Indeterminaciones

Observa la siguiente gráfica de la función $f(x)$ y determina, de manera intuitiva, el valor de los límites indicados. Si algún límite no existe o es infinito, especifícalo claramente.

1. a) $\lim_{x \to -2} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 0} f(x)$
3. c) $\lim_{x \to 3} f(x)$
4. d) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

Calcula el límite de la función $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ cuando $x$ tiende a $3$.

Ayuda: Observa que al sustituir directamente obtenemos una indeterminación del tipo $\left[\frac{0}{0}\right]$. Prueba a factorizar el numerador para simplificar la expresión.

Calcula el siguiente límite resolviendo la indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$ mediante el uso de la técnica del conjugado:

Dada la siguiente gráfica de la función $f(x)$, analiza visualmente y calcula de forma analítica los límites laterales en los puntos de discontinuidad para determinar si existe el límite global en $x = 2$:

Calcula el valor de $a$ para que el límite en $x = 2$ sea único y la función no presente un salto.

Resuelve el siguiente límite utilizando la técnica del doble conjugado para resolver la indeterminación $\frac{0}{0}$:

Un equipo de ingenieros aeroespaciales estudia la presión $P$ (en pascales) en el interior de un conducto de ventilación. La presión depende de la velocidad del flujo de aire $v$ según la fórmula:

Estudia el comportamiento de la presión cuando la velocidad $v$ se aproxima a $3$ m/s. En caso de que el límite sea indeterminado, resuélvelo e indica si la presión tiende a un valor estable.

Calcula los siguientes límites de funciones polinómicas cuando la variable $x$ tiende a infinito. Recuerda identificar el término dominante en cada caso:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} (-2x^3 + 5x^2 - 1)$
2. b) $\lim_{x \to -\infty} (x^4 - 100x^2)$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 5}{10}$

Resuelve la indeterminación de tipo $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ en los siguientes límites de funciones racionales, comparando los grados del numerador y del denominador:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 2}{2x^2 + 1}$
2. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 5}{x^2 - 3}$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 1}{x^2 + 10x}$

Un equipo de científicos está monitorizando el crecimiento de una población de bacterias en un laboratorio. La población (en millones) sigue el modelo dado por la función:

donde $t$ es el tiempo en horas desde el inicio del experimento. La gráfica muestra la evolución de la población durante las primeras 20 horas.

¿Cuál será la población de bacterias si el experimento se prolongase indefinidamente? Calcula para ello $\lim_{t \to +\infty} P(t)$.

Determina el valor del límite al infinito analizando el grado de los términos dominantes en el numerador y el denominador. Ten especial cuidado con las potencias dentro de las raíces:

En el estudio de algoritmos informáticos, es crucial saber qué función crece más rápido. Basándote en la jerarquía de infinitos, asigna el valor de los siguientes límites ($0$, $+\infty$ o $-\infty$):

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x}$
2. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^{10}}$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{\ln(x)}$

Utiliza la comparación de órdenes de infinitos para resolver los siguientes límites sin necesidad de realizar operaciones extensas. Justifica tu respuesta indicando qué función "domina" a la otra:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x^5}{100x^6 - \ln(x)}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^7 + 1}}{x^3 \cdot \ln(x)}$

Calcula el valor del siguiente límite analizando la jerarquía de los infinitos involucrados. Debes justificar razonadamente qué término domina en el numerador y en el denominador antes de dar el resultado final:

Resuelve la siguiente indeterminación de tipo $\infty - \infty$. Para ello, realiza la operación algebraica previa y simplifica la expresión resultante:

Calcula el valor de la siguiente expresión que presenta una indeterminación del tipo $\infty - \infty$ con raíces de distinto orden:

Dada la función racional $f(x) = \frac{2}{x-4}$, estudia su comportamiento en las proximidades de su asíntota vertical calculando los límites laterales:

1. a) $\lim_{x \to 4^-} \frac{2}{x-4}$
2. b) $\lim_{x \to 4^+} \frac{2}{x-4}$

Indica razonadamente si existe el límite global en $x = 4$.

Dada la función $g(x) = \frac{|x-1|}{x^2-1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}}$, analiza la existencia de los límites laterales cuando $x \to 1$. Identifica las indeterminaciones que aparecen en cada lado y clasifica el tipo de discontinuidad en dicho punto.

Calcula el valor del siguiente límite que da lugar a la indeterminación del tipo $[1^\infty]$ utilizando la fórmula abreviada del número $e$:

Calcula el valor del siguiente límite exponencial que da lugar a una indeterminación del tipo $1^\infty$. Expresa el resultado en función del número $e$:

En el desarrollo de una nueva red social, el número de usuarios activos (en millones) sigue la función $U(t) = \left(\frac{2t+3}{2t-1}\right)^{t+1}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento (con $t>\frac{1}{2}$). Calcula a qué valor tiende el número de usuarios cuando el tiempo crece indefinidamente ($t \to +\infty$).

En el diseño de una nueva antena de telecomunicaciones, la intensidad de la señal $I$ en función de la distancia $d$ al repetidor viene dada por la expresión:

Calcula la intensidad límite de la señal cuando la distancia $d$ tiende a infinito (indeterminación del tipo $1^\infty$).

Halla el valor de los parámetros reales $a$ y $b$ para que el siguiente límite sea finito y valga $4$:

Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que se cumpla la igualdad siguiente:

Es decir, el límite debe ser un número real finito y valer $-\dfrac{1}{2}$. Una vez hallados $a$ y $b$, comprueba que el límite vale realmente $-\dfrac{1}{2}$.

Sea la función definida por tramos:

Halla los valores de $a$ y $k$ para que existan los límites laterales en $x=1$ y estos sean iguales a $2$. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta la función en $x=1$ si no definimos $f(1)$?