Aproximación y redondeo

En el sistema de numeración decimal, cada cifra tiene un valor según la posición que ocupa. Dado el número $58.347$, indica qué cifra ocupa cada una de las siguientes posiciones:

1. a) Las décimas.
2. b) Las centésimas.
3. c) Las milésimas.
4. d) Las unidades.

Indica si las siguientes afirmaciones sobre la aproximación de $4.572$ son verdaderas o falsas:

1. a) El truncamiento a las décimas es $4.5$.
2. b) El redondeo a las décimas es $4.5$.
3. c) El redondeo a las centésimas es $4.57$.
4. d) El truncamiento a las unidades es $4$.

Estás revisando los precios de una tienda en línea y encuentras un accesorio para tu consola que cuesta $24.9632$ dólares. Aproxima este precio por truncamiento a las centésimas (es decir, a los centavos de dólares).

Un atleta ha registrado un tiempo de $10.438$ segundos en una carrera de 100 metros lisos. Redondea su marca a las centésimas. ¿Ha sido el redondeo por exceso o por defecto?

Completa la siguiente tabla en tu cuaderno para el número $7.4628$. Para cada caso, indica si la aproximación obtenida por redondeo es por defecto o por exceso.

Observa la siguiente recta numérica donde se ha marcado el punto $P$. Escribe el número decimal exacto que representa $P$ y luego redondea dicho valor a la unidad más cercana (al número entero más próximo).

Si el lado de un cuadrado mide $6.8$ cm, estima su área redondeando primero la medida del lado al número entero más próximo. Dibuja un esquema del cuadrado indicando la medida aproximada.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En una tienda de computación, los precios de tres componentes son $15.99$ dólares, $32.45$ dólares y $12.80$ dólares.

Si decides estimar el costo total redondeando a la unidad (dólares) antes de sumar, ¿cuál es la diferencia entre el precio real total y tu estimación? ¿Estimaste por exceso o por defecto?

Considera el número irracional $\pi \approx 3.14159265...$. En la figura puedes ver el valor de cada posición decimal.

1. a) Realiza un truncamiento a las diezmilésimas.

1. b) Realiza un redondeo a las diezmilésimas.

1. c) Compara ambos resultados y explica por qué en este caso particular el redondeo y el truncamiento no coinciden.

Deseamos diseñar una placa cuadrada cuya área exacta sea de $30$ cm². Como no podemos medir con precisión infinita, aproximamos el lado del cuadrado ($\sqrt{30}$) mediante redondeo a las centésimas.

1. a) ¿Cuál es el valor del lado aproximado?

1. b) Si fabricamos la placa con ese lado aproximado, ¿cuál será su área real?

1. c) Calcula el error absoluto cometido en el área respecto a los $30$ cm² originales.

Se están comparando dos métodos de aproximación para el número irracional $\pi$.

• El método A utiliza el redondeo a las diezmilésimas ($3.1416$).

• El método B utiliza la fracción de Arquímedes $\frac{22}{7}$.

Calcula el error absoluto de cada método sabiendo que el valor de $\pi$ con siete decimales es $3.1415926$. ¿Cuál de los dos métodos es más preciso? Justifica tu respuesta comparando los errores.

Representa en una recta numérica el número decimal periódico puro $2,\widehat{6}$. Para ello:

1. a) Sitúa entre qué dos números enteros se encuentra.
2. b) Indica qué número obtendrías si redondeas a las décimas.
3. c) ¿Cuál es la cota de error máximo que cometemos al redondear a las décimas?

Un sensor de precisión en una central meteorológica registra la humedad relativa del aire. Por motivos de almacenamiento de datos, el sistema informático redondea automáticamente el valor a las centésimas. Si en la pantalla aparece un valor de $64.38\,\%$, determina el intervalo exacto (valor mínimo y valor máximo) en el que se encuentra la humedad real captada por el sensor antes de ser redondeada.

La figura muestra la recta numérica con el valor de la pantalla y los dos valores con centésimas que están a su lado.

Considera el número periódico mixto $n = 4.12\widehat{6}$, es decir, $n = 4.12666\ldots$ (el 6 se repite indefinidamente).

1. a) Obtén su fracción generatriz simplificada al máximo.

1. b) Aproxima el número $n$ por redondeo a las milésimas.

1. c) Calcula la diferencia, en valor absoluto, entre el valor real (usando la fracción generatriz) y la aproximación del apartado b). ¿A qué concepto de error corresponde este resultado?

Un agricultor ha medido el área de su parcela rectangular y ha obtenido un valor de $124.3756$ $m^2$.

1. a) Calcula el valor del área aproximando por redondeo a las centésimas.
2. b) Calcula el error absoluto cometido al realizar dicha aproximación. Recuerda que el error absoluto es $E_a = |V_{real} - V_{aproximado}|$.

El tiempo oficial de una carrera de 100 metros lisos se mide con milésimas de segundo. Un corredor ha tardado $10.437$ segundos.

1. a) Si en las noticias solo informan del tiempo redondeando a las centésimas, ¿qué tiempo dirán?
2. b) Si otro corredor ha tardado $10.432$ segundos, ¿qué tiempo le asignarían siguiendo el mismo criterio de redondeo?
3. c) ¿Sería justo usar este redondeo si ambos corredores compitieran en la misma serie? Razona tu respuesta basándote en la precisión.

La sonda espacial Voyager 1 se encuentra aproximadamente a $2.348 \times 10^{10}$ kilómetros de la Tierra. Un astrónomo decide aproximar esta distancia truncando el número a las unidades de millar de millón (es decir, dejando solo dos cifras significativas: $2.3 \times 10^{10}$ km).

En la figura se han marcado sobre una recta ambos valores, el exacto y el aproximado.

Calcula el error absoluto y el error relativo cometido con esta aproximación. Expresa el error relativo en forma de porcentaje redondeado a las milésimas.

En una fábrica de componentes electrónicos, una pieza rectangular debe medir $12.456$ mm de largo y $8.321$ mm de ancho. El operario de la máquina redondea ambas medidas a las décimas antes de realizar el corte.

1. Calcula el área de la pieza con las medidas originales (sin aproximar).

2. Calcula el área de la pieza con las medidas redondeadas.

3. Determina el error absoluto cometido en el cálculo del área debido a esos redondeos previos.