Transformaciones de funciones

Dada la función $f(x) = x^2 - 3x$, escribe la expresión algebraica de la función $g(x)$ que se obtiene al trasladar la gráfica de $f(x)$ cuatro unidades hacia la izquierda y dos unidades hacia arriba.

Un globo aerostático desciende con una velocidad constante. Su altitud en metros viene dada por $A(t) = 800 - 50t$, donde $t$ es el tiempo en minutos. Un segundo globo inicia su descenso $10$ minutos más tarde exactamente con el mismo perfil de vuelo. Escribe la expresión de la altitud del segundo globo $B(t)$ en función de $A(t)$ y desarrolla su expresión algebraica final.

Observa la gráfica de la función $f(x)$ definida en el intervalo $[-4, 4]$. Determina el dominio y el recorrido de la función transformada $g(x) = f(x-3) + 1$.

El beneficio mensual de una pequeña empresa tecnológica, en miles de guaraníes, se modeliza mediante la función $B(x) = -14\,000x^2 + 84\,000x - 70\,000$, donde $x$ representa el mes del año ($x=1$ para enero, etc.). La empresa decide retrasar el lanzamiento de su campaña de marketing un mes, lo que supone un desplazamiento horizontal de la curva de beneficios, y además asume un incremento de costos fijos de $21\,000$ mil guaraníes mensuales. Encontrá la nueva expresión de la función de beneficios $N(x)$ y determiná en qué mes se alcanzará ahora el beneficio máximo.

La gráfica de una función $f(x)$ pasa por el punto $P(-3, 5)$. Determina las coordenadas del punto homólogo en las gráficas de las siguientes funciones transformadas:

• $g(x) = -f(x)$

• $h(x) = f(-x)$

• $i(x) = 2f(x)$

• $j(x) = f(x) - 4$

La función $C(x)$ representa el costo en guaraníes de producir $x$ componentes electrónicos. Debido a una mejora tecnológica en la cadena de montaje, ahora se puede producir el triple de componentes por exactamente el mismo costo total. Expresá la nueva función de costo $N(x)$ en términos de la función original $C(x)$.

Dada la función elemental $f(x) = \frac{1}{x}$, indica qué transformaciones geométricas (traslaciones, dilataciones, reflexiones) hay que aplicar sucesivamente, y en qué orden, para obtener la función $g(x) = -\frac{3}{x} + 2$.

La gráfica de la función $f(x)$ está formada por dos segmentos de recta que unen los puntos $(-4, -2)$, $(0, 4)$ y $(4, -2)$. Se define una nueva función mediante la transformación $g(x) = -f\left(\frac{x}{2}\right) + 3$.

• Describe la secuencia ordenada de transformaciones geométricas aplicadas a $f(x)$.

• Calcula las coordenadas exactas de los nuevos vértices de la gráfica de $g(x)$.

Dada la función elemental $f(x) = \sqrt{x}$, queremos obtener la función $g(x) = \sqrt{4x - 12} + 5$.

Explica detalladamente dos secuencias diferentes de transformaciones geométricas (alterando el orden de las traslaciones y dilataciones horizontales) que permiten obtener $g(x)$ a partir de $f(x)$. Demuestra algebraicamente que ambas secuencias conducen a la misma expresión.

Expresa la función racional $f(x) = \frac{2x + 7}{x + 1}$ en la forma $f(x) = k + \frac{m}{x+1}$, efectuando la división de polinomios. A partir de este resultado, describe paso a paso las transformaciones geométricas que hay que aplicar a la hipérbola equilátera $y = \frac{1}{x}$ para obtener la gráfica de $f(x)$.

Sea $f(x)$ una función real impar y periódica de periodo $T=6$. A partir de ella se define la función transformada $g(x) = f(x-2) + f(x+2)$.

Demuestra analíticamente si la función $g(x)$ es par, impar o ninguna de las dos cosas. Determina también si $g(x)$ es periódica y, en caso afirmativo, calcula su periodo mínimo.

Encuentra los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la gráfica de la función racional $f(x) = \frac{ax + 3}{x + b}$ sea simétrica con respecto al punto $C(4, 2)$.

A partir de la gráfica de la función $f(x)$ mostrada en la figura, describe los pasos geométricos necesarios para obtener la gráfica de la función $g(x) = |f(x)|$ y calcula las coordenadas de los nuevos vértices o puntos de inflexión.

Expresa la función $g(x) = |-x^2 + 4|$ como una función definida a trozos, eliminando el valor absoluto e indicando claramente los intervalos donde la expresión original cambia de signo.

En la figura se muestra la curva de luz de una estrella variable, modelada por la función $L(t) = 4 \sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 10$, donde $t$ se mide en días y $L$ en unidades de luminosidad. Una densa nube de polvo cósmico oscurece la estrella de tal forma que la luminosidad observada $O(t)$ desde la Tierra es exactamente el valor absoluto de la diferencia entre $L(t)$ y su luminosidad media.

Determina la expresión analítica de $O(t)$, calcula su nuevo periodo y encuentra en qué instantes $t \in [0, 12]$ la luminosidad observada es máxima.