Variaciones
En los Juegos Deportivos Nacionales, en una carrera de $100\text{ m}$ participan 8 atletas venezolanos y se entregan tres medallas: oro, plata y bronce. ¿De cuántas formas distintas pueden quedar repartidas? No se ordenan los 8, solo se eligen 3 y se les asigna un puesto. A eso lo llamamos variación. Al final de la página volvemos a esta carrera.
Variaciones sin repetición
Para contar sin enumerar, razonamos por etapas: para el primer puesto hay $n$ opciones. Como ya no se puede repetir, para el segundo quedan $n-1$, y así sucesivamente.
Se multiplican exactamente $k$ factores decrecientes: nos detenemos antes de llegar a 1.
$$A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$$En una galería de arte se van a exponer $2$ cuadros seleccionados de una colección privada de $7$ obras. Uno se colocará en la pared izquierda de la sala y el otro en la…
En una galería de arte se van a exponer $2$ cuadros seleccionados de una colección privada de $7$ obras. Uno se colocará en la pared izquierda de la sala y el otro en la pared derecha. ¿De cuántas formas diferentes se puede organizar esta exposición?
Un club de lectura tiene $9$ miembros. Deben elegir una junta directiva formada por una presidencia, una vicepresidencia y una secretaría. Como los cargos son distintos…
Un club de lectura tiene $9$ miembros. Deben elegir una junta directiva formada por una presidencia, una vicepresidencia y una secretaría. Como los cargos son distintos y cada persona solo puede ocupar uno, ¿de cuántas formas puede formarse la junta?
En una carrera de $100\text{ m}$ lisos participan $8$ atletas. ¿De cuántas formas distintas se pueden repartir las medallas de oro, plata y bronce sabiendo que no puede…
En una carrera de $100\text{ m}$ lisos participan $8$ atletas. ¿De cuántas formas distintas se pueden repartir las medallas de oro, plata y bronce sabiendo que no puede haber empates?
Una empresa tiene $8$ empleados y debe asignar $5$ tareas diferentes a $5$ empleados distintos (una tarea por persona). Si se sabe que la primera tarea debe ser…
Una empresa tiene $8$ empleados y debe asignar $5$ tareas diferentes a $5$ empleados distintos (una tarea por persona). Si se sabe que la primera tarea debe ser realizada obligatoriamente por el empleado más veterano, ¿de cuántas formas se pueden repartir las tareas?
Variaciones con repetición
¿Y si un elemento puede aparecer más de una vez? Al tirar un dado 4 veces seguidas, el resultado de cada tirada no depende de las anteriores: el 6 puede salir las 4 veces. En cada etapa no se pierden opciones.
$$VR_{n,k} = n^k$$¿Por qué? Cada una de las $k$ posiciones tiene siempre las mismas $n$ opciones, porque nada se "gasta": es el principio de multiplicación con el mismo factor repetido $k$ veces.
Lanzamos un dado cúbico tradicional de $6$ caras $4$ veces consecutivas y anotamos el resultado de cada tirada por orden. ¿Cuántos resultados distintos podemos obtener…
Lanzamos un dado cúbico tradicional de $6$ caras $4$ veces consecutivas y anotamos el resultado de cada tirada por orden. ¿Cuántos resultados distintos podemos obtener en total?
Lanzamos una moneda al aire $6$ veces consecutivas y anotamos la secuencia exacta de caras y cruces obtenidas. ¿Cuántas secuencias distintas se pueden llegar a formar?
Lanzamos una moneda al aire $6$ veces consecutivas y anotamos la secuencia exacta de caras y cruces obtenidas. ¿Cuántas secuencias distintas se pueden llegar a formar?
Queremos pintar $3$ buzones alineados en una calle. Disponemos de $4$ colores distintos (rojo, verde, azul y amarillo). Si podemos repetir colores en distintos buzones,…
Queremos pintar $3$ buzones alineados en una calle. Disponemos de $4$ colores distintos (rojo, verde, azul y amarillo). Si podemos repetir colores en distintos buzones, ¿de cuántas formas diferentes podemos pintarlos?
Un examen tipo test consta de $5$ preguntas. Cada pregunta tiene $3$ opciones de respuesta (A, B y C) de las cuales solo se puede marcar una. Si un alumno responde a…
Un examen tipo test consta de $5$ preguntas. Cada pregunta tiene $3$ opciones de respuesta (A, B y C) de las cuales solo se puede marcar una. Si un alumno responde a todas las preguntas, ¿de cuántas formas distintas se puede rellenar el examen?
El sistema de matrículas de un país está formado por un bloque de $4$ dígitos (del $0$ al $9$) seguido de un bloque de $2$ letras elegidas de un alfabeto de $20$…
El sistema de matrículas de un país está formado por un bloque de $4$ dígitos (del $0$ al $9$) seguido de un bloque de $2$ letras elegidas de un alfabeto de $20$ consonantes. En ambos bloques se permite la repetición de caracteres. ¿Cuántas matrículas distintas se pueden emitir en total con este formato?
Sumar casos de distinta longitud
A veces la secuencia no tiene una longitud fija, sino "como máximo $k$" símbolos. Entonces se cuenta por separado cada longitud posible y se suman los resultados, porque una señal de 2 símbolos nunca es una señal de 3: son casos que no se superponen.
En el código Morse, las letras se representan mediante secuencias de puntos y rayas. ¿Cuántas señales distintas se pueden formar utilizando como máximo $3$ símbolos por…
En el código Morse, las letras se representan mediante secuencias de puntos y rayas. ¿Cuántas señales distintas se pueden formar utilizando como máximo $3$ símbolos por señal?
¿Variación, permutación o combinación?
Antes de usar una fórmula, responde dos preguntas: ¿se pueden repetir elementos? ¿importa el orden? Y si no se repiten: ¿se usan todos los elementos o solo una parte?
Cuando hay condiciones
Si una posición tiene una restricción, se cuenta primero esa posición y después las demás. Por ejemplo, para formar números pares con cifras distintas, se elige primero la última cifra (que debe ser par) y después las otras. Si el primer dígito no puede ser 0, se elige primero ese.
Cinco amigos van al cine y encuentran una fila con $4$ butacas libres consecutivas. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse para ver la película?
Cinco amigos van al cine y encuentran una fila con $4$ butacas libres consecutivas. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse para ver la película?
Utilizando los dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, ¿cuántos números pares de $3$ cifras se pueden formar si no está permitido repetir ninguna cifra en el mismo número?
Utilizando los dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, ¿cuántos números pares de $3$ cifras se pueden formar si no está permitido repetir ninguna cifra en el mismo número?
¿Cuántos números de $4$ cifras se pueden formar con los dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ (pudiendo repetir cifras) que sean estrictamente mayores que $3000$?
¿Cuántos números de $4$ cifras se pueden formar con los dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ (pudiendo repetir cifras) que sean estrictamente mayores que $3000$?
¿Cuántos números de $4$ cifras distintas se pueden formar utilizando únicamente los dígitos $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$? Ten en cuenta que, por definición, un número válido…
¿Cuántos números de $4$ cifras distintas se pueden formar utilizando únicamente los dígitos $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$? Ten en cuenta que, por definición, un número válido no puede empezar por la cifra $0$.
Para acceder a una base de datos segura se requiere una contraseña de $5$ caracteres. Por seguridad, el sistema exige que los dos primeros caracteres sean vocales (se…
Para acceder a una base de datos segura se requiere una contraseña de $5$ caracteres. Por seguridad, el sistema exige que los dos primeros caracteres sean vocales (se permite que se repitan) y los tres últimos caracteres deben ser números del $0$ al $9$ (sin que ninguno se repita). ¿Cuántas contraseñas distintas cumplen este formato?
Ecuaciones con variaciones
En los problemas inversos se conoce el resultado y hay que hallar $n$. Se desarrolla la fórmula, se plantea la ecuación y se resuelve, por ejemplo con la resolvente.
En una liga de béisbol con $n$ equipos que se enfrentan todos contra todos en casa y de visitante, cada partido es un par ordenado (local, visitante), así que el total es $V_{n,2}=n(n-1)$.
La otra ecuación típica compara dos conteos: si $VR_{n,2}=n^2$ supera en 10 a $V_{n,2}$, se plantea $n^2 - n(n-1) = 10$, que se simplifica a $n = 10$.
En una liga de baloncesto participan $14$ equipos. Cada equipo debe jugar contra todos los demás dos veces a lo largo del año (un partido en casa y otro como visitante).…
En una liga de baloncesto participan $14$ equipos. Cada equipo debe jugar contra todos los demás dos veces a lo largo del año (un partido en casa y otro como visitante). ¿Cuántos partidos se jugarán en total durante toda la temporada?
En un torneo de ajedrez se juega a doble vuelta (cada jugador se enfrenta a todos los demás dos veces, alternando el color de las piezas). Si se sabe que en total se han…
En un torneo de ajedrez se juega a doble vuelta (cada jugador se enfrenta a todos los demás dos veces, alternando el color de las piezas). Si se sabe que en total se han disputado $90$ partidas, plantea la ecuación correspondiente utilizando la fórmula de las variaciones y halla cuántos jugadores participaron en el torneo.
Sabiendo que el número de variaciones con repetición de $x$ elementos tomados de $2$ en $2$ excede en $12$ al número de variaciones sin repetición de los mismos $x$…
Sabiendo que el número de variaciones con repetición de $x$ elementos tomados de $2$ en $2$ excede en $12$ al número de variaciones sin repetición de los mismos $x$ elementos tomados de $2$ en $2$, plantea la ecuación matemática correspondiente y halla el valor de $x$.
Problemas combinados
Muchos problemas mezclan casos: se descompone en posiciones o etapas y se multiplica. Cada etapa puede ser una variación con o sin repetición, o una elección con una condición.
Opciones que dependen de la posición anterior
A veces la única condición es que dos posiciones vecinas no coincidan. Entonces la primera tiene todas las opciones y cada una de las siguientes tiene una menos que el total, porque solo se descarta lo que se usó en la posición anterior.
Grupo con lugares fijos
Si una parte del grupo debe ocupar lugares determinados, se cuenta aparte esa parte y luego el resto, y se multiplica.
En informática, un byte es una secuencia de $8$ bits (donde cada bit puede ser un $0$ o un $1$). ¿Cuántos bytes diferentes existen que comiencen exactamente por la…
En informática, un byte es una secuencia de $8$ bits (donde cada bit puede ser un $0$ o un $1$). ¿Cuántos bytes diferentes existen que comiencen exactamente por la secuencia $10$?
Un candado de seguridad para bicicletas tiene $3$ ruedas independientes, cada una numerada del $0$ al $9$. Calcula la diferencia entre el número total de combinaciones…
Un candado de seguridad para bicicletas tiene $3$ ruedas independientes, cada una numerada del $0$ al $9$. Calcula la diferencia entre el número total de combinaciones posibles (permitiendo repetición) y el número de combinaciones en las que los tres dígitos deben ser estrictamente distintos.
Un número capicúa es aquel que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda (por ejemplo, $35853$). ¿Cuántos números capicúas de $5$ cifras se pueden…
Un número capicúa es aquel que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda (por ejemplo, $35853$). ¿Cuántos números capicúas de $5$ cifras se pueden formar utilizando únicamente los dígitos del $1$ al $9$?
Una clase está formada por $6$ chicos y $5$ chicas. Se quiere elegir un comité compuesto por presidencia, vicepresidencia y secretaría. La presidencia debe ocuparla…
Una clase está formada por $6$ chicos y $5$ chicas. Se quiere elegir un comité compuesto por presidencia, vicepresidencia y secretaría. La presidencia debe ocuparla obligatoriamente una chica, la vicepresidencia un chico, y la secretaría puede ocuparla cualquiera de los alumnos restantes. ¿De cuántas formas se puede elegir el comité?
Se quiere diseñar una bandera con $4$ franjas verticales. Se dispone de $5$ colores distintos. ¿De cuántas formas se puede colorear la bandera si la única condición es…
Se quiere diseñar una bandera con $4$ franjas verticales. Se dispone de $5$ colores distintos. ¿De cuántas formas se puede colorear la bandera si la única condición es que dos franjas adyacentes (juntas) no pueden tener el mismo color?
Cinco personas suben a un vagón de tren en el que hay $8$ asientos libres. Dos de estas personas son pareja y quieren sentarse obligatoriamente en un par de asientos…
Cinco personas suben a un vagón de tren en el que hay $8$ asientos libres. Dos de estas personas son pareja y quieren sentarse obligatoriamente en un par de asientos contiguos específicos que están junto a la ventana. Sabiendo que a la pareja le importa quién se sienta en la ventana y quién en el pasillo, ¿de cuántas formas distintas pueden ocupar los asientos las cinco personas?
Vuelta al principio: las medallas de la carrera de 8 atletas se pueden repartir de $V_{8,3} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ formas.