Sucesión decreciente
Dejás caer una pelota de básquet en el patio del colegio: cada rebote llega menos alto que el anterior. Un celular pierde valor mes a mes, y un jarro de agua caliente para el tereré se enfría minuto a minuto. En todos estos procesos cada término es menor que el anterior. Mirar los primeros valores te da una pista, pero en Matemática hay que demostrarlo para todo $n$. Eso es lo que vas a aprender acá.
Qué significa que una sucesión decrezca
Una primera forma de explorar es calcular los primeros términos. Por ejemplo, $a_n = 5 - 2n$ da $3, 1, -1, -3, \ldots$: baja. En cambio $d_n = (-1)^n \cdot n$ da $-1, 2, -3, 4, \ldots$: sube y baja, así que no es monótona.
Pero calcular algunos términos no demuestra nada: solo sugiere. Una sucesión puede bajar al principio y subir después.
Dadas las siguientes sucesiones definidas por su término general, identifica cuáles son estrictamente decrecientes calculando empíricamente sus cuatro primeros términos:…
Dadas las siguientes sucesiones definidas por su término general, identifica cuáles son estrictamente decrecientes calculando empíricamente sus cuatro primeros términos: $a_n = 5 - 2n$, $b_n = n^2 - 4$, $c_n = \frac{1}{2^n}$, $d_n = (-1)^n \cdot n$.
Indica si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y justifica tu respuesta con un contraejemplo numérico: "Toda sucesión cuyos términos son todos negativos es…
Indica si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y justifica tu respuesta con un contraejemplo numérico: "Toda sucesión cuyos términos son todos negativos es obligatoriamente una sucesión decreciente".
El criterio de la diferencia
El plan es siempre el mismo: escribís $a_{n+1}$ (reemplazando cada $n$ entre paréntesis por $n+1$), restás, simplificás y estudiás el signo.
Con una fórmula lineal es inmediato: si $a_n = -4n + 7$, entonces $a_{n+1} - an = -4(n+1) + 7 - (-4n + 7) = -4 < 0$. Una función lineal con pendiente negativa siempre da una sucesión decreciente. Así, un alpinista que baja del cerro con altura $h_n = 3500 - 150n$ cumple $h_{n+1} - h_n = -150 < 0$.
Demuestra, analizando el signo de la diferencia $a_{n+1} - a_n$, que la sucesión polinómica de término general $a_n = -4n + 7$ es estrictamente decreciente para todo…
Demuestra, analizando el signo de la diferencia $a_{n+1} - a_n$, que la sucesión polinómica de término general $a_n = -4n + 7$ es estrictamente decreciente para todo número natural $n$.
Un alpinista desciende por una montaña a un ritmo constante. Su altitud en metros al final de cada hora $n$ de trayecto viene modelizada por la sucesión…
Un alpinista desciende por una montaña a un ritmo constante. Su altitud en metros al final de cada hora $n$ de trayecto viene modelizada por la sucesión $h_n = 3500 - 150n$. Demuestra analíticamente que la sucesión de altitudes $(h_n)$ es estrictamente decreciente.
Comprueba si la sucesión racional $b_n = \frac{3}{n+2}$ es decreciente. Para ello, plantea la expresión $b_{n+1} - b_n$ y determina si el resultado es menor o igual a…
Comprueba si la sucesión racional $b_n = \frac{3}{n+2}$ es decreciente. Para ello, plantea la expresión $b_{n+1} - b_n$ y determina si el resultado es menor o igual a cero para cualquier $n \ge 1$.
Demuestra que la sucesión de término general $a_n = \frac{2n+5}{3n+1}$ es estrictamente decreciente. Para ello, plantea la desigualdad $a_{n+1} < a_n$, opera…
Demuestra que la sucesión de término general $a_n = \frac{2n+5}{3n+1}$ es estrictamente decreciente. Para ello, plantea la desigualdad $a_{n+1} < a_n$, opera algebraicamente y llega a una afirmación que sea cierta para todo $n \ge 1$.
Sucesiones definidas por recurrencia
Cuando la sucesión viene dada por $a_{n+1}$ en función de $a_n$, muchas veces no hace falta la fórmula cerrada: la diferencia $a_{n+1} - a_n$ ya aparece en la ley de formación.
Si la recurrencia es más complicada, hay dos herramientas:
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Una desigualdad conocida sobre los términos. Por ejemplo, en $a_{n+1} = \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{3}{a_n}\right)$ la diferencia es $a_{n+1} - a_n = \frac{3 - a_n^2}{2a_n}$, y el signo depende de si $a_n$ es mayor o menor que $\sqrt{3}$.
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El principio de inducción: se prueba que vale para el primer caso y que, si vale para $n$, vale para $n+1$.
Una sucesión viene dada en forma recurrente por el primer término $a_1 = 15$ y la ley de formación $a_{n+1} = a_n - \frac{1}{n}$. Justifica matemáticamente por qué esta…
Una sucesión viene dada en forma recurrente por el primer término $a_1 = 15$ y la ley de formación $a_{n+1} = a_n - \frac{1}{n}$. Justifica matemáticamente por qué esta sucesión es estrictamente decreciente para todo $n \ge 1$.
En un reactor químico, la concentración $C_n$ de un isótopo radiactivo tras $n$ horas viene dada por la relación de recurrencia $C_1 = 100$ y…
En un reactor químico, la concentración $C_n$ de un isótopo radiactivo tras $n$ horas viene dada por la relación de recurrencia $C_1 = 100$ y $C_{n+1} = 0,5 \cdot C_n + 10$. Demuestra mediante el principio de inducción matemática que $C_{n+1} < C_n$ para todo $n \ge 1$, concluyendo que la secuencia de concentraciones es estrictamente decreciente.
El método babilónico para aproximar el valor de $\sqrt{3}$ genera una sucesión definida por $x_1 = 2$ y la recurrencia…
El método babilónico para aproximar el valor de $\sqrt{3}$ genera una sucesión definida por $x_1 = 2$ y la recurrencia $x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{3}{x_n} \right)$. Sabiendo que todos los términos de la sucesión cumplen que $x_n > \sqrt{3}$, demuestra analíticamente que $x_{n+1} < x_n$ para todo $n \ge 1$, probando así que la sucesión de aproximaciones es estrictamente decreciente.
El criterio del cociente
Cuando los términos son positivos y aparecen potencias o factoriales, dividir es más cómodo que restar.
Las progresiones geométricas con razón entre $0$ y $1$ modelan pérdidas porcentuales:
Lo mismo pasa con la pelota de goma que sube $\frac{3}{4}$ de la altura anterior en cada rebote: si cae desde $5$ m, $h_n = 5 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^n$, con cociente $\frac{3}{4} < 1$.
Utiliza el criterio del cociente $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ para demostrar que la sucesión geométrica de términos positivos $a_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n$ es…
Utiliza el criterio del cociente $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ para demostrar que la sucesión geométrica de términos positivos $a_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n$ es estrictamente decreciente.
Una máquina industrial pierde cada año un $12\%$ de su valor respecto al año inmediatamente anterior. Si su valor inicial de compra es de $315\,000\,000$ guaraníes,…
Una máquina industrial pierde cada año un $12\%$ de su valor respecto al año inmediatamente anterior. Si su valor inicial de compra es de $315\,000\,000$ guaraníes, encontrá la expresión del término general $V_n$ que indica su valor después de $n$ años y demostrá matemáticamente que la sucesión $(V_n)$ es decreciente.
Se deja caer una pelota de goma desde una altura inicial de $5$ metros. En cada rebote sucesivo, la pelota alcanza una altura igual a los $\frac{3}{4}$ de la altura…
Se deja caer una pelota de goma desde una altura inicial de $5$ metros. En cada rebote sucesivo, la pelota alcanza una altura igual a los $\frac{3}{4}$ de la altura máxima del rebote anterior. Sea $h_n$ la altura máxima alcanzada tras el $n$-ésimo impacto con el suelo. Escribe el término general de la sucesión y demuestra que es estrictamente decreciente.
Decreciente a partir de un término
Esta sección amplía el programa de 3.er curso de la Educación Media.
Algunas sucesiones no bajan desde el principio: suben o se mantienen un rato y después bajan para siempre. Hay que ubicar desde qué $n$ decrece.
Fijate en esta otra situación: $d_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$ da $-1;\ \tfrac{1}{2};\ -\tfrac{1}{3};\ \tfrac{1}{4};\ \ldots$ Sube y baja, no es monótona. Pero si le tomamos valor absoluto, $e_n = |d_n| = \dfrac{1}{n}$, y entonces
$$e_{n+1} - en = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{-1}{n(n+1)} < 0,$$así que $(e_n)$ sí es estrictamente decreciente.
Calcula los cinco primeros términos de la sucesión cuadrática $c_n = -n^2 + 6n$. ¿Es una sucesión decreciente desde el primer término? Determina a partir de qué valor de…
Calcula los cinco primeros términos de la sucesión cuadrática $c_n = -n^2 + 6n$. ¿Es una sucesión decreciente desde el primer término? Determina a partir de qué valor de $n$ la sucesión comienza a ser estrictamente decreciente.
Considera la sucesión que combina una potencia y un factorial $b_n = \frac{5^n}{n!}$. Calcula sus primeros seis términos y observa su comportamiento. Utilizando el…
Considera la sucesión que combina una potencia y un factorial $b_n = \frac{5^n}{n!}$. Calcula sus primeros seis términos y observa su comportamiento. Utilizando el criterio del cociente, determina analíticamente a partir de qué valor exacto de $n$ la sucesión se vuelve estrictamente decreciente.
Estudia la monotonía de la sucesión $d_n = \frac{(-1)^n}{n}$. ¿Es una sucesión decreciente? Define una nueva sucesión $e_n = |d_n|$ tomando el valor absoluto de cada…
Estudia la monotonía de la sucesión $d_n = \frac{(-1)^n}{n}$. ¿Es una sucesión decreciente? Define una nueva sucesión $e_n = |d_n|$ tomando el valor absoluto de cada término y demuestra paso a paso que $(e_n)$ sí es una sucesión estrictamente decreciente.
Parámetros y propiedades generales
A veces la sucesión tiene una letra (un parámetro) y te piden para qué valores es decreciente. Se plantea $a_{n+1} - an < 0$ y se exige que valga para todos los $n \ge 1$.
También podés demostrar propiedades generales. Por ejemplo, si $(u_n)$ y $(v_n)$ son positivas y estrictamente decrecientes, el producto $w_n = u_n v_n$ también lo es:
$$u_{n+1}v_{n+1} < u_n v_{n+1} < u_n v_n.$$La primera desigualdad sale de multiplicar $u_{n+1} < u_n$ por $v_{n+1} > 0$; la segunda, de multiplicar $v_{n+1} < v_n$ por $u_n > 0$.
Dada la sucesión polinómica $a_n = -kn^2 + 8n - 3$, determina el conjunto de valores que debe tomar el parámetro real $k$ para garantizar que la sucesión sea…
Dada la sucesión polinómica $a_n = -kn^2 + 8n - 3$, determina el conjunto de valores que debe tomar el parámetro real $k$ para garantizar que la sucesión sea estrictamente decreciente para todo $n \ge 1$.
Encuentra la condición matemática rigurosa que debe cumplir el parámetro real $p$ para que la sucesión racional $a_n = \frac{pn+4}{2n+3}$ sea estrictamente decreciente…
Encuentra la condición matemática rigurosa que debe cumplir el parámetro real $p$ para que la sucesión racional $a_n = \frac{pn+4}{2n+3}$ sea estrictamente decreciente en todo su dominio natural $n \ge 1$.
Sean $(u_n)$ y $(v_n)$ dos sucesiones de números reales estrictamente positivos. Si se sabe que $(u_n)$ es estrictamente decreciente y $(v_n)$ también es estrictamente…
Sean $(u_n)$ y $(v_n)$ dos sucesiones de números reales estrictamente positivos. Si se sabe que $(u_n)$ es estrictamente decreciente y $(v_n)$ también es estrictamente decreciente, demuestra algebraicamente que la sucesión producto definida por $w_n = u_n \cdot v_n$ es, a su vez, estrictamente decreciente.
Radicales, logaritmos y factoriales
Esta sección amplía el programa de 3.er curso de la Educación Media. Algunas sucesiones necesitan un truco previo para ver el signo de la diferencia.
Demuestra que la sucesión construida mediante radicales $c_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n}$ es estrictamente decreciente. Multiplica y divide por la expresión conjugada antes…
Demuestra que la sucesión construida mediante radicales $c_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n}$ es estrictamente decreciente. Multiplica y divide por la expresión conjugada antes de analizar si $c_{n+1} < c_n$.
Estudia el crecimiento o decrecimiento de la sucesión logarítmica $a_n = \ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)$. A continuación, demuestra que la sucesión de las sumas…
Estudia el crecimiento o decrecimiento de la sucesión logarítmica $a_n = \ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)$. A continuación, demuestra que la sucesión de las sumas parciales $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ es estrictamente decreciente y encuentra una expresión algebraica simplificada para $S_n$ aplicando las propiedades de los logaritmos.
Sea la sucesión definida por $a_n = \frac{n^n}{n! \cdot e^n}$. Sabiendo que se cumple la desigualdad $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < e$ para cualquier número natural…
Sea la sucesión definida por $a_n = \frac{n^n}{n! \cdot e^n}$. Sabiendo que se cumple la desigualdad $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < e$ para cualquier número natural $n$, demuestra mediante el criterio del cociente que $(a_n)$ es una sucesión estrictamente decreciente.
Cotas, supremo e ínfimo
Esta sección amplía el programa de 3.er curso de la Educación Media.
Una sucesión decreciente baja, pero ¿hasta dónde? Para hablar de eso usamos las cotas.
Si $(a_n)$ es decreciente, su primer término $a_1$ es cota superior (y es el máximo). El ínfimo, en cambio, hay que buscarlo.
Un ejemplo de sucesión no monótona: $a_n = 2 - (-1)^n$ da $3, 1, 3, 1, \ldots$ No crece ni decrece, pero está acotada: el supremo es $3$ y el ínfimo es $1$, y ambos pertenecen a la sucesión (son máximo y mínimo).
El ínfimo no siempre es un término. En $a_n = 1 + \frac{2}{3^n}$ el ínfimo es $1$, pero ningún término vale $1$: se acercan tanto como quieras, sin llegar.
Un caso del mundo real: una pieza de metal que se enfría en una sala a $20\,°\text{C}$ tiene temperaturas $T_n = 20 + 80 \cdot 0{,}85^n$. Es decreciente, y como $80 \cdot 0{,}85^n > 0$, está acotada inferiormente por $20$. El descenso entre el minuto $n$ y el $n+1$ es $T_n - T_{n+1} = 80 \cdot 0{,}85^n(1 - 0{,}85) = 12 \cdot 0{,}85^n$ grados, que cada vez es menor.
Otro: el error $E_n = \frac{1}{2} - S_n$ con $S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{3^i}$. Como $S_n = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{3^n}\right)$, resulta $E_n = \dfrac{1}{2 \cdot 3^n}$, con cociente $\frac{1}{3} < 1$: decreciente y acotada inferiormente por $0$.
La temperatura en grados Celsius de una pieza de metal que se enfría en una sala a temperatura ambiente viene dada por la sucesión $T_n = 20 + 80 \cdot (0,85)^n$, donde…
La temperatura en grados Celsius de una pieza de metal que se enfría en una sala a temperatura ambiente viene dada por la sucesión $T_n = 20 + 80 \cdot (0,85)^n$, donde $n$ representa el tiempo transcurrido en minutos. Demuestra que $(T_n)$ es una sucesión decreciente y calcula algebraicamente la expresión del descenso de temperatura exacto que ocurre entre el minuto $n$ y el minuto $n+1$.
Considera la sucesión de sumas parciales $S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{3^i}$. Sea $E_n = \frac{1}{2} - S_n$ la sucesión que mide la distancia entre $S_n$ y el límite…
Considera la sucesión de sumas parciales $S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{3^i}$. Sea $E_n = \frac{1}{2} - S_n$ la sucesión que mide la distancia entre $S_n$ y el límite teórico de la serie infinita. Demuestra que $(E_n)$ es una sucesión estrictamente decreciente y exprésala de forma cerrada en función de $n$.
Considera la sucesión definida por $a_n = \frac{3^n + 2}{3^n}$. Demuestra que está acotada inferiormente por $1$ y que es estrictamente decreciente. Finalmente,…
Considera la sucesión definida por $a_n = \frac{3^n + 2}{3^n}$. Demuestra que está acotada inferiormente por $1$ y que es estrictamente decreciente. Finalmente, determina a partir de qué valor de $n$ la diferencia entre dos términos consecutivos es menor en valor absoluto que $10^{-4}$.
Volvé al principio: si la pelota de básquet del colegio pierde el $20\,\%$ de su altura en cada rebote, $h_n = h_0 \cdot 0{,}8^n$ y $\dfrac{h_{n+1}}{h_n} = 0{,}8 < 1$ con términos positivos: la sucesión es estrictamente decreciente. Además está acotada inferiormente por $0$, el valor al que se va acercando.