Ecuación de continuidad y principio de Bernoulli
Abres la llave del lavamanos y el chorro sale grueso y lento. Si tapas parte de la salida con el dedo, el agua sale rápida y fina, aunque la llave siga abierta igual. ¿Por qué el agua acelera cuando le dejas menos espacio? Y en una casa de varios pisos, ¿por qué el agua sale con menos fuerza en el piso más alto? En esta página lo vas a explicar con dos ideas: la continuidad y Bernoulli.
Caudal: cuánto fluido pasa por segundo
Piensa en el tubo de una manguera. Si llenas un balde de 20 L en 10 s, por la manguera pasan 2 L cada segundo. Esa cantidad se llama caudal.
Hay otra forma de calcularlo. Imagina que el agua avanza con rapidez $v$ por un tubo de sección $A$. En un tiempo $t$ recorre una distancia $v\cdot t$, así que el volumen que pasó es un cilindro de base $A$ y largo $v\cdot t$:
$$V = A\cdot v\cdot t \quad\Rightarrow\quad Q = A\,v$$Como $A$ es el área de un círculo si la tubería es redonda: $A = \pi r^2 = \pi d^2/4$.
Por una tubería circula agua y se sabe que en $5{,}0\ \text{s}$ pasan por una sección $20\ \text{L}$ de líquido. Calcula el caudal en $\text{L/s}$ y exprésalo también en…
Por una tubería circula agua y se sabe que en $5{,}0\ \text{s}$ pasan por una sección $20\ \text{L}$ de líquido. Calcula el caudal en $\text{L/s}$ y exprésalo también en $\text{m}^3/\text{s}$. Recuerda que $1\ \text{m}^3 = 1.000\ \text{L}$.
Una manguera de jardín tiene una sección de $2{,}0\times10^{-4}\ \text{m}^2$ y el agua circula por ella con una velocidad de $1{,}5\ \text{m/s}$. Calcula el caudal que…
Una manguera de jardín tiene una sección de $2{,}0\times10^{-4}\ \text{m}^2$ y el agua circula por ella con una velocidad de $1{,}5\ \text{m/s}$. Calcula el caudal que sale de la manguera en $\text{m}^3/\text{s}$, usando la relación $Q = A\,v$.
Ecuación de continuidad
Un fluido incompresible (como el agua) no se puede comprimir: su volumen no cambia. Si una tubería no tiene fugas ni derivaciones, todo el volumen que entra por un extremo tiene que salir por el otro en el mismo tiempo. Por eso el caudal es el mismo en todas las secciones.
Es lo que pasa con tu dedo en la llave: al reducir $A$, sube $v$ para mantener el caudal.
Enuncia con tus palabras la ecuación de continuidad para un fluido incompresible que circula por una tubería de sección variable. Indica qué ocurre con la velocidad del…
Enuncia con tus palabras la ecuación de continuidad para un fluido incompresible que circula por una tubería de sección variable. Indica qué ocurre con la velocidad del fluido cuando la tubería se estrecha y explica por qué.
Una tubería horizontal de agua tiene un tramo ancho de diámetro $10\ \text{cm}$ y otro estrecho de diámetro $5{,}0\ \text{cm}$. En el tramo ancho el agua se mueve a…
Una tubería horizontal de agua tiene un tramo ancho de diámetro $10\ \text{cm}$ y otro estrecho de diámetro $5{,}0\ \text{cm}$. En el tramo ancho el agua se mueve a $1{,}0\ \text{m/s}$.
- a) Calcula la velocidad del agua en el tramo estrecho.
- b) Calcula el caudal en $\text{L/s}$. Usa $\pi \approx 3{,}14$.
Principio de Bernoulli
Ahora la presión. Para que el agua acelere al entrar en el tramo estrecho, tiene que empujarla más la presión de atrás que la de adelante. Entonces, donde el fluido va más rápido, la presión es menor.
Esto es conservación de la energía aplicada al fluido ideal (sin viscosidad ni roce), en flujo estacionario. Cada unidad de volumen tiene tres tipos de energía: por la presión, por el movimiento y por la altura.
Para una tubería horizontal ($h_1 = h_2$) los términos de altura se cancelan:
$$p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2$$Por una tubería horizontal circula agua, de densidad $1.000\ \text{kg/m}^3$. En un punto A la velocidad es $2{,}0\ \text{m/s}$ y la presión es $150.000\ \text{Pa}$. En…
Por una tubería horizontal circula agua, de densidad $1.000\ \text{kg/m}^3$. En un punto A la velocidad es $2{,}0\ \text{m/s}$ y la presión es $150.000\ \text{Pa}$. En un punto B, más estrecho, la velocidad es $4{,}0\ \text{m/s}$.
Aplica el principio de Bernoulli para calcular la presión en B y explica si es mayor o menor que en A, y por qué.
Bernoulli con alturas
Cuando el agua sube o baja, entra el término $\rho g h$. Un caso muy útil es un tanque abierto con una salida abajo. Tomas el punto 1 en la superficie (presión atmosférica, $v_1\approx 0$) y el punto 2 en la salida (también a presión atmosférica). Las presiones se cancelan y queda:
$$\rho g h = \tfrac12\rho v^2 \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{2\,g\,h}$$Es la rapidez de Torricelli: la misma que adquiere un cuerpo en caída libre desde la altura $h$. Mira que la masa y la densidad no aparecen.
En una tubería que sube, si la rapidez y la presión de entrada se conocen, la presión de salida baja por dos razones: se gana altura y puede cambiar la rapidez. Por eso en el piso más alto de un edificio llega el agua con menos presión.
Un tanque de agua abierto a la atmósfera, ubicado en la azotea de un edificio en Valencia, alimenta una tubería. La superficie del agua en el tanque está $12\ \text{m}$…
Un tanque de agua abierto a la atmósfera, ubicado en la azotea de un edificio en Valencia, alimenta una tubería. La superficie del agua en el tanque está $12\ \text{m}$ por encima de una llave que se abre en la planta baja. Considera el agua como fluido ideal, que la velocidad en la superficie del tanque es despreciable y $g = 10\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcula la velocidad con la que sale el agua por la llave.
- b) Indica qué ocurriría con esa velocidad si la altura se redujera a la mitad, sin repetir todo el cálculo: razona con la expresión obtenida.
Una tubería de agua sube desde un sótano hasta un tercer piso. En el sótano (punto 1) el diámetro es $8{,}0\ \text{cm}$, la velocidad es $1{,}0\ \text{m/s}$ y la presión…
Una tubería de agua sube desde un sótano hasta un tercer piso. En el sótano (punto 1) el diámetro es $8{,}0\ \text{cm}$, la velocidad es $1{,}0\ \text{m/s}$ y la presión es $300.000\ \text{Pa}$. En el tercer piso (punto 2), a $9{,}0\ \text{m}$ de altura sobre el sótano, el diámetro es $4{,}0\ \text{cm}$. Toma $\rho = 1.000\ \text{kg/m}^3$ y $g = 10\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcula la velocidad del agua en el punto 2 con la ecuación de continuidad.
- b) Calcula la presión en el punto 2 con la ecuación de Bernoulli.
- c) Analiza cuál de los tres términos (presión, energía cinética o energía potencial por unidad de volumen) cambia más al pasar del punto 1 al 2 y qué implica para la presión.
Aplicaciones de Bernoulli
Con la idea «más rápido, menos presión» se explican muchas situaciones:
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El tubo que sopla. Si soplas por encima de un tubo metido en un vaso con jugo, el aire rápido en la punta tiene menor presión. La presión atmosférica sobre el jugo del vaso es mayor y empuja el líquido por el tubo. Así funcionan los atomizadores y los pulverizadores.
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Techos en un vendaval. El aire rápido por encima del techo baja la presión, y el aire quieto de adentro empuja el techo hacia arriba.
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Alas de avión. El aire que pasa por arriba del ala va más rápido y tiene menos presión que por debajo: aparece una fuerza hacia arriba.
En el caso del tubo, la diferencia de presión entre el aire en reposo (punto 1) y el aire que sopla a rapidez $v$ (punto 2), sin diferencia de altura, es:
$$\Delta p = p_1 - p_2 = \tfrac12\rho_{aire}\,v^2$$Un estudiante de 4.° año sopla aire por encima del extremo de un tubo vertical sumergido en un vaso con jugo y observa que el líquido sube por el tubo. Otro compañero…
Un estudiante de 4.° año sopla aire por encima del extremo de un tubo vertical sumergido en un vaso con jugo y observa que el líquido sube por el tubo. Otro compañero afirma: «el aire que se mueve rápido empuja el jugo hacia arriba». Argumenta, usando el principio de Bernoulli, si esa afirmación es correcta o no y cuál es la explicación adecuada.
Después, estima la diferencia de presión entre la superficie del jugo en el vaso (aire en reposo) y el extremo del tubo, si el aire sopla allí a $10\ \text{m/s}$. Usa para el aire una densidad de $1{,}2\ \text{kg/m}^3$ y desprecia la diferencia de altura.