Resolución de triángulos oblicuángulos
Un topógrafo quiere saber a qué distancia está un punto de la otra orilla del río Paraguay, al que no puede llegar caminando, y solo puede medir ángulos y una distancia sobre la costa. ¿Cómo se resuelve un triángulo cuando no tiene ángulo recto? Ya conocés el teorema de los senos y el de los cosenos por separado: ahora toca decidir cuál usar primero y resolver el triángulo completo.
Qué datos tenés, qué teorema usar
Con tres datos (que incluyan al menos un lado) se puede resolver un triángulo, siempre que sean compatibles. En el caso lado-lado-ángulo opuesto puede haber cero, una o dos soluciones (el «caso ambiguo», que vemos más abajo). Según los datos, el camino más corto cambia.
Recordá las fórmulas (teoremas de los senos y de los cosenos): $\dfrac{a}{\sen A}=\dfrac{b}{\sen B}=\dfrac{c}{\sen C}=2R$ y $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$, donde $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita.
En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $a = 5$ cm y $b = 8$ cm, y el ángulo comprendido entre ellos $C = 60^\circ$. Calcula la longitud del lado $c$.
En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $a = 5$ cm y $b = 8$ cm, y el ángulo comprendido entre ellos $C = 60^\circ$. Calcula la longitud del lado $c$.
Los tres lados de un triángulo miden $a = 3$ m, $b = 5$ m y $c = 7$ m. Determina la medida del ángulo de mayor amplitud de dicho triángulo.
Los tres lados de un triángulo miden $a = 3$ m, $b = 5$ m y $c = 7$ m. Determina la medida del ángulo de mayor amplitud de dicho triángulo.
En un triángulo se conocen los siguientes datos: $a = 12$ m, $b = 8$ m y el ángulo $A = 120^\circ$. Calcula la medida del ángulo $B$.
En un triángulo se conocen los siguientes datos: $a = 12$ m, $b = 8$ m y el ángulo $A = 120^\circ$. Calcula la medida del ángulo $B$.
Resolver el triángulo completo
«Resolver» un triángulo es calcular sus tres lados y sus tres ángulos, combinando los dos teoremas en el orden que convenga.
Cuando los lados dependen de una incógnita, el teorema de los cosenos arma la ecuación.
En un triángulo $ABC$, los ángulos $A$ y $B$ miden $30^\circ$ y $105^\circ$ respectivamente. Si el lado opuesto al ángulo $A$ tiene una longitud de $a = 8$ cm, halla la…
En un triángulo $ABC$, los ángulos $A$ y $B$ miden $30^\circ$ y $105^\circ$ respectivamente. Si el lado opuesto al ángulo $A$ tiene una longitud de $a = 8$ cm, halla la longitud del lado $c$ (opuesto al ángulo $C$).
En un triángulo isósceles, el lado desigual (la base) mide $12$ m y los ángulos iguales miden $75^\circ$ cada uno. Determina la longitud de los lados iguales utilizando…
En un triángulo isósceles, el lado desigual (la base) mide $12$ m y los ángulos iguales miden $75^\circ$ cada uno. Determina la longitud de los lados iguales utilizando el teorema del seno.
En un triángulo $ABC$, el lado $a$ mide $10$ cm y el ángulo opuesto $A$ mide $45^\circ$. Calcula el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
En un triángulo $ABC$, el lado $a$ mide $10$ cm y el ángulo opuesto $A$ mide $45^\circ$. Calcula el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
Los lados de un triángulo vienen dados por las expresiones $x$, $x+2$ y $x+4$ centímetros. Sabiendo que el ángulo de mayor amplitud del triángulo mide $120^\circ$,…
Los lados de un triángulo vienen dados por las expresiones $x$, $x+2$ y $x+4$ centímetros. Sabiendo que el ángulo de mayor amplitud del triángulo mide $120^\circ$, plantea la ecuación correspondiente, halla el valor exacto de $x$ y calcula el perímetro del triángulo.
El caso ambiguo: dos soluciones
Si conocés dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos, el seno da $\sen B=k$. Pero hay dos ángulos entre $0^\circ$ y $180^\circ$ con el mismo seno: uno agudo $B_1$ y su suplementario $B_2=180^\circ-B_1$. Cada uno puede formar un triángulo distinto.
Resultado de tu turno: $d_2\approx8{,}8$ cm. El brazo puede tocar la base en dos puntos distintos: uno con el codo «hacia afuera» y otro más cerca del origen.
En el diseño de un brazo robótico articulado, el primer eslabón mide $40$ cm y el segundo mide $35$ cm. Si el ángulo que forma el primer eslabón con la base horizontal…
En el diseño de un brazo robótico articulado, el primer eslabón mide $40$ cm y el segundo mide $35$ cm. Si el ángulo que forma el primer eslabón con la base horizontal es de $50^\circ$ y el extremo del segundo eslabón toca exactamente la base horizontal, calcula las dos posibles distancias desde el origen del brazo hasta el punto de contacto en la base.
Área de un triángulo sin su altura
Si conocés dos lados y el ángulo que forman, no hace falta calcular la altura: hay una fórmula directa.
Cuando se conocen los tres lados, se puede usar la fórmula de Herón: con el semiperímetro $p=\dfrac{a+b+c}{2}$, $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$. Y con el área se obtienen el radio de la circunferencia circunscrita, $R=\dfrac{abc}{4S}$, y el de la inscrita, $r=\dfrac{S}{p}$.
Halla el área de un triángulo $ABC$ del que conocemos los lados $b = 14$ cm, $c = 20$ cm y el ángulo que forman, $A = 60^\circ$.
Halla el área de un triángulo $ABC$ del que conocemos los lados $b = 14$ cm, $c = 20$ cm y el ángulo que forman, $A = 60^\circ$.
Los lados adyacentes de un paralelogramo miden $6$ cm y $10$ cm, y forman un ángulo obtuso de $120^\circ$. Calcula la longitud de la diagonal mayor del paralelogramo.
Los lados adyacentes de un paralelogramo miden $6$ cm y $10$ cm, y forman un ángulo obtuso de $120^\circ$. Calcula la longitud de la diagonal mayor del paralelogramo.
En un triángulo $ABC$, se sabe que el lado $a = 10$ cm, el ángulo $B = 30^\circ$ y que el área total del triángulo es de $20\sqrt{3}$ cm$^2$. Plantea un sistema para…
En un triángulo $ABC$, se sabe que el lado $a = 10$ cm, el ángulo $B = 30^\circ$ y que el área total del triángulo es de $20\sqrt{3}$ cm$^2$. Plantea un sistema para hallar el valor exacto de los lados $b$ y $c$, y averigua la medida de los ángulos $A$ y $C$.
En un triángulo $ABC$ de lados $a=13$ cm, $b=14$ cm y $c=15$ cm, se trazan la circunferencia circunscrita de radio $R$ y la circunferencia inscrita de radio $r$. Calcula…
En un triángulo $ABC$ de lados $a=13$ cm, $b=14$ cm y $c=15$ cm, se trazan la circunferencia circunscrita de radio $R$ y la circunferencia inscrita de radio $r$. Calcula el área del triángulo utilizando la fórmula de Herón y, a partir de ella, obtén los valores exactos de $R$ y $r$.
Relación de proyecciones
Hay una relación que une los tres lados con dos ángulos y que sale de trazar una altura.
¿Por qué? Trazá la altura desde $A$ hasta el pie $H$ sobre el lado $a$. En el triángulo rectángulo $ABH$, $BH=c\cos B$; en el $AHC$, $HC=b\cos C$. Como $a=BH+HC$, resulta la relación. Si $B$ o $C$ fueran obtusos, el coseno es negativo y la fórmula sigue valiendo, porque la proyección queda «hacia afuera» del lado.
Demuestra geométricamente o mediante el uso de los teoremas trigonométricos (Seno y Coseno) que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple la relación de proyecciones:…
Demuestra geométricamente o mediante el uso de los teoremas trigonométricos (Seno y Coseno) que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple la relación de proyecciones: $a = b \cos C + c \cos B$. A continuación, utiliza esta identidad junto con el teorema del seno para demostrar la fórmula del seno de la suma de dos ángulos: $\sin(B+C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C$.
Triangulación en ingeniería y navegación
Medir ángulos y distancias desde puntos conocidos permite ubicar un punto inaccesible: un barco en el río Paraná, la cima de un cerro o una torre de telefonía cerca de Encarnación.
En los problemas de alturas (como medir el aerogenerador desde dos puntos), el ángulo del triángulo oblicuo no se mide directamente: se obtiene por diferencia de ángulos, y después se usa el seno para hallar un lado y un triángulo rectángulo para la altura. Lo mismo vale para la placa solar apoyada en un techo inclinado.
Con fuerzas, dos tensiones que forman un ángulo $\alpha$ se componen con el paralelogramo: la resultante es el tercer lado de un triángulo cuyo ángulo comprendido es $180^\circ-\alpha$. Se usa el coseno para su módulo y el seno para el ángulo que forma con cada cable.
Dos barcos salen simultáneamente de un puerto con rutas rectilíneas que forman entre sí un ángulo de $75^\circ$. El primer barco navega a una velocidad constante de $15$…
Dos barcos salen simultáneamente de un puerto con rutas rectilíneas que forman entre sí un ángulo de $75^\circ$. El primer barco navega a una velocidad constante de $15$ nudos y el segundo a $20$ nudos. Calcula la distancia en millas náuticas que separará a ambos barcos al cabo de $2$ horas de navegación.
Un dron de vigilancia se encuentra en un punto $C$ observando un tramo recto de carretera delimitado por dos ciudades $A$ y $B$ que distan $5$ km entre sí. Los ángulos…
Un dron de vigilancia se encuentra en un punto $C$ observando un tramo recto de carretera delimitado por dos ciudades $A$ y $B$ que distan $5$ km entre sí. Los ángulos de depresión desde el dron hacia las ciudades son tales que en el triángulo formado, el ángulo en $A$ es de $35^\circ$ y el ángulo en $B$ es de $62^\circ$. Calcula la altitud a la que vuela el dron respecto a la carretera.
Para medir la altura $h$ de un aerogenerador, nos situamos en un punto $A$ en el suelo y medimos el ángulo de elevación hasta el punto más alto, obteniendo $40^\circ$.…
Para medir la altura $h$ de un aerogenerador, nos situamos en un punto $A$ en el suelo y medimos el ángulo de elevación hasta el punto más alto, obteniendo $40^\circ$. Avanzamos $30$ metros en línea recta hacia la base del aerogenerador hasta llegar a un punto $B$, desde donde el nuevo ángulo de elevación es de $55^\circ$. Calcula la altura del aerogenerador.
Dos remolcadores tiran de una barcaza mediante dos cables que forman entre sí un ángulo de $45^\circ$. Si las tensiones ejercidas por los cables son de $4500$ N y $6000$…
Dos remolcadores tiran de una barcaza mediante dos cables que forman entre sí un ángulo de $45^\circ$. Si las tensiones ejercidas por los cables son de $4500$ N y $6000$ N, halla la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo que forma dicha resultante con el cable que ejerce la fuerza de $6000$ N.
Una placa solar de $2$ metros de longitud se va a instalar sobre un tejado plano que tiene una inclinación de $15^\circ$ respecto a la horizontal. Para maximizar su…
Una placa solar de $2$ metros de longitud se va a instalar sobre un tejado plano que tiene una inclinación de $15^\circ$ respecto a la horizontal. Para maximizar su rendimiento, la placa debe formar un ángulo de $35^\circ$ con respecto a la horizontal. Calcula la longitud $x$ del soporte vertical que debe colocarse en el extremo superior de la placa para unirla con el tejado.
Dos aviones vuelan a la misma altitud. El avión 1 se encuentra en el punto $A$ y vuela hacia el Norte a una velocidad constante de $800$ km/h. El avión 2 se encuentra en…
Dos aviones vuelan a la misma altitud. El avión 1 se encuentra en el punto $A$ y vuela hacia el Norte a una velocidad constante de $800$ km/h. El avión 2 se encuentra en el punto $B$, situado a $200$ km exactos al Noreste ($45^\circ$ respecto al Norte) del punto $A$. Si el avión 2 vuela hacia el Oeste a una velocidad constante $v$ y ambos colisionan en un punto $C$, determina el valor de la velocidad $v$ y el tiempo que tardan en colisionar.
Una pirámide regular de base cuadrada tiene un lado de la base de $100$ m. Sabiendo que el ángulo diedro que forman dos caras triangulares adyacentes es de $105^\circ$,…
Una pirámide regular de base cuadrada tiene un lado de la base de $100$ m. Sabiendo que el ángulo diedro que forman dos caras triangulares adyacentes es de $105^\circ$, plantea la geometría de la sección transversal adecuada y calcula la altura total de la pirámide.
Cuadriláteros y polígonos: dividir en triángulos
Cualquier cuadrilátero o polígono se resuelve trazando diagonales y aplicando los teoremas a cada triángulo.
Para un polígono regular de $n$ lados inscrito en una circunferencia de radio $R$, los triángulos centrales son isósceles con ángulo central $\dfrac{360^\circ}{n}$ y dos lados iguales a $R$: el coseno da el lado y $\frac12R^2\sen\dfrac{360^\circ}{n}$ el área de cada triángulo.
Un terreno agrícola tiene forma de cuadrilátero $ABCD$. Las medidas de sus lados son $AB = 50$ m, $BC = 40$ m, $CD = 30$ m y $DA = 60$ m. Sabiendo que el ángulo en el…
Un terreno agrícola tiene forma de cuadrilátero $ABCD$. Las medidas de sus lados son $AB = 50$ m, $BC = 40$ m, $CD = 30$ m y $DA = 60$ m. Sabiendo que el ángulo en el vértice $B$ es de $70^\circ$, calcula el área total del terreno dividiéndolo en dos triángulos.
Un heptágono regular (polígono de $7$ lados iguales) está inscrito en una circunferencia de $10$ cm de radio. Utilizando el teorema del coseno y/o del seno en los…
Un heptágono regular (polígono de $7$ lados iguales) está inscrito en una circunferencia de $10$ cm de radio. Utilizando el teorema del coseno y/o del seno en los triángulos centrales, calcula el perímetro y el área de dicho heptágono.
Las manecillas de un reloj de pared miden $12$ cm (el minutero) y $8$ cm (la aguja horaria). Calcula la distancia exacta en centímetros que separa las puntas de ambas…
Las manecillas de un reloj de pared miden $12$ cm (el minutero) y $8$ cm (la aguja horaria). Calcula la distancia exacta en centímetros que separa las puntas de ambas manecillas cuando el reloj marca exactamente las 10:10. Ten en cuenta el desplazamiento proporcional de la aguja horaria.
Longitud de una bisectriz
La bisectriz interior del ángulo $C$ lo parte en dos ángulos iguales de $\frac C2$ y divide al triángulo en dos triángulos menores. Con eso se calcula su longitud $x$ sin trazar nada más.
Resultado de tu turno: $x=\dfrac{2\cdot35\cdot\frac{2}{\sqrt7}}{12}=\dfrac{35}{3\sqrt7}=\dfrac{5\sqrt7}{3}\approx4{,}41$ cm.
Dado el triángulo $ABC$ con lados $a = 7$ cm, $b = 5$ cm y $c = 8$ cm. Se traza la bisectriz interior del ángulo $C$, que corta al lado $AB$ en el punto $D$. Aplicando…
Dado el triángulo $ABC$ con lados $a = 7$ cm, $b = 5$ cm y $c = 8$ cm. Se traza la bisectriz interior del ángulo $C$, que corta al lado $AB$ en el punto $D$. Aplicando el teorema del coseno para hallar el ángulo $C$ y utilizando las propiedades de las áreas o el teorema del seno, calcula la longitud exacta del segmento bisectriz $CD$ (denotado como $x$).
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Resumen
Volvé al principio: el topógrafo mide una base sobre la costa y los dos ángulos hacia el punto de la otra orilla; con el teorema de los senos obtiene la distancia que no puede recorrer.