ dólares.…
Un inversionista coloca un capital de $5000$ dólares a una determinada tasa de interés compuesto anual. Al cabo de dos años, el capital acumulado es de $5408$ dólares. ¿Cuál fue la tasa de interés anual aplicada?
Un artesano quiere diseñar un marco de madera para un espejo rectangular. Las dimensiones del espejo son $80 \text{ cm}$ de alto por $60 \text{ cm}$ de ancho. El marco…
Un artesano quiere diseñar un marco de madera para un espejo rectangular. Las dimensiones del espejo son $80 \text{ cm}$ de alto por $60 \text{ cm}$ de ancho. El marco tendrá un grosor uniforme de $x \text{ cm}$ en la parte superior e inferior, pero en los laterales el grosor será el doble, es decir, $2x \text{ cm}$. Si el área total del marco (sin incluir el espejo) debe ser de $2400 \text{ cm}^2$, determina el valor de $x$.
Una lata cilíndrica de conservas se diseña de modo que su altura es exactamente igual al diámetro de su base. Si para fabricar la lata (incluyendo las dos tapas circular…
Una lata cilíndrica de conservas se diseña de modo que su altura es exactamente igual al diámetro de su base. Si para fabricar la lata (incluyendo las dos tapas circular y la cara lateral) se han utilizado exactamente $150\pi \text{ cm}^2$ de hojalata, calcula el radio de la base.
Volviendo al principio: la huerta de Valentina mide 10 m de ancho y 15 m de largo; la solución $-15$ no sirve porque una longitud no puede ser negativa.