Polinomios
En la feria de ciencias del liceo, el grupo de Valentina lanza un cohete de agua desde una plataforma. Su altura en metros, pasados $t$ segundos, es $h(t) = -5t^2 + 25t + 2$. Con una sola fórmula sabes a qué altura está en cualquier instante. ¿Cómo se trabaja con una fórmula así? De eso trata este apartado.
Qué es un polinomio
Un monomio es un producto de un número (el coeficiente) por una o más letras con exponentes naturales (la parte literal). Su grado es la suma de los exponentes de las letras: $-7x^4$ tiene grado $4$, $\frac{2}{3}ab^2$ tiene grado $3$ y el número $5$ tiene grado $0$.
$$P(x) = -5x^4 + \frac{2}{3}x^2 - x + 9$$-
Grado del polinomio: el mayor grado de sus términos (aquí, $4$).
-
Coeficiente principal: el del término de mayor grado ($-5$).
-
Término independiente: el que no lleva $x$ ($9$).
-
Según la cantidad de términos: monomio (1), binomio (2), trinomio (3).
Un polinomio está completo si tiene todos los grados desde el mayor hasta el término independiente. Si falta alguno, es incompleto: $x^3 - 4$ no tiene término de grado $2$ ni de grado $1$. Para operar en columnas conviene completarlo con coeficientes $0$: $x^3 + 0x^2 + 0x - 4$.
Copia y completa la siguiente tabla en tu cuaderno para identificar los elementos fundamentales de estos monomios: | Monomio | Coeficiente | Parte Literal | Grado | |…
Copia y completa la siguiente tabla en tu cuaderno para identificar los elementos fundamentales de estos monomios:
| Monomio | Coeficiente | Parte Literal | Grado |
|---|---|---|---|
| $-7x^4$ | |||
| $\frac{2}{3}ab^2$ | |||
| $xyz$ | |||
| $5$ |
Analiza el siguiente polinomio y responde a las preguntas: $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 8$ a) ¿Cuál es el grado del polinomio? b) ¿Cómo se llama el término que no tiene…
Analiza el siguiente polinomio y responde a las preguntas:
$P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 8$
- a) ¿Cuál es el grado del polinomio?
- b) ¿Cómo se llama el término que no tiene variable (el $-8$)?
- c) ¿Cuántos términos tiene? Según el número de términos, ¿es un monomio, binomio o trinomio?
- d) ¿Cuál es el coeficiente del término de mayor grado?
Valor numérico de un polinomio
El valor numérico de $P(x)$ en $x = a$ se escribe $P(a)$: reemplazas $x$ por $a$ (entre paréntesis) y operas respetando la jerarquía: primero potencias, después productos, al final sumas y restas.
Prueba con el gráfico: mueves $x$ y miras cuánto vale el polinomio.
Un repartidor de pizzas cobra un sueldo fijo de $15$ dólares por cada tarde de trabajo, más un extra de $3$ dólares por cada pedido entregado a domicilio. La expresión…
Un repartidor de pizzas cobra un sueldo fijo de $15$ dólares por cada tarde de trabajo, más un extra de $3$ dólares por cada pedido entregado a domicilio. La expresión que calcula su ganancia es $G = 15 + 3x$, donde $x$ es el número de pedidos.
Calcula el valor numérico de su ganancia (lo que cobrará en total) si una tarde logra repartir $8$ pedidos.
Dado el siguiente polinomio: $P(x) = -5x^4 + \frac{2}{3}x^2 - x + 9$ Indica razonadamente los siguientes elementos: a) El grado del polinomio. b) El coeficiente del…
Dado el siguiente polinomio:
$P(x) = -5x^4 + \frac{2}{3}x^2 - x + 9$
Indica razonadamente los siguientes elementos:
- a) El grado del polinomio.
- b) El coeficiente del término de grado 2.
- c) El término independiente.
- d) El valor numérico de $P(x)$ para $x = -1$.
Raíces de un polinomio
Si un polinomio tiene un coeficiente desconocido y te dicen que $a$ es raíz, reemplazas $x$ por $a$, igualas a $0$ y resuelves la ecuación operando en ambos lados.
Dado el polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 5x - 6$, determina el valor del coeficiente $k$ sabiendo que el valor numérico del polinomio para $x = 2$ es igual a cero ($x = 2$…
Dado el polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 5x - 6$, determina el valor del coeficiente $k$ sabiendo que el valor numérico del polinomio para $x = 2$ es igual a cero ($x = 2$ es una raíz del polinomio). Una vez hallado $k$, calcula el valor numérico de $P(x)$ para $x = -1$.
Polinomios en problemas
Precios, áreas o trayectorias se describen con un polinomio, y la respuesta suele ser un valor numérico.
Si el polinomio tiene un parámetro (como el costo fijo $G$), primero se sustituye el valor dado y luego se evalúa. Si cambia un coeficiente (por ejemplo, el precio por kilogramo se duplica), se reescribe el polinomio con el nuevo coeficiente.
En el mundo de los videojuegos, el sistema de puntuación de un nuevo título de plataformas funciona de la siguiente manera: por cada moneda de oro recogida recibes una…
En el mundo de los videojuegos, el sistema de puntuación de un nuevo título de plataformas funciona de la siguiente manera: por cada moneda de oro recogida recibes una cantidad de puntos desconocida $x$, pero por cada enemigo derrotado recibes el triple de puntos que por una moneda. Al finalizar el nivel, siempre te dan un bono fijo de $50$ puntos de experiencia.
Escribe la expresión algebraica que representa la puntuación total de un jugador que ha conseguido $12$ monedas y ha derrotado a $4$ enemigos.
Se lanza un pequeño cohete de agua desde una plataforma. La altura $h$ (en metros) a la que se encuentra el cohete en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por…
Se lanza un pequeño cohete de agua desde una plataforma. La altura $h$ (en metros) a la que se encuentra el cohete en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por el polinomio:
$h(t) = -5t^2 + 25t + 2$
- a) ¿A qué altura se encuentra la plataforma de lanzamiento? (Pista: calcula $h(0)$).
- b) ¿A qué altura estará el cohete a los 2 segundos de ser lanzado?
- c) ¿Estará el cohete más alto a los 3 segundos o a los 4 segundos? Justifica tu respuesta calculando los valores numéricos correspondientes.
Suma y resta de polinomios
Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal (las mismas letras con los mismos exponentes). $5x^2y$, $-x^2y$ y $\frac{1}{2}x^2y$ son semejantes entre sí; $5xy^2$ no, porque los exponentes están cambiados.
Solo se pueden sumar o restar términos semejantes: se suman los coeficientes y se deja la misma parte literal. Es la propiedad distributiva al revés: $3x^2 + 2x^2 = (3 + 2)x^2 = 5x^2$.
Para restar, el signo menos delante del paréntesis cambia el signo de todos los términos de adentro: es el opuesto del polinomio.
Para poder sumar o restar monomios, estos deben ser semejantes. Selecciona de la siguiente lista cuáles son semejantes al monomio $5x^2y$: $5xy^2$ $-x^2y$ $2x^2$…
Para poder sumar o restar monomios, estos deben ser semejantes. Selecciona de la siguiente lista cuáles son semejantes al monomio $5x^2y$:
-
$5xy^2$
-
$-x^2y$
-
$2x^2$
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$\frac{1}{2}x^2y$
-
$5x^2y^2$
Dados los siguientes polinomios, realiza la suma $A(x) + B(x)$ y reduce los términos semejantes: $A(x) = 4x^2 - 5x + 3$ $B(x) = x^2 + 2x - 7$
Dados los siguientes polinomios, realiza la suma $A(x) + B(x)$ y reduce los términos semejantes:
$A(x) = 4x^2 - 5x + 3$
$B(x) = x^2 + 2x - 7$
Realiza las siguientes operaciones con polinomios y reduce el resultado final: a) $(4x^3 - 5x^2 + x - 7) + (x^3 + 2x^2 - 10)$ b) $(3x^2 - 6x + 2) - (x^2 - 4x - 5)$ c)…
Realiza las siguientes operaciones con polinomios y reduce el resultado final:
- a) $(4x^3 - 5x^2 + x - 7) + (x^3 + 2x^2 - 10)$
- b) $(3x^2 - 6x + 2) - (x^2 - 4x - 5)$
- c) $2 \cdot (x^3 - 3x + 1) + 4 \cdot (x^2 - 2)$
Multiplicación de polinomios
Para multiplicar se usa la propiedad distributiva: cada término del primer factor se multiplica por cada término del segundo. Con las potencias, $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$. Después se reducen los términos semejantes.
El área total es $(x + 3)(x + 2) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$.
Multiplica los siguientes polinomios utilizando la propiedad distributiva y simplifica los términos semejantes: a) $P(x) = (2x - 3) \cdot (x^2 + 4x - 5)$ b)…
Multiplica los siguientes polinomios utilizando la propiedad distributiva y simplifica los términos semejantes:
- a) $P(x) = (2x - 3) \cdot (x^2 + 4x - 5)$
- b) $Q(x) = (x^2 + 1) \cdot (3x^2 - 2x + 4)$
Un parque tiene forma de rectángulo. Originalmente, su base mide $x$ metros y su altura mide $5$ metros menos que la base. La alcaldía decide ampliar el parque…
Un parque tiene forma de rectángulo. Originalmente, su base mide $x$ metros y su altura mide $5$ metros menos que la base. La alcaldía decide ampliar el parque aumentando la base en $3$ metros y la altura en $2$ metros.
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Escribe el polinomio $A_1(x)$ del área del parque original.
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Escribe el polinomio $A_2(x)$ del área del parque ampliado.
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Halla el polinomio que representa el incremento de área $I(x) = A_2(x) - A_1(x)$ y simplifícalo.
Realiza la siguiente operación combinada con polinomios y reduce los términos semejantes: $$ [ (x + 2)^2 \cdot (x - 2) ] - (x - 1) \cdot (x^2 + x + 1) $$
Realiza la siguiente operación combinada con polinomios y reduce los términos semejantes:
$$ [ (x + 2)^2 \cdot (x - 2) ] - (x - 1) \cdot (x^2 + x + 1) $$Perímetros y áreas con polinomios
Cuando los lados de una figura se expresan con $x$, el perímetro es una suma de lados y el área es un producto. Para una zona sombreada se hace: área de la figura completa menos área del hueco.
Halla la expresión algebraica simplificada que representa el perímetro del siguiente marco rectangular para fotografías:
Halla la expresión algebraica simplificada que representa el perímetro del siguiente marco rectangular para fotografías:
Calcula el área de la zona sombreada de la siguiente figura. Expresa el resultado como un polinomio reducido en función de $x$.
Calcula el área de la zona sombreada de la siguiente figura. Expresa el resultado como un polinomio reducido en función de $x$.
Calcula el área de la zona sombreada en la siguiente figura, expresando el resultado como un polinomio reducido en función de $x$. La figura exterior es un cuadrado de…
Calcula el área de la zona sombreada en la siguiente figura, expresando el resultado como un polinomio reducido en función de $x$. La figura exterior es un cuadrado de lado $3x + 2$ y el hueco interior es un rectángulo de base $x + 4$ y altura $x - 1$.
Armar el polinomio de una situación
Muchos problemas empiezan con un texto y hay que escribir el polinomio. Elige una letra para la cantidad desconocida, traduce cada dato y reduce.
En una tienda de tecnología, el precio de un smartphone de gama media es $x$ dólares. Un smartphone de gama alta cuesta el doble que el de gama media más 150 dólares, y…
En una tienda de tecnología, el precio de un smartphone de gama media es $x$ dólares. Un smartphone de gama alta cuesta el doble que el de gama media más 150 dólares, y una tablet cuesta 80 dólares menos que el smartphone de gama media.
- a) Escribe la expresión algebraica que representa el costo total de comprar dos smartphones de gama media, uno de gama alta y tres tablets.
- b) Reduce la expresión obtenida para que sea un polinomio en su forma más sencilla.
- c) Si el precio del smartphone básico es $x = 200$ dólares, ¿cuánto dinero costará el pedido total?
Un diseñador de videojuegos está creando un patrón de baldosas para el suelo de una mazmorra. En el nivel 1 usa una baldosa central, y en cada nivel siguiente rodea el…
Un diseñador de videojuegos está creando un patrón de baldosas para el suelo de una mazmorra. En el nivel 1 usa una baldosa central, y en cada nivel siguiente rodea el patrón anterior con una nueva capa de baldosas de distinto color. El número total de baldosas en el nivel $n$ sigue una secuencia lógica.
Observa la figura que representa los tres primeros niveles y:
-
Encuentra el polinomio $P(n)$ que expresa el número total de baldosas necesarias para construir hasta el nivel $n$.
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Calcula cuántas baldosas tendrá un suelo de nivel $n = 12$.
Una empresa de encomiendas cobra por enviar paquetes según la siguiente tarifa: un costo fijo de gestión $G$ dólares, más un precio por cada kilogramo de peso $x$, y un…
Una empresa de encomiendas cobra por enviar paquetes según la siguiente tarifa: un costo fijo de gestión $G$ dólares, más un precio por cada kilogramo de peso $x$, y un suplemento de "distancia premium" que equivale al cuadrado del peso del paquete dividido entre 4.
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Escribe el polinomio $C(x)$ que representa el costo total del envío de un paquete de $x$ kilogramos.
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Si los gastos de gestión son $G = 5$ dólares y queremos enviar un paquete de $8$ kg, ¿cuál será el costo total?
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Si la empresa decide duplicar el costo por kilogramo y mantener el resto de parámetros, escribe el nuevo polinomio $C_2(x)$.
Productos notables
Hay productos que aparecen tanto que conviene tener el resultado memorizado. Se llaman productos notables.
¿Por qué sale el doble producto? Porque $(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2$, y los dos términos del medio son semejantes. En la figura, el cuadrado de lado $a + b$ se parte en dos cuadrados ($a^2$ y $b^2$) y dos rectángulos ($ab$ cada uno).
Los productos notables nos permiten calcular rápidamente algunas potencias. Utiliza la fórmula del cuadrado de una suma $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ para desarrollar la…
Los productos notables nos permiten calcular rápidamente algunas potencias. Utiliza la fórmula del cuadrado de una suma $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ para desarrollar la siguiente expresión:
$(x + 2)^2$
Aplica las fórmulas de los productos notables para desarrollar las siguientes expresiones: a) $(3x + 4)^2$ b) $(2x^2 - 5)^2$ c) $(x + 7) \cdot (x - 7)$ d)…
Aplica las fórmulas de los productos notables para desarrollar las siguientes expresiones:
- a) $(3x + 4)^2$
- b) $(2x^2 - 5)^2$
- c) $(x + 7) \cdot (x - 7)$
- d) $(\frac{1}{2}x + 6) \cdot (\frac{1}{2}x - 6)$
Extraer factor común
Factorizar un polinomio es escribirlo como un producto. Extraer factor común es hacer al revés la propiedad distributiva: buscas qué número y qué letras se repiten en todos los términos, y los sacas fuera del paréntesis.
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Del coeficiente: el mayor número que divide a todos los coeficientes.
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De cada letra: la que está en todos los términos, con el menor exponente.
Extraer factor común es el paso inverso a la propiedad distributiva. Utiliza esta técnica para simplificar las siguientes expresiones algebraicas: a)…
Extraer factor común es el paso inverso a la propiedad distributiva. Utiliza esta técnica para simplificar las siguientes expresiones algebraicas:
- a) $12x^5 - 8x^3 + 4x^2$
- b) $5a^2b - 15ab^2 + 10ab$
- c) $\frac{1}{3}x^4 - \frac{2}{3}x^2$
Factorización con productos notables
Los productos notables leídos al revés dan casos de factorización.
Un trinomio es cuadrado perfecto si dos términos son cuadrados ($a^2$ y $b^2$) y el tercero es el doble producto $2ab$. Siempre se prueba primero el factor común.
También sirve para simplificar fracciones algebraicas.
Extrae factor común y utiliza las igualdades notables para descomponer en factores los siguientes polinomios (factorización). Recuerda las igualdades notables:…
Extrae factor común y utiliza las igualdades notables para descomponer en factores los siguientes polinomios (factorización).
Recuerda las igualdades notables: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$, $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ y $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$.
- a) $Q(x) = 3x^3 - 12x$
- b) $R(x) = x^4 - 10x^3 + 25x^2$
- c) $S(x) = 2x^2 + 20x + 50$
Opera y simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica utilizando las igualdades notables y la extracción de factor común: $$ \frac{(2x + 3)^2 - (2x - 3)^2}{12x}…
Opera y simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica utilizando las igualdades notables y la extracción de factor común:
$$ \frac{(2x + 3)^2 - (2x - 3)^2}{12x} $$Indica si el resultado final es un número constante o depende del valor de $x$.
Vuelve al principio: la altura del cohete de Valentina es un polinomio de grado $2$. Con su valor numérico sabes dónde está en cada instante: $h(0) = 2$ m en la plataforma y $h(1) = 22$ m al primer segundo.