Ejercicios
Tres antenas de telefonía cerca de Villarrica están ubicadas en tres puntos distintos. Tu celular recibe de las tres con la misma intensidad, es decir, estás a igual distancia de cada una. ¿Dónde estás parado? Para responder hay que reconocer qué curva o qué recta describe cada condición y saber resolverla. Eso es lo que practicás en esta página.
¿Qué cónica es? Mirá la ecuación
Ya conocés la circunferencia, la parábola y la elipse por separado. Ahora el desafío es mirar una ecuación y decidir rápido de qué curva se trata.
Para hallar centro y radio (o semiejes) se completan cuadrados en $x$ y en $y$ por separado.
Determina las coordenadas del centro y la longitud del radio de la circunferencia cuya ecuación general es $x^2 + y^2 - 8x + 10y - 8 = 0$.
Determina las coordenadas del centro y la longitud del radio de la circunferencia cuya ecuación general es $x^2 + y^2 - 8x + 10y - 8 = 0$.
Una circunferencia tiene su centro en el punto $C(-3, 5)$ y pasa por el origen de coordenadas. Escribe su ecuación reducida y su ecuación general.
Una circunferencia tiene su centro en el punto $C(-3, 5)$ y pasa por el origen de coordenadas. Escribe su ecuación reducida y su ecuación general.
Dada la cónica de ecuación general $9x^2 + 25y^2 - 54x + 200y + 256 = 0$. Clasifícala completando cuadrados y halla las coordenadas de su centro, sus vértices, sus focos…
Dada la cónica de ecuación general $9x^2 + 25y^2 - 54x + 200y + 256 = 0$. Clasifícala completando cuadrados y halla las coordenadas de su centro, sus vértices, sus focos y el valor de su excentricidad.
Elementos de la elipse y de la parábola
Con la ecuación reducida ya ordenada se leen los datos de la curva.
| Curva | Ecuación reducida | Datos |
|---|---|---|
| Circunferencia | $x^2+y^2=r^2$ | centro $(0; 0)$, radio $r$ |
| Elipse (eje focal en $x$) | $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$, con $a>b$ | semiejes $a$ y $b$; $c^2=a^2-b^2$; focos $(\pm c; 0)$; $e=\dfrac{c}{a}$, con $0 |
| Parábola (eje $x$) | $y^2=4px$ | vértice $(0; 0)$, foco $(p; 0)$, directriz $x=-p$, lado recto $4p$ |
| Parábola (eje $y$) | $x^2=4py$ | foco $(0; p)$, directriz $y=-p$ |
La relación $c^2=a^2-b^2$ sale del triángulo rectángulo de la figura: la hipotenusa mide $a$ y los catetos, $b$ y $c$. Si el número mayor está bajo $y^2$, el eje focal es el eje $y$ y los focos son $(0; \pm c)$.
Halla la longitud de los semiejes, las coordenadas de los focos y la excentricidad de la elipse de ecuación $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$.
Halla la longitud de los semiejes, las coordenadas de los focos y la excentricidad de la elipse de ecuación $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$.
Encuentra las coordenadas del vértice, del foco y la ecuación de la recta directriz de la parábola $y^2 = -20x$.
Encuentra las coordenadas del vértice, del foco y la ecuación de la recta directriz de la parábola $y^2 = -20x$.
Ampliación: la hipérbola
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias, en valor absoluto, a dos puntos fijos (los focos) es constante e igual a $2a$.
A diferencia de la elipse, acá $c>a$ y se suma: $c^2=a^2+b^2$.
Dada la hipérbola de ecuación $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determina sus vértices, sus focos y las ecuaciones de sus asíntotas.
Dada la hipérbola de ecuación $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determina sus vértices, sus focos y las ecuaciones de sus asíntotas.
Identifica el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias, en valor absoluto, a los puntos $F_1(5, 0)$ y $F_2(-5, 0)$ es siempre igual a $8$.…
Identifica el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias, en valor absoluto, a los puntos $F_1(5, 0)$ y $F_2(-5, 0)$ es siempre igual a $8$. Escribe su ecuación reducida.
Una partícula subatómica se mueve en un campo magnético describiendo una trayectoria hiperbólica equilátera cuyas asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas.…
Una partícula subatómica se mueve en un campo magnético describiendo una trayectoria hiperbólica equilátera cuyas asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas. Sabiendo que la partícula pasa por el punto $P(4, 2)$, resuelve:
- a) Halla la ecuación de la trayectoria.
- b) Determina las coordenadas exactas de los vértices y de los focos.
- c) Representa gráficamente la curva (en la figura tienes los ejes y el punto $P$; puedes copiarla en tu cuaderno).
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
¿Qué curva es? Mirá el enunciado
Cuando no te dan la ecuación, fijate en la condición de distancias. Para hallar el lugar geométrico: llamá $P(x; y)$ al punto genérico, escribí la condición con la fórmula de distancia, elevá al cuadrado y simplificá.
Mediatriz. Es el lugar de los puntos equidistantes de $A$ y $B$. Es una recta, perpendicular al segmento $AB$ por su punto medio.
Bisectrices. Son los puntos equidistantes de dos rectas $a_1x+b_1y+c_1=0$ y $a_2x+b_2y+c_2=0$:
$$\frac{|a_1x+b_1y+c_1|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\frac{|a_2x+b_2y+c_2|}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$$Al quitar el módulo salen dos rectas, una por cada signo, y son perpendiculares entre sí.
Halla la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$.
Halla la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$.
Escribe las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas $r: 3x - 4y + 12 = 0$ y $s: 5x + 12y - 10 = 0$.
Escribe las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas $r: 3x - 4y + 12 = 0$ y $s: 5x + 12y - 10 = 0$.
Lugares geométricos que dan una cónica
Hay tres planteos típicos:
-
Razón de distancias a dos puntos. Si $d(P,A)=k\cdot d(P,B)$ con $k\neq 1$, el resultado es una circunferencia (de Apolonio), no una elipse ni una hipérbola. La elipse pide suma constante; la hipérbola, diferencia constante.
-
Producto de pendientes constante. Para $A(-a; 0)$ y $B(a; 0)$ se escribe $\dfrac{y}{x+a}\cdot\dfrac{y}{x-a}=k$, o sea $y^2=k(x^2-a^2)$. Si $k<0$ da una elipse; si $k>0$, una hipérbola.
-
Foco y directriz. Si $d(P,F)=e\cdot d(P,\text{recta})$, con $0
Un dron submarino se mueve de tal forma que su distancia a una boya fija en $A(-2, 0)$ es siempre el doble de su distancia a otra boya fija en $B(4, 0)$. Halla la…
Un dron submarino se mueve de tal forma que su distancia a una boya fija en $A(-2, 0)$ es siempre el doble de su distancia a otra boya fija en $B(4, 0)$. Halla la ecuación de la trayectoria del dron, simplifícala e identifica qué tipo de curva geométrica describe.
Halla el lugar geométrico de los puntos del plano $P(x, y)$ tales que el producto de las pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos $A(-4, 0)$ y…
Halla el lugar geométrico de los puntos del plano $P(x, y)$ tales que el producto de las pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos $A(-4, 0)$ y $B(4, 0)$ es igual a $-\frac{9}{16}$. Identifica la cónica resultante, calcula su excentricidad y represéntala gráficamente.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto fijo $F(4, 0)$ es igual a la mitad de su distancia a la recta vertical…
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto fijo $F(4, 0)$ es igual a la mitad de su distancia a la recta vertical $x = 16$. Identifica la cónica resultante, halla sus semiejes y represéntala gráficamente ilustrando la propiedad de la directriz.
Problemas de contexto con varios pasos
En los problemas reales casi nunca te dan $a$, $b$ o $p$ directamente. Primero elegís los ejes (conviene el centro o el vértice en el origen), luego traducís los datos del enunciado a puntos o medidas, después escribís la ecuación y por último respondés lo que se pregunta.
Para la órbita de un satélite, por ejemplo, el planeta está en un foco. La distancia mínima es $a-c$ y la máxima es $a+c$.
Tres estaciones sísmicas detectan un terremoto en las coordenadas $A(1, 4)$, $B(-3, 2)$ y $C(5, -2)$ (en kilómetros). Suponiendo que las ondas sísmicas viajan a la misma…
Tres estaciones sísmicas detectan un terremoto en las coordenadas $A(1, 4)$, $B(-3, 2)$ y $C(5, -2)$ (en kilómetros). Suponiendo que las ondas sísmicas viajan a la misma velocidad y llegan al mismo tiempo a las tres estaciones, halla las coordenadas del epicentro y el radio de la zona afectada (distancia a las estaciones).
Un satélite describe una órbita elíptica alrededor de un planeta, el cual se encuentra situado en uno de sus focos. La distancia mínima del satélite al planeta…
Un satélite describe una órbita elíptica alrededor de un planeta, el cual se encuentra situado en uno de sus focos. La distancia mínima del satélite al planeta (periastro) es de $3 \text{ Mm}$ y la distancia máxima (apoastro) es de $9 \text{ Mm}$. Determina la ecuación de la órbita y su excentricidad, asumiendo que el centro de la elipse está en el origen y el eje focal coincide con el eje de abscisas.
La sección transversal de una torre de refrigeración nuclear tiene forma de hipérbola. La parte más estrecha de la torre mide $40 \text{ m}$ de ancho y se encuentra a…
La sección transversal de una torre de refrigeración nuclear tiene forma de hipérbola. La parte más estrecha de la torre mide $40 \text{ m}$ de ancho y se encuentra a $50 \text{ m}$ de altura sobre el suelo. Si la base de la torre tiene un ancho de $80 \text{ m}$, halla la ecuación de la hipérbola asumiendo que su centro coincide con el centro de la parte más estrecha.
El cable principal de un puente colgante adopta forma parabólica. Las dos torres que lo sostienen están separadas $120 \text{ m}$ y tienen una altura de $40 \text{ m}$…
El cable principal de un puente colgante adopta forma parabólica. Las dos torres que lo sostienen están separadas $120 \text{ m}$ y tienen una altura de $40 \text{ m}$ sobre el tablero del puente. El punto más bajo del cable se encuentra a $10 \text{ m}$ sobre el tablero. Determina la ecuación de la parábola y calcula la altura del cable a $30 \text{ m}$ del centro del puente.
Cónicas y rectas: puntos de corte
Para hallar dónde una recta corta a una cónica, despejás una variable de la recta y sustituís en la cónica. Queda una ecuación de segundo grado cuyo discriminante $\Delta$ decide:
-
$\Delta>0$: dos puntos de corte (recta secante).
-
$\Delta=0$: un punto doble (recta tangente).
-
$\Delta<0$: ningún punto (recta exterior).
Para graficar la situación, dibujá la cónica con su centro y sus datos, trazá la recta con dos puntos y marcá los cortes.
También sirve para sistemas entre dos cónicas, por ejemplo una parábola y otra curva. Despejás un cuadrado de una ecuación, sustituís en la otra y resolvés. Verificá cada solución en las dos ecuaciones y recordá que cada valor de la variable que se mantiene en el cuadrado puede dar dos puntos (con $\pm$).
Calcula los puntos de intersección entre la circunferencia $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ y la recta $x - y - 2 = 0$. Representa gráficamente la situación mostrando…
Calcula los puntos de intersección entre la circunferencia $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ y la recta $x - y - 2 = 0$. Representa gráficamente la situación mostrando ambos lugares geométricos y los puntos de corte.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Un cometa sigue una trayectoria parabólica dada por la ecuación $y^2 = 8x$. Un asteroide sigue una órbita hiperbólica equilátera descrita por $x^2 - y^2 = 9$. Halla las…
Un cometa sigue una trayectoria parabólica dada por la ecuación $y^2 = 8x$. Un asteroide sigue una órbita hiperbólica equilátera descrita por $x^2 - y^2 = 9$. Halla las coordenadas exactas de los puntos de intersección de ambas trayectorias.
Tangentes y circunferencias entre sí
Tangente en un punto $(x_0; y_0)$ de la curva. Se reemplaza en la ecuación y se obtiene la recta directamente:
| Curva | Tangente en $(x_0; y_0)$ |
|---|---|
| Circunferencia $x^2+y^2=r^2$ | $x_0x+y_0y=r^2$ |
| Elipse $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ | $\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1$ |
| Parábola $y^2=4px$ | $y_0y=2p(x+x_0)$ |
Estas fórmulas salen de imponer $\Delta=0$ al cortar la curva con una recta que pasa por el punto.
Tangentes desde un punto exterior. Escribís la recta por el punto con pendiente $m$ y exigís que la distancia del centro a la recta sea igual al radio. Revisá también si la recta vertical por ese punto es tangente, porque no tiene pendiente.
Ángulo entre dos rectas de pendientes $m_1$ y $m_2$: $\tan\theta=\left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$.
Dos circunferencias. Si restás sus ecuaciones generales, desaparecen $x^2$ e $y^2$ y queda una recta: el eje radical. Contiene a los puntos de corte. Para ver que son secantes, comprobá que $|r1-r2| Un radar marítimo tiene un alcance de detección modelado por el círculo $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 \leq 0$. Un barco sigue una trayectoria rectilínea dada por la ecuación $3x + 4y + k = 0$. Determina los valores del parámetro $k$ para los cuales el barco es detectado por el radar en algún momento de su trayectoria. Un rayo láser incide sobre un espejo elíptico cuya forma viene dada por la ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$. El punto de incidencia tiene abscisa $x = 3$ y ordenada positiva. Halla la ecuación de la recta tangente al espejo en dicho punto. Desde una estación de control situada en el punto $P(0, 7)$ se envían señales láser a un satélite cuya órbita circular en ese instante viene dada por la ecuación $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 15 = 0$. Halla las ecuaciones de las dos trayectorias rectilíneas tangentes a la órbita desde la estación de control. Para la reflexión de un rayo en un faro parabólico (DIFICIL-04), usá la tangente en el punto y el ángulo entre rectas. Para dos circunferencias (DIFICIL-05), usá el eje radical. Un faro de automóvil tiene una sección transversal parabólica. La bombilla se encuentra en el foco $F(3, 0)$ y el vértice de la parábola está en el origen de coordenadas. Un rayo de luz sale de la bombilla, incide en la parábola en un punto de ordenada $y = 6$ y se refleja. Calcula la ecuación de la recta tangente en el punto de incidencia y halla el ángulo que forma el rayo incidente con dicha tangente. Dos redes de telecomunicaciones tienen áreas de cobertura modeladas por las circunferencias $C_1: x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ y $C_2: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$. Halla la ecuación del eje radical, demuestra analíticamente que las circunferencias son secantes y calcula la distancia exacta entre sus puntos de intersección.Un radar marítimo tiene un alcance de detección modelado por el círculo $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 \leq 0$. Un barco sigue una trayectoria rectilínea dada por la ecuación…
Un rayo láser incide sobre un espejo elíptico cuya forma viene dada por la ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$. El punto de incidencia tiene abscisa $x = 3$ y…
Desde una estación de control situada en el punto $P(0, 7)$ se envían señales láser a un satélite cuya órbita circular en ese instante viene dada por la ecuación…
Un faro de automóvil tiene una sección transversal parabólica. La bombilla se encuentra en el foco $F(3, 0)$ y el vértice de la parábola está en el origen de…
Dos redes de telecomunicaciones tienen áreas de cobertura modeladas por las circunferencias $C_1: x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ y $C_2: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$. Halla la…