Simetría de funciones: funciones pares e impares
Al mirar el cable de un puente colgante, como el del puente sobre el Lago de Maracaibo, notas que un lado es el reflejo del otro. Antes de graficar una función conviene preguntarse si tiene alguna simetría: si la tiene, basta con estudiar la mitad del gráfico. Pero la simetría no se decide "a ojo": se demuestra con una sustitución algebraica. En esta página aprenderás a hacerlo, y al final podrás responder: ¿por qué la parábola del cable de un puente colgante es simétrica respecto del eje $y$, y qué le pasa a una función si le sumamos una constante?
Simetría par: reflejo respecto del eje $y$
Dada la función polinómica $f(x) = 3x^2 - 5$, calcula el valor de $f(-x)$. A partir del resultado, indica si la función presenta simetría par, impar o ninguna.
Dada la función polinómica $f(x) = 3x^2 - 5$, calcula el valor de $f(-x)$. A partir del resultado, indica si la función presenta simetría par, impar o ninguna.
Considera la función afín $f(x) = 2x + 1$. Comprueba algebraicamente si cumple la condición de simetría par ($f(-x) = f(x)$) o la de simetría impar ($f(-x) = -f(x)$).
Considera la función afín $f(x) = 2x + 1$. Comprueba algebraicamente si cumple la condición de simetría par ($f(-x) = f(x)$) o la de simetría impar ($f(-x) = -f(x)$).
Simetría impar: respecto del origen
Dada la función $g(x) = -2x^3$, calcula la expresión de $g(-x)$. ¿Qué tipo de simetría tiene esta función?
Dada la función $g(x) = -2x^3$, calcula la expresión de $g(-x)$. ¿Qué tipo de simetría tiene esta función?
Sabiendo que $f(x)$ es una función impar y que está definida en el punto $x = 0$, ¿cuál debe ser obligatoriamente el valor de $f(0)$? Demuéstralo utilizando la…
Sabiendo que $f(x)$ es una función impar y que está definida en el punto $x = 0$, ¿cuál debe ser obligatoriamente el valor de $f(0)$? Demuéstralo utilizando la definición de función impar.
Funciones sin simetría
La mayoría de las funciones no son ni pares ni impares: basta con mezclar exponentes pares e impares, o tener un término constante distinto de cero junto con términos de exponente impar.
Seno y coseno: simetría en las funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas también se clasifican con $f(-x)$. En la circunferencia trigonométrica, el ángulo $-x$ está reflejado respecto del eje horizontal del ángulo $x$: tiene la misma abscisa y la ordenada opuesta.
Observa las gráficas de las funciones representadas en los paneles A y B. Indica qué tipo de simetría (par, impar o ninguna) presenta cada una de ellas, justificando tu…
Observa las gráficas de las funciones representadas en los paneles A y B. Indica qué tipo de simetría (par, impar o ninguna) presenta cada una de ellas, justificando tu respuesta en función de su forma visual.
Para qué sirve conocer la simetría
La siguiente gráfica muestra la variación de temperatura $T$ en un experimento químico en función del tiempo $t$, registrada a partir del instante $t = 0$. Si el modelo…
La siguiente gráfica muestra la variación de temperatura $T$ en un experimento químico en función del tiempo $t$, registrada a partir del instante $t = 0$. Si el modelo matemático $T(t)$ que rige este experimento es una función par en todo su dominio real, ¿cuál será la temperatura en el instante $t = -3$? Justifica tu respuesta.
Encuentra el valor que debe tomar el parámetro $k$ para que la función $f(x) = x^2 + kx + 5$ sea una función par. Justifica tu respuesta algebraicamente.
Encuentra el valor que debe tomar el parámetro $k$ para que la función $f(x) = x^2 + kx + 5$ sea una función par. Justifica tu respuesta algebraicamente.
Supón que existe una función $f(x)$ que es simultáneamente par e impar en todo su dominio. Plantea el sistema de ecuaciones que se deriva de las definiciones de ambas…
Supón que existe una función $f(x)$ que es simultáneamente par e impar en todo su dominio. Plantea el sistema de ecuaciones que se deriva de las definiciones de ambas simetrías y resuelve para encontrar cuál es la única función que cumple esta condición.
Simetría en funciones racionales
En una función racional, $f(-x)$ se calcula sustituyendo en numerador y denominador, cuidando el signo que aparece con cada potencia impar. Además, el dominio tiene que ser simétrico: si $x$ está en el dominio, $-x$ también.
Comprueba de forma algebraica el tipo de simetría que presenta la función racional $f(x) = \frac{5x}{x^2 + 2}$.
Comprueba de forma algebraica el tipo de simetría que presenta la función racional $f(x) = \frac{5x}{x^2 + 2}$.
El cable de un puente colgante adopta la forma de una parábola descrita por la ecuación $y = 0,05x^2 + 10$. Verifica algebraicamente si esta función presenta simetría…
El cable de un puente colgante adopta la forma de una parábola descrita por la ecuación $y = 0,05x^2 + 10$. Verifica algebraicamente si esta función presenta simetría par, impar o ninguna, e interpreta el resultado geométricamente.
La potencia generada por un aerogenerador se modeliza mediante la función $P(v) = \frac{v^3}{v^2 + 10}$, donde $v$ representa la velocidad del viento. Estudia…
La potencia generada por un aerogenerador se modeliza mediante la función $P(v) = \frac{v^3}{v^2 + 10}$, donde $v$ representa la velocidad del viento. Estudia analíticamente la simetría de $P(v)$. Si consideramos velocidades de viento negativas como viento soplando en dirección contraria, ¿qué significado físico tiene la simetría obtenida respecto a la potencia generada?
Un estudiante afirma que la función $f(x) = \frac{1}{x-2}$ es impar porque la $x$ del denominador está elevada a un exponente impar (1). ¿Es correcta esta afirmación?…
Un estudiante afirma que la función $f(x) = \frac{1}{x-2}$ es impar porque la $x$ del denominador está elevada a un exponente impar (1). ¿Es correcta esta afirmación? Demuéstralo o refútalo mediante un análisis algebraico.
Vuelve al principio: la parábola del cable del puente $y = 0{,}05x^2 + 10$ tiene solo exponentes pares, por eso es par y su gráfico es simétrico respecto del eje $y$; en cambio, sumarle una constante a una función impar le hace perder la simetría respecto del origen.