En el laboratorio del colegio, un cultivo de bacterias duplica su cantidad cada 20 minutos. En una cuenta de ahorro de una cooperativa, el capital crece un porcentaje cada año. Un auto pierde valor con los años. En todos los casos hay una lista ordenada de números, y te conviene tener una fórmula que te dé cualquiera de ellos sin calcular todos los anteriores. En este apartado vas a aprender a encontrar esa fórmula, el término general (o término n-ésimo), y a trabajar con sucesiones dadas por recurrencia.
Escribí una expresión y observá cómo cambian las barras al avanzar $n$ (en el ejemplo, una sucesión de fracciones):
Cuadrados encajados
Tomá un cuadrado de área $1$ (como una baldosa de una vereda de Asunción). Unís los puntos medios de sus lados y obtenés un cuadrado inclinado dentro del primero. Repetís el procedimiento con el nuevo cuadrado, y así siguiendo. Sea $a_n$ el área del $n$-ésimo cuadrado.
Practica★☆☆Sin empezar
Dada la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{2n-1}{n+3}$, calcula sus cinco primeros términos.
Dada la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{2n-1}{n+3}$, calcula sus cinco primeros términos.
Comprueba matemáticamente si el número $47$ pertenece a la sucesión de término general $c_n = 3n + 2$. En caso afirmativo, indica qué lugar ocupa en dicha sucesión.
Comprueba matemáticamente si el número $47$ pertenece a la sucesión de término general $c_n = 3n + 2$. En caso afirmativo, indica qué lugar ocupa en dicha sucesión.
Dada la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{n^2+1}{n}$, halla la expresión del término general de la sucesión diferencia definida como $d_n = a_{n+1} - a_n$ y…
Dada la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{n^2+1}{n}$, halla la expresión del término general de la sucesión diferencia definida como $d_n = a_{n+1} - a_n$ y simplifica el resultado al máximo.
Averigua el término general de la sucesión $0, 3, 8, 15, 24, \dots$ y utilízalo para calcular el valor exacto del término que ocupa la posición quincuagésima ($a_{50}$).
Averigua el término general de la sucesión $0, 3, 8, 15, 24, \dots$ y utilízalo para calcular el valor exacto del término que ocupa la posición quincuagésima ($a_{50}$).
Encuentra un único término general explícito $a_n$ para la sucesión $1, 4, 3, 8, 5, 12, 7, 16, \dots$ utilizando la expresión $(-1)^n$ para unificar el comportamiento…
Encuentra un único término general explícito $a_n$ para la sucesión $1, 4, 3, 8, 5, 12, 7, 16, \dots$ utilizando la expresión $(-1)^n$ para unificar el comportamiento dispar que presentan los términos pares y los términos impares.
No todas las sucesiones son aritméticas o geométricas. Si las diferencias entre términos consecutivos no son constantes, probá comparar los términos con los cuadrados $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ o con otras potencias de $n$.
Cuando las diferencias de las diferencias son constantes, el término general es un polinomio de segundo grado $an^2+bn+c$. Para hallarlo se plantean los primeros términos.
Practica★★☆Sin empezar
Observa la siguiente secuencia de figuras formadas por hexágonos adyacentes que comparten uno o varios lados. La Figura 1 está formada por 6 palillos, la Figura 2 por 11…
Observa la siguiente secuencia de figuras formadas por hexágonos adyacentes que comparten uno o varios lados. La Figura 1 está formada por 6 palillos, la Figura 2 por 11 palillos y la Figura 3 por 16 palillos. Escribe el término general del número de palillos $P_n$ necesarios para construir la Figura $n$.
En una red de computadoras, el número total de conexiones directas posibles entre $n$ equipos (si todos están conectados físicamente con todos) forma una sucesión $C_n$.…
En una red de computadoras, el número total de conexiones directas posibles entre $n$ equipos (si todos están conectados físicamente con todos) forma una sucesión $C_n$. Sabiendo que $C_1 = 0$, $C_2 = 1$, $C_3 = 3$, y $C_4 = 6$, determiná el término general $C_n$. A partir de él, deducí cuántos equipos componen una red que tiene exactamente $1225$ conexiones directas.
Una sucesión también puede darse por recurrencia: se indican los primeros términos y una regla que calcula cada término a partir de los anteriores. Los cuadrados encajados de arriba son un ejemplo: $a_1 = 1$ y $a_n = \tfrac12 a_{n-1}$.
Una sucesión recurrente se define mediante las condiciones iniciales $x_1 = 1$, $x_2 = 2$ y la ley de recurrencia $x_n = x_{n-1} + 2x_{n-2}$ para todo $n \ge 3$. Calcula…
Una sucesión recurrente se define mediante las condiciones iniciales $x_1 = 1$, $x_2 = 2$ y la ley de recurrencia $x_n = x_{n-1} + 2x_{n-2}$ para todo $n \ge 3$. Calcula los términos de la sucesión hasta $x_6$ y deduce una fórmula explícita para el término general $x_n$ en función de potencias de $2$.
Se define la sucesión $a_n$ mediante la relación de recurrencia $a_1 = 3$ y $a_n = 2a_{n-1} + 1$ para $n \ge 2$. Para encontrar su término general explícito, define una…
Se define la sucesión $a_n$ mediante la relación de recurrencia $a_1 = 3$ y $a_n = 2a_{n-1} + 1$ para $n \ge 2$. Para encontrar su término general explícito, define una nueva sucesión auxiliar $b_n = a_n + 1$. Demuestra que $b_n$ es una progresión geométrica, halla su término general $b_n$ y, a partir de él, deduce el término general de $a_n$.
Poblaciones, depreciaciones, entrenamientos o ahorros se describen con sucesiones. El primer paso es identificar si en cada etapa se suma o se multiplica algo fijo, y si $n$ empieza en $0$ o en $1$.
Practica★★☆Sin empezar
Una población de algas microscópicas en un lago controlado triplica su superficie cubierta cada semana. Si en la primera semana (semana $n=1$) cubren una superficie de…
Una población de algas microscópicas en un lago controlado triplica su superficie cubierta cada semana. Si en la primera semana (semana $n=1$) cubren una superficie de $2 \text{ m}^2$:
a) Escribe el término general $S_n$ que representa la superficie cubierta al cabo de $n$ semanas.
b) Calcula cuántas semanas completas deben pasar para que la superficie cubierta supere por primera vez los $1000 \text{ m}^2$.
El valor de mercado de un auto nuevo es de $168\,000\,000$ guaraníes. Se estima que cada año pierde un $15\,\%$ de su valor respecto al año inmediatamente anterior.…
El valor de mercado de un auto nuevo es de $168\,000\,000$ guaraníes. Se estima que cada año pierde un $15\,\%$ de su valor respecto al año inmediatamente anterior. Encontrá el término general $V_n$ que expresa el valor del auto al cabo de $n$ años (considerando $n=0$ el momento de la compra), y determiná su valor estimado al cabo de $5$ años.
Un atleta aficionado se prepara para una media maratón. El primer día de entrenamiento corre $5$ km, y decide aumentar la distancia diaria en $500$ metros exactos…
Un atleta aficionado se prepara para una media maratón. El primer día de entrenamiento corre $5$ km, y decide aumentar la distancia diaria en $500$ metros exactos respecto al día anterior. Expresa el término general $d_n$ de la distancia en kilómetros recorrida el día $n$. ¿Qué día de su entrenamiento correrá exactamente $15$ km?
Una pelota de goma se deja caer desde una altura inicial de $10$ metros. En cada rebote contra el suelo, la pelota alcanza una altura igual a $\frac{3}{4}$ de la altura…
Una pelota de goma se deja caer desde una altura inicial de $10$ metros. En cada rebote contra el suelo, la pelota alcanza una altura igual a $\frac{3}{4}$ de la altura máxima alcanzada en el rebote inmediatamente anterior. Escribe el término general $h_n$ de la altura alcanzada tras el $n$-ésimo rebote. Utilizando logaritmos, determina después de cuántos rebotes la altura máxima será por primera vez inferior a $1$ metro.
A veces la situación se describe mejor con una recurrencia que con una fórmula directa. Un caso típico es el dinero que crece con un porcentaje y al que se le descuenta o se le suma una cantidad fija.
Sucesiones crecientes
Si $a_{n+1} - a_n > 0$ para todo $n$, cada término es mayor que el anterior: la sucesión es estrictamente creciente. Si la diferencia es siempre negativa, es estrictamente decreciente. Si la diferencia es siempre $0$, todos los términos son iguales y la sucesión es constante: por ejemplo, $a_n = 7$ da $7, 7, 7, \ldots$ y $a_{n+1}-a_n = 0$.
Sucesiones acotadas
Esto amplía el programa de 3.er curso de la Educación Media: la acotación no figura en el programa.
Para probar que $k$ es cota superior, se plantea la desigualdad $a_n \le k$ para un $n$ cualquiera y se la transforma con álgebra (por ejemplo, estudiando el signo de $k - a_n$) hasta llegar a algo evidente. Con las cotas inferiores se hace lo mismo con $a_n - m$.
Practica★★★Sin empezar
Demuestra matemáticamente, estudiando el signo algebraico de la diferencia $a_{n+1} - a_n$, si la sucesión $a_n = \frac{3n-1}{n+2}$ es estrictamente creciente o…
Demuestra matemáticamente, estudiando el signo algebraico de la diferencia $a_{n+1} - a_n$, si la sucesión $a_n = \frac{3n-1}{n+2}$ es estrictamente creciente o estrictamente decreciente.
Estudia la acotación de la sucesión $a_n = \frac{5n+2}{2n+1}$. Para ello, demuestra algebraicamente que la sucesión está acotada inferiormente por $\frac{7}{3}$ y…
Estudia la acotación de la sucesión $a_n = \frac{5n+2}{2n+1}$. Para ello, demuestra algebraicamente que la sucesión está acotada inferiormente por $\frac{7}{3}$ y superiormente por $\frac{5}{2}$.
Se invierten $35\,000\,000$ guaraníes en un fondo de inversión que ofrece un interés compuesto anual del $4\,\%$. Sin embargo, al final de cada año y tras aplicar los…
Se invierten $35\,000\,000$ guaraníes en un fondo de inversión que ofrece un interés compuesto anual del $4\,\%$. Sin embargo, al final de cada año y tras aplicar los intereses, la entidad deduce $350\,000$ guaraníes fijos en concepto de comisiones de gestión. Escribe la ley de recurrencia para el capital $C_n$ acumulado al final del año $n$ (siendo $C_0 = 35\,000\,000$), y calcula el capital en los tres primeros años ($C_1, C_2, C_3$).