Medida del volumen
En tu casa en Maracaibo el agua del tanque se mide en metros cúbicos, pero en la nevera tienes una botella de 2 litros. ¿Cuántas botellas de esas hacen falta para llenar 2 metros cúbicos? Para contestar tienes que saber cómo se relacionan las unidades de volumen.
La escalera de las unidades de volumen
El volumen se mide en unidades cúbicas: $1\ \text{cm}^3$ es el espacio que ocupa un cubito de 1 cm de arista. En longitud, cada unidad es 10 veces la siguiente. En volumen, cada unidad es 1.000 veces la siguiente, porque $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1.000$.
Después del $\text{dm}^3$ siguen el $\text{cm}^3$ y el $\text{mm}^3$, con el mismo salto de 1.000.
En el Sistema Internacional de Unidades (SI) la unidad de volumen es el metro cúbico ($\text{m}^3$). El $\text{dm}^3$ y el $\text{cm}^3$ son sus submúltiplos, y el litro (L) es la unidad de capacidad que se usa en la vida diaria: $1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3$.
Observa la escalera de unidades de volumen de la figura. a) ¿Por qué número se multiplica al bajar un peldaño? ¿Y por cuál se divide al subirlo? b) Usando la escalera,…
Observa la escalera de unidades de volumen de la figura.
a) ¿Por qué número se multiplica al bajar un peldaño? ¿Y por cuál se divide al subirlo?
b) Usando la escalera, expresa $2,4\ \text{m}^3$ en decímetros cúbicos y en centímetros cúbicos.
Convierte a las unidades indicadas: a) $3\ \text{m}^3$ a decímetros cúbicos. b) $4\,500\ \text{dm}^3$ a metros cúbicos. c) $0,75\ \text{dm}^3$ a centímetros cúbicos.
Convierte a las unidades indicadas:
a) $3\ \text{m}^3$ a decímetros cúbicos.
b) $4\,500\ \text{dm}^3$ a metros cúbicos.
c) $0,75\ \text{dm}^3$ a centímetros cúbicos.
Al convertir $2,5\ \text{m}^3$ a centímetros cúbicos, Mihai escribe en su cuaderno: $2,5\ \text{m}^3 = 2,5 \cdot 1\,000 = 2\,500\ \text{cm}^3$. a) Explica el error que…
Al convertir $2,5\ \text{m}^3$ a centímetros cúbicos, Mihai escribe en su cuaderno: $2,5\ \text{m}^3 = 2,5 \cdot 1\,000 = 2\,500\ \text{cm}^3$.
a) Explica el error que ha cometido.
b) Realiza la conversión correcta.
c) ¿Cuántos litros son $2,5\ \text{m}^3$?
Elegir la unidad adecuada
Cada unidad sirve para objetos de cierto tamaño. Para elegir bien, piensa en algo conocido: un terrón de azúcar ocupa cerca de $1\ \text{cm}^3$, una caja de zapatos unos $10\ \text{dm}^3$, una habitación unos $30\ \text{m}^3$.
| Objeto | Unidad razonable |
|---|---|
| Una gota, un dado | $\text{cm}^3$ |
| Una botella, un morral | $\text{dm}^3$ (o litros) |
| Una habitación, una piscina | $\text{m}^3$ |
| Un embalse, la represa de Guri | $\text{hm}^3$ o $\text{km}^3$ |
¿En qué unidad expresarías el volumen de cada uno de estos objetos? Elige entre $\text{cm}^3$, $\text{dm}^3$, $\text{m}^3$ y $\text{hm}^3$, y justifica tu elección: a)…
¿En qué unidad expresarías el volumen de cada uno de estos objetos? Elige entre $\text{cm}^3$, $\text{dm}^3$, $\text{m}^3$ y $\text{hm}^3$, y justifica tu elección:
a) Un terrón de azúcar.
b) Un morral.
c) El agua de un embalse.
d) Una piscina pública.
De los tres valores propuestos para cada volumen, solo uno es razonable. Elígelo y justifica tu respuesta: a) Una lata de refresco: $3,3\ \text{cm}^3$,…
De los tres valores propuestos para cada volumen, solo uno es razonable. Elígelo y justifica tu respuesta:
a) Una lata de refresco: $3,3\ \text{cm}^3$, $330\ \text{cm}^3$ o $3,3\ \text{dm}^3$.
b) Una lavadora: $55\ \text{dm}^3$, $250\ \text{dm}^3$ o $2,5\ \text{m}^3$.
c) Un vaso de agua: $25$ ml, $250$ ml o $2,5$ l.
Volumen y capacidad
La capacidad mide cuánto líquido cabe en un recipiente y se expresa en litros. Volumen y capacidad son la misma idea con distintas unidades.
Con esto, $1\ \text{m}^3 = 1.000\ \text{dm}^3 = 1.000$ litros.
Volumen de prismas y cilindros
El volumen de un prisma rectangular es el área de la base por la altura: $V = \text{largo} \cdot \text{ancho} \cdot \text{alto}$. Cada capa de 1 unidad de altura tiene tantos cubitos como unidades cuadradas de base, y se apilan tantas capas como indica la altura.
El volumen de un cilindro se calcula igual, con la base circular: $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$, donde $r$ es el radio (la mitad del diámetro) y $h$ la altura.
Y también: $1\ \text{L} = 1.000\ \text{ml}$.
Otra unidad de capacidad es el hectolitro: $1\ \text{hl} = 100$ litros $= 100\ \text{dm}^3$. Para pasar de litros a hectolitros, divides entre 100. Por ejemplo, $2.500$ litros son $25\ \text{hl}$.
Cuando las cantidades son muy grandes, conviene escribirlas en notación científica, con potencias de 10. Por ejemplo, $3\ \text{hm}^3 = 3.000.000\ \text{m}^3 = 3.000.000.000$ litros $= 3 \cdot 10^9$ litros. Se escribe un número entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de 10: el exponente es la cantidad de lugares que corriste la coma.
Completa en tu cuaderno: a) $75\ \text{l} =$ $\text{dm}^3$ b) $2\,500\ \text{cm}^3 =$ litros c) $0,5\ \text{m}^3 =$ litros
Completa en tu cuaderno:
a) $75\ \text{l} =$ ____ $\text{dm}^3$
b) $2\,500\ \text{cm}^3 =$ ____ litros
c) $0,5\ \text{m}^3 =$ ____ litros
Un depósito de agua tiene un volumen de $2,5\ \text{m}^3$. ¿Cuántos litros de agua caben en él? ¿Cuántas garrafas de $5$ litros se podrían llenar?
Un depósito de agua tiene un volumen de $2,5\ \text{m}^3$. ¿Cuántos litros de agua caben en él? ¿Cuántas garrafas de $5$ litros se podrían llenar?
Un depósito contiene $1,2\ \text{m}^3$ de agua. ¿Cuántas botellas de $750$ ml se pueden llenar con ella?
Un depósito contiene $1,2\ \text{m}^3$ de agua. ¿Cuántas botellas de $750$ ml se pueden llenar con ella?
Expresar un volumen en varias unidades
A veces un volumen se escribe repartido en varias unidades, como $3\ \text{m}^3\ 450\ \text{dm}^3$. Para que quede bien escrito, cada parte (salvo la primera) tiene que ser un número de 0 a 999, porque 1.000 de una unidad ya forman una unidad mayor.
Expresa en decímetros cúbicos: $3\ \text{m}^3\ 450\ \text{dm}^3\ 25\ \text{cm}^3$.
Expresa en decímetros cúbicos: $3\ \text{m}^3\ 450\ \text{dm}^3\ 25\ \text{cm}^3$.
Expresa en forma compleja: $12\,345\,678\ \text{mm}^3$.
Expresa en forma compleja: $12\,345\,678\ \text{mm}^3$.
Expresa en metros cúbicos y calcula: $2\ \text{dam}^3\ 15\ \text{m}^3 + 840\ \text{m}^3\ 250\ \text{dm}^3$. Expresa el resultado también en hectolitros.
Expresa en metros cúbicos y calcula: $2\ \text{dam}^3\ 15\ \text{m}^3 + 840\ \text{m}^3\ 250\ \text{dm}^3$. Expresa el resultado también en hectolitros.
Una comunidad de regantes consume en una semana $1\ \text{dam}^3\ 260\ \text{m}^3$ de agua. a) Expresa esa cantidad en litros. b) Si el consumo se reparte por igual…
Una comunidad de regantes consume en una semana $1\ \text{dam}^3\ 260\ \text{m}^3$ de agua.
a) Expresa esa cantidad en litros.
b) Si el consumo se reparte por igual entre los $7$ días de la semana, ¿cuántos litros se consumen al día?
c) Expresa el consumo diario en metros cúbicos.
Un embalse tiene una capacidad de $0,45\ \text{km}^3$. Tras un año de sequía está al $62\%$ de su capacidad. a) ¿Cuántos hectómetros cúbicos de agua contiene? b)…
Un embalse tiene una capacidad de $0,45\ \text{km}^3$. Tras un año de sequía está al $62\%$ de su capacidad.
a) ¿Cuántos hectómetros cúbicos de agua contiene?
b) ¿Cuántos litros son? Expresa el resultado en notación científica.
c) ¿Cuántos hectómetros cúbicos faltan para llenarlo por completo?
Volumen, capacidad y masa
El agua tiene una propiedad muy útil: 1 litro de agua pesa 1 kg, es decir, $1\ \text{dm}^3$ de agua tiene una masa de $1\ \text{kg}$ y $1\ \text{cm}^3$ de agua, $1\ \text{g}$.
Cuando un objeto se sumerge del todo en agua, el nivel sube tanto como su propio volumen. Así, según la leyenda, Arquímedes midió el volumen de objetos irregulares.
La densidad dice cuánta masa hay en cada unidad de volumen: $\text{densidad} = \dfrac{\text{masa}}{\text{volumen}}$. Por eso $\text{masa} = \text{densidad} \cdot \text{volumen}$. Si la densidad de un material es menor que la del agua ($1\ \text{kg/dm}^3$), flota; si es mayor, se hunde.
Las unidades de masa también se convierten: $1\ \text{kg} = 1.000\ \text{g}$ y $1\ \text{tonelada} = 1.000\ \text{kg}$. Por ejemplo, $1{,}5$ toneladas son $1.500$ kg, y $750\ \text{g} = 0{,}75$ kg.
Un depósito vacío pesa $12$ kg y, lleno de gasoil, pesa $522$ kg. Si la densidad del gasoil es $0,85\ \text{kg/dm}^3$, ¿cuántos litros de gasoil contiene el depósito?
Un depósito vacío pesa $12$ kg y, lleno de gasoil, pesa $522$ kg. Si la densidad del gasoil es $0,85\ \text{kg/dm}^3$, ¿cuántos litros de gasoil contiene el depósito?
Para medir el volumen de una piedra, la sumergimos en un vaso cilíndrico con agua, como se muestra en la figura. El diámetro interior del vaso es $8$ cm y el nivel del…
Para medir el volumen de una piedra, la sumergimos en un vaso cilíndrico con agua, como se muestra en la figura. El diámetro interior del vaso es $8$ cm y el nivel del agua sube de $5$ cm a $8$ cm.
a) ¿Cuánto ha subido el nivel del agua?
b) Calcula el volumen de la piedra en centímetros cúbicos (toma $\pi \approx 3,14$).
Un bloque de corcho tiene un volumen de $25\ \text{dm}^3$ y una densidad de $0,24\ \text{kg/dm}^3$. a) ¿Cuál es su masa? b) ¿Flotará en agua? Razona la respuesta…
Un bloque de corcho tiene un volumen de $25\ \text{dm}^3$ y una densidad de $0,24\ \text{kg/dm}^3$.
a) ¿Cuál es su masa?
b) ¿Flotará en agua? Razona la respuesta comparando las densidades.
c) ¿Qué volumen de corcho se necesitaría para tener una masa de $30$ kg?
Vuelve al principio: $2\ \text{m}^3 = 2.000$ litros, así que hacen falta $2.000 \div 2 = 1.000$ botellas de 2 litros.