Asíntotas de una función

Calcula los siguientes límites directos por sustitución, que representan la velocidad de una partícula en metros por segundo en diferentes instantes $t$:

1. a) $\lim_{t \to 2} (t^2 + 3t - 1)$

1. b) $\lim_{t \to 0} \frac{e^t + 1}{t + 2}$

Determina el comportamiento en el infinito de las siguientes funciones polinómicas, indicando si tienden a $+\infty$ o $-\infty$:

1. a) $f(x) = -2x^3 + 5x - 1$ cuando $x \to +\infty$

1. b) $g(x) = x^4 - 100x^2$ cuando $x \to -\infty$

Un dron de inspección técnica sigue una trayectoria de aproximación a una antena cuya altura viene dada por la función $H(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$, donde $x$ es la distancia horizontal al centro de control. Calcula el límite de la altura cuando el dron se encuentra muy cerca de $x = 3$ metros.

(Nota: Aunque la función no esté definida en $x=3$, estudia el límite simplificando la expresión).

Calcula los siguientes límites resolviendo las indeterminaciones correspondientes:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$

Observa la siguiente gráfica que representa el consumo de memoria RAM (en GB) de un servidor de procesos en función del tiempo $t$ (en segundos). Determina, de forma intuitiva, el valor de los límites laterales en el instante $t = 4$ y razona si existe el límite global en ese punto.

Observa la siguiente gráfica de una función $f(x)$ (cada marca de los ejes corresponde a una unidad). Supón que las dos ramas continúan fuera del recuadro con la tendencia que muestran. A partir de la información visual, determina el valor de los siguientes límites y las ecuaciones de todas sus asíntotas:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x)$ y $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x)$

1. c) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$

Dada la función racional $f(x) = \frac{5}{x - 2}$, que describe la intensidad de un campo magnético en relación a la distancia $x$ a un cable conductor:

1. a) Determina el dominio de la función.
2. b) Calcula los límites laterales $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 2^+} f(x)$.
3. c) Indica la ecuación de su asíntota vertical.

Halla todas las asíntotas (verticales y horizontales) de la función $f(x) = \frac{3x - 6}{x + 1}$. Para ello:

1. Identifica el valor de $x$ que anula el denominador.

2. Calcula el límite de la función cuando $x \to \infty$.

Dada la función $f(x) = \dfrac{x^2 - k}{x^2 - 4x + 4}$:

1. a) Determina si existe algún valor de $k$ para que la función tenga una discontinuidad evitable en $x = 2$.
2. b) Si $k = 9$, estudia la existencia de asíntotas verticales y describe el comportamiento de la función en sus cercanías mediante límites laterales.

En un estudio biológico, el número de individuos de una población de bacterias (en miles) sigue el modelo $P(t) = \frac{4t + 10}{t + 2}$, donde $t$ es el tiempo en horas.

1. a) Calcula $\lim_{t \to +\infty} P(t)$ para conocer la población a largo plazo.
2. b) ¿Qué tipo de asíntota representa este resultado? Escribe su ecuación.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 4}$, que modela la eficiencia de un panel fotovoltaico en función de la radiación recibida $x$, justifica mediante el cálculo de límites si la función tiene alguna asíntota horizontal y represéntala gráficamente de forma esquemática.

Un equipo de ingenieros está monitorizando la temperatura $T$ (en grados Celsius) de un nuevo procesador gráfico en función del tiempo $t$ (en minutos) desde su encendido. La función viene dada por:

Calcula la temperatura inicial del procesador y determina mediante el cálculo de límites si la temperatura se estabiliza a largo plazo. ¿Qué tipo de asíntota representa este valor de estabilización?

Halla la ecuación de la asíntota oblicua de la función $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 2}$. Para completar el estudio, indica la posición relativa de la curva respecto a dicha asíntota cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.

Se considera la función $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x} - x$.

1. a) Calcula $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$.
2. b) Comprueba si existe una asíntota horizontal cuando $x$ tiende a $+\infty$.
3. c) Investiga qué ocurre con el límite de la función cuando $x \to -\infty$. ¿Existe alguna asíntota en esa rama?

Considera la función $f(x)$, definida mediante un valor absoluto, que modela la trayectoria de un dron de vigilancia:

Estudia la existencia de asíntotas oblicuas en esta función. En caso de que existan, calcula sus ecuaciones y analiza la posición de la curva respecto a dichas asíntotas tanto en $+\infty$ como en $-\infty$.

Estudia el dominio y todas las asíntotas de la siguiente función logarítmica:

Determina los límites laterales en cada uno de los puntos donde la función no está definida y esboza gráficamente el comportamiento de la función cerca de sus asíntotas verticales.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Calcula el valor del siguiente límite que da lugar a una indeterminación del tipo $1^\infty$ utilizando la relación con el número $e$:

Se está diseñando un nuevo algoritmo de compresión de datos para una plataforma de streaming. El tiempo de respuesta del sistema, en milisegundos, viene modelado por la función $T(x)$, donde $x$ representa la carga de trabajo en terabytes:

Sabiendo que, para que el sistema sea estable bajo cargas extremas, el límite del tiempo de respuesta cuando la carga tiende a infinito debe ser exactamente $e^4$, determina razonadamente el valor del parámetro $a$.

En el estudio de la propagación de un virus informático en una red social, se ha determinado que el número de nodos infectados $N(t)$ tras un tiempo $t$ (en horas) sigue la función:

Analiza el comportamiento de la infección a largo plazo calculando $\lim_{t \to +\infty} N(t)$. ¿Presenta la función alguna asíntota horizontal? Justifica tu respuesta aplicando las jerarquías de infinitos correspondientes.

Dada la función racional $f(x) = \dfrac{ax^2 + 5x - 3}{2x^2 - 8}$, determina el valor del parámetro real $a$ sabiendo que la función tiene una asíntota horizontal en la recta $y = 3$. Una vez hallado el valor de $a$, calcula los límites laterales de la función en sus asíntotas verticales y explica el comportamiento de la gráfica en esos puntos.

Un satélite de comunicaciones sigue una órbita cuya perturbación gravitatoria se describe por la función $g(x)$. Se requiere que el satélite no se aleje indefinidamente de una trayectoria lineal prevista. La función es:

Halla los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la función tenga una asíntota horizontal en $y = 2$ cuando $x \to +\infty$.

Dada la función dependiente de los parámetros $k$ y $m$:

Calcula los valores de $k$ y $m$ para que $f(x)$ tenga una asíntota oblicua que pase por el punto $(0, 2)$ y cuya pendiente sea $3$. Una vez hallados, comprueba si la función posee alguna asíntota vertical y justifica si es evitable o no.

Sea la función $f(x)$ definida a trozos:

1. Halla el valor de $k$ para que la función posea una discontinuidad de salto finito en $x = 2$.

2. Para el valor de $k$ obtenido en el apartado anterior, determina el valor de $a$ para que la función tenga una asíntota horizontal $y = 3$ cuando $x \to +\infty$.