Medida de ángulos: grados y radianes
Hasta ahora mediste los ángulos en grados sexagesimales: una unidad arbitraria, heredada de los babilonios, que divide la vuelta en $360$ partes sin más razón que la tradición. En 4.° año aparece una segunda unidad, el radián, que no es arbitraria: sale de comparar un arco de circunferencia con su radio. Es la unidad que usan la física y la ingeniería porque simplifica las fórmulas de rotación. Y te dejamos una pregunta para el final: la rueda de un carro en la autopista Regional del Centro, o un disco de vinilo que gira a $33$ rpm, ¿cuántos radianes recorre un punto de su borde en cada segundo?
El radián: cuando el arco mide lo mismo que el radio
Imagina que tomas el radio de una circunferencia y lo apoyas sobre el borde, como si fuera un hilo que se curva. El ángulo central que abarca ese arco, de longitud igual al radio, es un radián. No importa si la circunferencia es chica o enorme: la proporción entre el arco y el radio es siempre la misma para ese ángulo.
La circunferencia entera mide $2\pi r$ y cada radián ocupa un arco de longitud $r$: en una vuelta completa entran exactamente $2\pi$ radianes. Por eso $2\pi$ rad equivalen a $360^\circ$. No es casualidad: sale de la definición.
Un ángulo mide exactamente $3$ radianes. Sin utilizar la calculadora, razona si este ángulo es mayor, menor o igual a un ángulo llano ($180^\circ$) y determina en qué…
Un ángulo mide exactamente $3$ radianes. Sin utilizar la calculadora, razona si este ángulo es mayor, menor o igual a un ángulo llano ($180^\circ$) y determina en qué cuadrante se encuentra.
Grados, minutos y segundos
En la latitud y la longitud (por ejemplo, la de Caracas, cerca de $10^\circ 30'$ N) el grado se divide en partes más pequeñas: $1^\circ=60'$ (minutos) y $1'=60''$ (segundos).
Conversión entre grados y radianes
Una vuelta completa son $360^\circ$ y también $2\pi$ rad. Esa equivalencia permite convertir con una regla de tres.
Expresa en radianes, utilizando fracciones irreducibles de $\pi$, los siguientes ángulos dados en grados sexagesimales: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ y…
Expresa en radianes, utilizando fracciones irreducibles de $\pi$, los siguientes ángulos dados en grados sexagesimales: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ y $330^\circ$.
Convierte a grados sexagesimales los siguientes ángulos expresados en radianes: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ y $\frac{11\pi}{3}$.
Convierte a grados sexagesimales los siguientes ángulos expresados en radianes: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ y $\frac{11\pi}{3}$.
Ángulo entre las agujas de un reloj
El minutero da una vuelta ($360^\circ$) en $60$ min: gira $6^\circ$ por minuto. La aguja horaria da una vuelta en $12$ h: gira $30^\circ$ por hora, es decir, $0{,}5^\circ$ por minuto. Se mide cada aguja desde las 12 y se restan.
Para saber cuándo se superponen, iguala las dos posiciones: $6m=210+0{,}5m$ si es después de las 7:00 y resuelve $m$ (cambia el $210$ según la hora).
Suma de ángulos interiores de triángulos y polígonos
Algunos problemas piden datos de figuras: para resolverlos necesitas dos hechos que ya conoces de años anteriores.
Calcula la suma de los ángulos interiores de un octógono regular y expresa el valor de cada uno de sus ángulos interiores en radianes, utilizando fracciones de $\pi$.
Calcula la suma de los ángulos interiores de un octógono regular y expresa el valor de cada uno de sus ángulos interiores en radianes, utilizando fracciones de $\pi$.
Los tres ángulos de un triángulo están en progresión aritmética. Si se sabe que el ángulo mayor mide $80^\circ$, determina la medida de los tres ángulos expresada en…
Los tres ángulos de un triángulo están en progresión aritmética. Si se sabe que el ángulo mayor mide $80^\circ$, determina la medida de los tres ángulos expresada en radianes (utilizando fracciones de $\pi$).
Vueltas completas, ángulos negativos y cuadrantes
Igual que en grados, un ángulo en radianes puede superar $2\pi$ (más de una vuelta) o ser negativo (giro en sentido horario). Para saber dónde termina, suma o resta vueltas completas ($360^\circ$ o $2\pi$ rad) hasta dejarlo entre $0$ y $2\pi$ (o entre $0^\circ$ y $360^\circ$). Después ubicas el cuadrante.
Reduce los siguientes ángulos al primer giro (es decir, encuentra su ángulo equivalente entre $0^\circ$ y $360^\circ$) e indica en qué cuadrante se sitúa el lado final…
Reduce los siguientes ángulos al primer giro (es decir, encuentra su ángulo equivalente entre $0^\circ$ y $360^\circ$) e indica en qué cuadrante se sitúa el lado final de cada uno: $1250^\circ$ y $2460^\circ$.
Encuentra el ángulo positivo equivalente en la primera vuelta (comprendido entre $0$ y $2\pi$ rad) para los siguientes ángulos negativos: $-\frac{\pi}{4}$ y…
Encuentra el ángulo positivo equivalente en la primera vuelta (comprendido entre $0$ y $2\pi$ rad) para los siguientes ángulos negativos: $-\frac{\pi}{4}$ y $-\frac{13\pi}{6}$.
Longitud de arco y área de un sector circular
Aquí el radián muestra su utilidad: como $1$ rad es un arco igual al radio, la longitud de cualquier arco es el ángulo (en radianes) multiplicado por el radio, sin factores extra.
Calcula el ángulo central subtendido por un arco de $12$ cm de longitud en una circunferencia cuyo radio es de $4$ cm. Expresa el resultado tanto en radianes como en…
Calcula el ángulo central subtendido por un arco de $12$ cm de longitud en una circunferencia cuyo radio es de $4$ cm. Expresa el resultado tanto en radianes como en grados sexagesimales.
Determina la longitud del arco que describe el extremo inferior de un péndulo de $60$ cm de longitud cuando oscila un ángulo de $\frac{\pi}{8}$ radianes.
Determina la longitud del arco que describe el extremo inferior de un péndulo de $60$ cm de longitud cuando oscila un ángulo de $\frac{\pi}{8}$ radianes.
En una pista de atletismo circular, un corredor se desplaza por la calle interior manteniéndose a $50$ metros del centro. Si recorre una distancia de $120$ metros,…
En una pista de atletismo circular, un corredor se desplaza por la calle interior manteniéndose a $50$ metros del centro. Si recorre una distancia de $120$ metros, calcula el ángulo que ha descrito respecto al centro de la pista en radianes. Expresa también este resultado en grados, minutos y segundos.
Un aspersor de riego agrícola cubre un sector circular. El chorro de agua alcanza una distancia máxima de $18$ metros y la cabeza del aspersor barre un ángulo de…
Un aspersor de riego agrícola cubre un sector circular. El chorro de agua alcanza una distancia máxima de $18$ metros y la cabeza del aspersor barre un ángulo de $140^\circ$. Calcula el área total del terreno regado y la longitud del arco exterior que describe el agua.
Se tiene un sector circular inicial de radio $R$ y ángulo central $\alpha$ (en radianes). Se diseña un nuevo sector circular con el objetivo de que su área sea…
Se tiene un sector circular inicial de radio $R$ y ángulo central $\alpha$ (en radianes). Se diseña un nuevo sector circular con el objetivo de que su área sea exactamente igual a la del sector original. Si por restricciones de diseño el radio del nuevo sector debe ser el triple que el original ($3R$), determina algebraicamente qué fracción del ángulo $\alpha$ debe tener el nuevo sector.
Velocidad angular: cuántos radianes por segundo
Cuando algo gira (un disco, una rueda, el haz de un faro) interesa saber qué ángulo recorre por unidad de tiempo. Eso es la velocidad angular, y se mide en radianes por segundo.
Vuelve al principio: el borde del disco a $33$ rpm recorre $\dfrac{11\pi}{10}\approx3{,}46$ rad cada segundo.
Suma de una progresión geométrica con razón menor que 1
Si cada término es una fracción fija del anterior (razón $r$ con $0 Si dos poleas están unidas por una correa tensa, un punto de cada borde recorre el mismo arco. Como $s=r\theta$, se cumple $r_1\theta_1=r_2\theta_2$: la polea más grande gira un ángulo menor. Un disco de vinilo gira en un tocadiscos a una velocidad de $33$ revoluciones por minuto (rpm). Calcula su velocidad angular en radianes por segundo y determina el ángulo, en radianes, que describe un punto de su borde en $2,5$ segundos. El sistema de transmisión de una máquina industrial consta de dos poleas conectadas por una correa tensa. La polea motriz tiene un radio de $15$ cm y la polea conducida tiene un radio de $45$ cm. Si la polea motriz gira un ángulo de $\frac{7\pi}{2}$ radianes, calcula cuántos radianes gira la polea conducida y cuántas vueltas completas da. El radio de las ruedas de un automóvil es de $32$ cm. Si el vehículo viaja a una velocidad constante de $90$ km/h, calcula la velocidad angular de las ruedas expresada en radianes por segundo. Posteriormente, determina el ángulo total girado por una rueda en un trayecto de $15$ minutos y conviértelo a número de vueltas completas.Poleas unidas por una correa
Un disco de vinilo gira en un tocadiscos a una velocidad de $33$ revoluciones por minuto (rpm). Calcula su velocidad angular en radianes por segundo y determina el…
El sistema de transmisión de una máquina industrial consta de dos poleas conectadas por una correa tensa. La polea motriz tiene un radio de $15$ cm y la polea conducida…
El radio de las ruedas de un automóvil es de $32$ cm. Si el vehículo viaja a una velocidad constante de $90$ km/h, calcula la velocidad angular de las ruedas expresada…