Secciones cónicas y lugares geométricos
Una antena parabólica, la órbita de un nanosatélite, el reflector de un faro sobre el río Paraguay y la forma en que un barco se ubica con dos estaciones costeras parecen cosas sin relación. Sin embargo, las curvas que aparecen son solo cuatro, y las cuatro salen de cortar un cono con un plano. Además, cada una se puede describir con una condición sobre distancias. En esta página aprendés a pasar de esa condición a una ecuación, y a reconocer qué curva es.
Cortar un cono: de dónde salen las cónicas
La hipérbola aparece cuando el plano es casi vertical y corta a las dos hojas del cono, como en un reloj de arena. Por eso tiene dos ramas separadas.
Un cono de revolución se corta con un plano que no pasa por su vértice. Si el plano es paralelo a una única generatriz del cono, ¿qué sección cónica se obtiene?…
Un cono de revolución se corta con un plano que no pasa por su vértice. Si el plano es paralelo a una única generatriz del cono, ¿qué sección cónica se obtiene? Justifica tu respuesta basándote en la definición geométrica de las secciones cónicas.
Lugar geométrico: plantear con P(x,y)
Ya conocés dos ejemplos: la mediatriz de un segmento (puntos que equidistan de sus extremos) y la circunferencia (puntos a distancia fija del centro). Arrastrá el punto y observá que la condición se mantiene.
El método es siempre el mismo y no depende de la curva:
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Llamá $P(x,y)$ a un punto genérico del lugar.
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Escribí la condición con la fórmula de distancia $d(P,A)=\sqrt{(x-x_A)^2+(y-y_A)^2}$.
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Eliminá las raíces (elevando al cuadrado) y simplificá.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al origen de coordenadas es siempre igual a $5$.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al origen de coordenadas es siempre igual a $5$.
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$. ¿Qué figura geométrica representa?
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$. ¿Qué figura geométrica representa?
Durante una excavación arqueológica se descubre un fragmento del borde de un plato circular antiguo. Para reconstruir su tamaño original, se digitaliza el fragmento y se…
Durante una excavación arqueológica se descubre un fragmento del borde de un plato circular antiguo. Para reconstruir su tamaño original, se digitaliza el fragmento y se toman tres puntos de su contorno: $A(-2, 1)$, $B(2, 5)$ y $C(4, 1)$. Utilizando el concepto de lugar geométrico (intersección de mediatrices), calcula las coordenadas del centro original del plato y su radio.
Distancia a una recta y paralelas
Para condiciones con rectas hace falta la distancia de un punto a una recta. Si la recta es $Ax+By+C=0$ y el punto es $P(x,y)$:
Al plantear una condición con esta fórmula, el valor absoluto se «abre» en dos casos: $|u|=c$ equivale a $u=c$ o $u=-c$. Por eso suelen salir dos rectas.
Halla las ecuaciones del lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia constante de $3$ unidades de la recta $4x - 3y + 2 = 0$.
Halla las ecuaciones del lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia constante de $3$ unidades de la recta $4x - 3y + 2 = 0$.
Determina el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas paralelas $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: x + 2y + 6 = 0$.
Determina el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas paralelas $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: x + 2y + 6 = 0$.
Rectas secantes: las bisectrices
Dos rectas que se cortan forman cuatro ángulos. Los puntos que equidistan de ellas están en las dos bisectrices, que son perpendiculares entre sí.
Determina las ecuaciones de los lugares geométricos de los puntos que equidistan de las rectas secantes $r: 3x - 4y + 5 = 0$ y $s: 4x + 3y - 1 = 0$.
Determina las ecuaciones de los lugares geométricos de los puntos que equidistan de las rectas secantes $r: 3x - 4y + 5 = 0$ y $s: 4x + 3y - 1 = 0$.
En el plano de una ciudad, dos avenidas rectas siguen las ecuaciones $r: 2x + y - 4 = 0$ y $s: x - 2y + 3 = 0$. Se desea construir una plaza en un punto que equidiste de…
En el plano de una ciudad, dos avenidas rectas siguen las ecuaciones $r: 2x + y - 4 = 0$ y $s: x - 2y + 3 = 0$. Se desea construir una plaza en un punto que equidiste de ambas avenidas y que, por restricciones urbanísticas, esté situado sobre la calle peatonal $x + y = 5$. Calcula las coordenadas de las posibles ubicaciones para la plaza.
Condiciones con cuadrados de distancias
Cuando la condición ya viene con distancias al cuadrado, no hay raíces que eliminar. Solo hay que escribir y desarrollar.
Con tres puntos fijos y la suma de los tres cuadrados el resultado sigue siendo una circunferencia, ahora centrada en el baricentro (el promedio de las tres coordenadas).
Halla el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos $A(1,0)$ y $B(-1,0)$ es igual a $8$, es decir,…
Halla el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos $A(1,0)$ y $B(-1,0)$ es igual a $8$, es decir, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 8$.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos $A(2,0)$ y $B(-2,0)$ es igual a $20$.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos $A(2,0)$ y $B(-2,0)$ es igual a $20$.
Tres sensores sísmicos están ubicados en las coordenadas $A(0,0)$, $B(4,0)$ y $C(0,4)$. Un dron de calibración vuela en el mismo plano de modo que la suma de los…
Tres sensores sísmicos están ubicados en las coordenadas $A(0,0)$, $B(4,0)$ y $C(0,4)$. Un dron de calibración vuela en el mismo plano de modo que la suma de los cuadrados de sus distancias a los tres sensores se mantiene constante e igual a $50$. Halla la ecuación del lugar geométrico de la trayectoria del dron y describe la figura resultante.
Un velero navega de modo que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a dos boyas situadas en $A(-3, -1)$ y $B(5, 5)$ es siempre constante e igual a $32$. Es…
Un velero navega de modo que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a dos boyas situadas en $A(-3, -1)$ y $B(5, 5)$ es siempre constante e igual a $32$. Es decir, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 32$. Halla la ecuación del lugar geométrico de la trayectoria del velero y demuestra analíticamente que dicha trayectoria es una recta perpendicular al segmento que une las dos boyas.
Razón de distancias constante: la circunferencia de Apolonio
¿Qué pasa si un punto se mantiene siempre al doble de distancia de $A$ que de $B$? Con $k=1$ sería la mediatriz. Con $k\ne1$ el resultado sorprende.
En un proyecto de telecomunicaciones, se ubican dos antenas emisoras en los puntos $A(-3,0)$ y $B(3,0)$ de un plano cartesiano (en km). Un receptor $R(x,y)$ se mueve de…
En un proyecto de telecomunicaciones, se ubican dos antenas emisoras en los puntos $A(-3,0)$ y $B(3,0)$ de un plano cartesiano (en km). Un receptor $R(x,y)$ se mueve de forma que su distancia a la antena $A$ es siempre el doble que su distancia a la antena $B$. Halla la ecuación del lugar geométrico que describe el receptor e identifica de qué cónica se trata, indicando su centro y su radio.
Parábola: un punto y una recta
La gráfica muestra $y=\dfrac{x^2}{4p}$ para distintos valores de $p$. En este caso el foco es $F(0,p)$ y la directriz es $y=-p$, así que $p$ es la distancia del foco al vértice. En la página de la parábola vas a profundizar en esto; acá nos interesa plantear.
El reflector de un faro marítimo tiene un perfil diseñado de manera que la distancia de cualquier punto de su superficie al foco emisor de luz, situado en $F(0,2)$, es…
El reflector de un faro marítimo tiene un perfil diseñado de manera que la distancia de cualquier punto de su superficie al foco emisor de luz, situado en $F(0,2)$, es exactamente igual a su distancia a una línea de referencia horizontal de ecuación $y = -2$. Determina la ecuación del lugar geométrico del perfil del reflector.
Un móvil se desplaza en el plano cartesiano de manera que su distancia a la recta vertical $x = k$ es igual a su distancia al punto fijo $F(2,0)$. Determiná la ecuación…
Un móvil se desplaza en el plano cartesiano de manera que su distancia a la recta vertical $x = k$ es igual a su distancia al punto fijo $F(2,0)$. Determiná la ecuación del lugar geométrico en función del parámetro $k$. ¿Para qué valor exacto de $k$ el lugar geométrico degenera en una recta en lugar de formar una parábola?
En el diseño de un sistema de fluidos, se debe instalar un conducto cilíndrico cuya sección transversal puede variar de tamaño, pero siempre debe ser tangente al eje de…
En el diseño de un sistema de fluidos, se debe instalar un conducto cilíndrico cuya sección transversal puede variar de tamaño, pero siempre debe ser tangente al eje de abscisas y pasar obligatoriamente por un sensor fijo situado en $P(0,2)$. Encuentra la ecuación del lugar geométrico que describen los posibles centros $C(x,y)$ de dicha sección transversal e identifica la cónica.
Elipse: dos focos
Existe además la hipérbola (diferencia constante de distancias a dos focos), que no forma parte del programa de este curso y solo mencionamos.
La elipse se traza con una cuerda de largo $2a$ atada a dos estacas, que son los focos. La cuerda tensa mantiene constante la suma de distancias.
Para diseñar un parterre elíptico en un parque, un jardinero clava dos estacas en el suelo en los puntos $(-3,0)$ y $(3,0)$ (medidas en metros). Luego, ata los extremos…
Para diseñar un parterre elíptico en un parque, un jardinero clava dos estacas en el suelo en los puntos $(-3,0)$ y $(3,0)$ (medidas en metros). Luego, ata los extremos de una cuerda de $10\text{ m}$ de longitud a ambas estacas y, manteniendo la cuerda tensa con un punzón, traza el contorno sobre la tierra. Halla la ecuación del lugar geométrico del borde del parterre.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Un rayo láser parte del foco $F_1(c,0)$ de una elipse reflectante, rebota en un punto $P(x,y)$ de su superficie y llega directamente al otro foco $F_2(-c,0)$. Si la…
Un rayo láser parte del foco $F_1(c,0)$ de una elipse reflectante, rebota en un punto $P(x,y)$ de su superficie y llega directamente al otro foco $F_2(-c,0)$. Si la distancia total recorrida por el rayo de luz es de $10$ unidades y la distancia focal es de $6$ unidades, deduce la ecuación reducida del lugar geométrico de la elipse utilizando su definición basada en distancias.
Otras condiciones: productos, pendientes y ángulos
Hay lugares geométricos que no se definen por una suma o diferencia de distancias. El método sigue igual: $P(x,y)$, condición, simplificar.
Una cámara de seguridad ubicada en un punto móvil $P(x,y)$ debe vigilar un pasillo lineal definido por el segmento $AB$, con extremos en $A(-4,0)$ y $B(4,0)$. Para que…
Una cámara de seguridad ubicada en un punto móvil $P(x,y)$ debe vigilar un pasillo lineal definido por el segmento $AB$, con extremos en $A(-4,0)$ y $B(4,0)$. Para que los sensores de la cámara funcionen de manera óptima, el ángulo de visión $\angle APB$ debe ser exactamente de $90^\circ$. Hallá analíticamente el lugar geométrico de las posibles posiciones de la cámara, excluyendo los puntos $A$ y $B$. Describí la figura resultante.
En un mecanismo articulado, dos varillas giran alrededor de los pivotes fijos $A(-a,0)$ y $B(a,0)$. El mecanismo está diseñado de modo que el producto de las pendientes…
En un mecanismo articulado, dos varillas giran alrededor de los pivotes fijos $A(-a,0)$ y $B(a,0)$. El mecanismo está diseñado de modo que el producto de las pendientes de ambas varillas en su punto de intersección $P(x,y)$ es siempre una constante negativa $-k^2$ (con $k > 0$). Demuestra que el lugar geométrico del punto $P$ es una elipse y determina la longitud de sus semiejes en función de $a$ y $k$.
La excentricidad: una receta para las cuatro curvas
Como $e<1$, el punto está más cerca del foco que de la directriz y la curva se cierra. Si $e>1$ la curva no se cierra y ya no es una elipse.
El extremo $P(x,y)$ de un brazo robótico industrial está programado para moverse de tal forma que su distancia a la recta de seguridad $x = -4$ es siempre el doble de su…
El extremo $P(x,y)$ de un brazo robótico industrial está programado para moverse de tal forma que su distancia a la recta de seguridad $x = -4$ es siempre el doble de su distancia al punto de anclaje $F(-1,0)$. Determina la ecuación de la trayectoria que describe el extremo del brazo e identifica qué tipo de cónica representa.
Volvé al principio: la antena parabólica, el faro, la órbita de un satélite y la navegación con dos estaciones son aplicaciones de las cuatro curvas. Cada una responde a una condición simple de distancias, y con $P(x,y)$ pasás de la condición a la ecuación.