Área de cuerpos geométricos
¿Cuánto cartón hace falta para una caja de galletas de la panadería de la esquina? ¿Cuánta lámina para una lata de atún? Para saberlo necesitas el área del cuerpo: la suma de las áreas de todas sus caras. El truco es siempre el mismo: imagina el cuerpo desplegado, plano sobre la mesa. Y las fórmulas no hay que memorizarlas a ciegas: salen de mirar el desarrollo.
Área lateral y área total
Si el cuerpo es un poliedro, el desarrollo está formado por polígonos y alcanza con sumar sus áreas. El cubo, por ejemplo, tiene 6 caras cuadradas iguales.
Para un ortoedro (caja) de dimensiones $a$, $b$ y $c$ hay tres pares de caras iguales: $A_T = 2(ab + ac + bc)$.
Un artesano está fabricando dados gigantes de madera para una ludoteca. Si cada dado es un cubo perfecto que tiene una arista de $a = 12 \text{ cm}$, calcula la…
Un artesano está fabricando dados gigantes de madera para una ludoteca. Si cada dado es un cubo perfecto que tiene una arista de $a = 12 \text{ cm}$, calcula la superficie total de madera que tendrá que pintar en cada uno de los dados.
Calcula el área total de una caja de zapatos con forma de ortoedro cuyas dimensiones son $15 \text{ cm}$ de ancho, $30 \text{ cm}$ de largo y $10 \text{ cm}$ de alto.…
Calcula el área total de una caja de zapatos con forma de ortoedro cuyas dimensiones son $15 \text{ cm}$ de ancho, $30 \text{ cm}$ de largo y $10 \text{ cm}$ de alto. Dibuja de forma esquemática su desarrollo plano para ayudarte en el cálculo.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Observa el desarrollo plano de este cuerpo geométrico. Si cada uno de los triángulos isósceles tiene un área de $15 \text{ cm}^2$ y el cuadrado central tiene un lado de…
Observa el desarrollo plano de este cuerpo geométrico. Si cada uno de los triángulos isósceles tiene un área de $15 \text{ cm}^2$ y el cuadrado central tiene un lado de $6 \text{ cm}$, ¿cuál es el área total de la figura cuando se monte? ¿Qué cuerpo geométrico se forma?
Área de un prisma
Las caras laterales de un prisma recto, desplegadas, forman un rectángulo cuya base es el perímetro de la base del prisma y cuya altura es la altura del prisma.
$$A_L = P_{base} \cdot h \qquad\qquad A_T = A_L + 2 \cdot A_{base}$$Cuando la base es un polígono regular, su área es $\dfrac{P \cdot ap}{2}$, donde $ap$ es la apotema (distancia del centro a un lado). En un hexágono regular de lado $l$, el triángulo formado por el radio, la mitad del lado y la apotema es rectángulo, y el radio vale $l$. Entonces $ap^2 = l^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2$.
Una carpa de jardín tiene forma de prisma triangular regular recto. La base es un triángulo equilátero de lado $l = 3 \text{ m}$. Si la longitud de la carpa (altura del…
Una carpa de jardín tiene forma de prisma triangular regular recto. La base es un triángulo equilátero de lado $l = 3 \text{ m}$. Si la longitud de la carpa (altura del prisma) es de $5 \text{ m}$, calcula el área lateral de la carpa (sin incluir las dos bases triangulares).
Para un proyecto de tecnología, tienes que fabricar una caja de madera con forma de prisma hexagonal regular. La arista de la base mide $4\text{ cm}$ y la altura del…
Para un proyecto de tecnología, tienes que fabricar una caja de madera con forma de prisma hexagonal regular. La arista de la base mide $4\text{ cm}$ y la altura del prisma es de $15\text{ cm}$. Calcula la superficie total de madera que necesitarás para construir la caja (incluyendo las dos bases).
(Nota: Para hallar el área de la base, recuerda que primero debes calcular la apotema del hexágono usando el teorema de Pitágoras).
Calcula el área total de un cubo sabiendo que la diagonal de una de sus caras mide $10\text{ cm}$. (Pista: Utiliza el teorema de Pitágoras en una de las caras para…
Calcula el área total de un cubo sabiendo que la diagonal de una de sus caras mide $10\text{ cm}$.
(Pista: Utiliza el teorema de Pitágoras en una de las caras para hallar la medida de la arista del cubo antes de calcular el área).
Igual área lateral, distinto volumen
Dos cuerpos pueden necesitar la misma cantidad de material y, sin embargo, contener cantidades distintas. El área no alcanza para saber cuánto entra adentro.
Toma una cartulina rectangular de $20 \times 10$ cm (área $200$ cm²) y arma con ella la cara lateral de un prisma de base cuadrada, sin bases. Hay dos maneras:
Por eso, cuando compares cuerpos, no confundas «cuánto material lleva» (área) con «cuánto entra» (volumen).
Área de una pirámide
Las caras laterales de una pirámide regular son triángulos iguales, de base el lado $l$ de la base y altura la apotema de la pirámide $ap$ (que no es lo mismo que la altura $h$).
$$A_L = \frac{P_{base} \cdot ap}{2} \qquad\qquad A_T = A_L + A_{base}$$Si la base es un hexágono regular, se hace lo mismo con dos Pitágoras seguidos: primero la apotema de la base ($a_b$), después la de la pirámide ($ap = \sqrt{h^2 + a_b^2}$).
Halla el área total de una pirámide cuadrangular regular si sabemos que el lado de la base cuadrada mide $8 \text{ cm}$ y la apotema de sus caras laterales mide…
Halla el área total de una pirámide cuadrangular regular si sabemos que el lado de la base cuadrada mide $8 \text{ cm}$ y la apotema de sus caras laterales mide $10 \text{ cm}$.
Una carpa para un evento juvenil tiene forma de pirámide cuadrangular regular. El lado de la base cuadrada mide $10\text{ m}$ y la altura de la pirámide (desde el centro…
Una carpa para un evento juvenil tiene forma de pirámide cuadrangular regular. El lado de la base cuadrada mide $10\text{ m}$ y la altura de la pirámide (desde el centro de la base hasta el vértice superior) es de $12\text{ m}$. Calcula cuántos metros cuadrados de lona se han necesitado para fabricar las cuatro caras laterales de la carpa.
Una empresa de diseño quiere fabricar una lámpara de techo con forma de pirámide hexagonal regular. El lado del hexágono de la base mide $10\text{ cm}$ y la altura de la…
Una empresa de diseño quiere fabricar una lámpara de techo con forma de pirámide hexagonal regular. El lado del hexágono de la base mide $10\text{ cm}$ y la altura de la pirámide es de $24\text{ cm}$. Para que la luz se proyecte correctamente, deben forrar las caras laterales con una lámina de cobre especial. Calcula cuántos $\text{cm}^2$ de lámina de cobre se necesitan para cubrir la superficie lateral de la lámpara. Ten en cuenta que primero deberás hallar la apotema de la base y, con ella, la apotema de la pirámide.
Tronco de pirámide
Si cortas una pirámide con un plano paralelo a la base y sacas la punta, queda un tronco de pirámide. Sus caras laterales son trapecios iguales, con base mayor $l$, base menor $l'$ y altura la apotema $ap$ del tronco.
Cada trapecio tiene área $\dfrac{(l + l') \cdot ap}{2}$. Sumando todos, aparecen los perímetros de las dos bases:
$$A_L = \frac{(P + P') \cdot ap}{2} \qquad\qquad A_T = A_L + A_{base\ mayor} + A_{base\ menor}$$Si te dan la altura $h$ del tronco, busca el triángulo rectángulo de la figura: sus catetos son $h$ y la diferencia entre las apotemas de las bases (en el cuadrado, $\frac{l - l'}{2}$), y la hipotenusa es $ap$.
Un moderno macetero tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. Las bases son dos cuadrados de lados $20\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$ respectivamente. Si la…
Un moderno macetero tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. Las bases son dos cuadrados de lados $20\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$ respectivamente. Si la altura de las caras laterales (la apotema del tronco) es de $10\text{ cm}$, calcula el área total de la superficie exterior del macetero (bases superior e inferior incluidas).
Un arquitecto ha diseñado una claraboya para un museo que consiste en un tronco de pirámide cuadrangular regular de cristal. La base inferior tiene un lado de…
Un arquitecto ha diseñado una claraboya para un museo que consiste en un tronco de pirámide cuadrangular regular de cristal. La base inferior tiene un lado de $4\text{ m}$, la base superior un lado de $2\text{ m}$ y la altura del tronco es de $1.5\text{ m}$. El cristal utilizado para las caras laterales cuesta $85\text{ \$/m}^2$. Calcula el presupuesto necesario para comprar el cristal de la superficie lateral, redondeando el resultado a dos decimales.
Área del cilindro
Al desplegar un cilindro, la cara curva se convierte en un rectángulo: su base es la longitud de la circunferencia de la base ($2\pi r$) y su altura es $h$. Además hay dos círculos.
$$A_L = 2\pi r h \qquad\qquad A_T = 2\pi r h + 2\pi r^2$$Para un proyecto de tecnología, necesitas forrar con papel adhesivo un bote cilíndrico de lápices. El bote tiene un radio de la base de $r = 4 \text{ cm}$ y una altura…
Para un proyecto de tecnología, necesitas forrar con papel adhesivo un bote cilíndrico de lápices. El bote tiene un radio de la base de $r = 4 \text{ cm}$ y una altura de $h = 12 \text{ cm}$. Calcula cuántos centímetros cuadrados de papel necesitarás, sabiendo que el bote está abierto por arriba (solo tiene una base). Toma $\pi \approx 3.14$.
Calcula el área lateral de un cilindro cuya circunferencia de la base mide $C = 25.12 \text{ cm}$ y su altura es de $h = 10 \text{ cm}$. (Pista: Recuerda que al abrir el…
Calcula el área lateral de un cilindro cuya circunferencia de la base mide $C = 25.12 \text{ cm}$ y su altura es de $h = 10 \text{ cm}$. (Pista: Recuerda que al abrir el cilindro, el área lateral es un rectángulo cuya base es la longitud de la circunferencia).
Un fabricante de velas artesanales quiere recubrir con un papel protector plateado la superficie lateral de una vela cilíndrica. La vela tiene un diámetro de…
Un fabricante de velas artesanales quiere recubrir con un papel protector plateado la superficie lateral de una vela cilíndrica. La vela tiene un diámetro de $8\text{ cm}$ y una altura de $20\text{ cm}$. Si el papel solo debe cubrir la parte curva (sin las bases), ¿qué superficie de papel se necesita para cada vela? Utiliza $\pi \approx 3.14$.
Área del cono
El cono se despliega en un sector circular (de radio $g$, la generatriz) más un círculo de radio $r$ para la base. Se puede demostrar que el sector tiene área $\pi r g$.
$$A_L = \pi r g \qquad\qquad A_T = \pi r g + \pi r^2$$La generatriz, el radio y la altura forman un triángulo rectángulo: $g^2 = h^2 + r^2$.
En una heladería de diseño, han creado un barquillo con forma de cono recto cuya altura es de $12\text{ cm}$ y el radio de su base es de $5\text{ cm}$. Calcula el área…
En una heladería de diseño, han creado un barquillo con forma de cono recto cuya altura es de $12\text{ cm}$ y el radio de su base es de $5\text{ cm}$. Calcula el área total del barquillo (superficie lateral más el círculo de la base) para saber cuánto chocolate necesitan para bañarlo por completo.
(Pista: Primero deberás hallar la generatriz del cono).
Área de la esfera
La esfera no se puede desplegar, pero su área se calcula fácil: es cuatro veces el área de su círculo máximo.
$$A = 4\pi r^2$$Una semiesfera (media esfera) tiene una cara curva de área $2\pi r^2$. Si además tiene la tapa plana, se suma el círculo $\pi r^2$ y el total es $3\pi r^2$.
Un balón de baloncesto tiene un radio de $r = 12 \text{ cm}$. Calcula la superficie de cuero necesaria para fabricarlo, redondeando el resultado a dos decimales.…
Un balón de baloncesto tiene un radio de $r = 12 \text{ cm}$. Calcula la superficie de cuero necesaria para fabricarlo, redondeando el resultado a dos decimales. (Recuerda que el área de la esfera es $A = 4 \times \pi \times r^2$).
Se quiere restaurar la cúpula de un observatorio astronómico que tiene forma de semiesfera de $6\text{ metros}$ de radio. Si el presupuesto para la pintura es de $\$15…
Se quiere restaurar la cúpula de un observatorio astronómico que tiene forma de semiesfera de $6\text{ metros}$ de radio. Si el presupuesto para la pintura es de $\$15$ por cada metro cuadrado, ¿cuánto costará pintar la superficie exterior de la cúpula? (Utiliza $\pi \approx 3.14$).
Un fabricante de balones de gimnasia produce esferas de caucho de dos tamaños. El balón pequeño tiene una superficie de $5024\text{ cm}^2$. El balón grande tiene un…
Un fabricante de balones de gimnasia produce esferas de caucho de dos tamaños. El balón pequeño tiene una superficie de $5024\text{ cm}^2$. El balón grande tiene un radio que es exactamente el doble que el del balón pequeño. Calcula el área de la superficie del balón grande. ¿Qué relación numérica (razón) hay entre el área del balón grande y la del pequeño? Usa $\pi = 3.14$.
Cuerpos compuestos
Muchos objetos reales son la unión de dos cuerpos: un tanque de agua (cilindro y cono), un invernadero en Boquete (medio cilindro), un faro decorativo. La estrategia:
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Identifica los cuerpos simples y qué partes de su superficie quedan a la vista.
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Calcula solo esas partes: donde dos cuerpos se pegan, esas caras desaparecen (y tampoco se cuenta la base apoyada en el suelo si el enunciado lo aclara).
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Suma.
Para un medio cilindro apoyado en el suelo: la parte curva es la mitad de la lateral, $\pi r \cdot L$ (con $L$ la longitud), y cada pared frontal es un semicírculo de área $\frac{\pi r^2}{2}$.
Cuando el enunciado pide cantidad de botes o de rollos, divide el área por lo que cubre cada uno y redondea hacia arriba: si da 7.3 botes, compras 8.
Un faro decorativo para un jardín está formado por dos cuerpos: un cilindro de $10\text{ cm}$ de radio y $30\text{ cm}$ de altura, coronado por un cono de la misma base…
Un faro decorativo para un jardín está formado por dos cuerpos: un cilindro de $10\text{ cm}$ de radio y $30\text{ cm}$ de altura, coronado por un cono de la misma base y $15\text{ cm}$ de generatriz. Calcula el área total de la superficie exterior de este faro (sin contar la base sobre la que se apoya).
Un depósito industrial tiene forma de cilindro recto coronado por un cono de la misma base. La altura de la parte cilíndrica es de $8\text{ m}$ y la altura de la parte…
Un depósito industrial tiene forma de cilindro recto coronado por un cono de la misma base. La altura de la parte cilíndrica es de $8\text{ m}$ y la altura de la parte cónica es de $3\text{ m}$. El diámetro del depósito es de $8\text{ m}$. Se desea pintar toda la superficie exterior lateral y la base superior (cono), pero no la base sobre la que se apoya. Si con cada bote de pintura se pueden cubrir $15\text{ m}^2$, ¿cuántos botes de pintura se deben comprar como mínimo?
Se quiere construir un invernadero con forma de medio cilindro apoyado sobre el suelo, como se muestra en la figura. La longitud del invernadero es de $15\text{ m}$ y el…
Se quiere construir un invernadero con forma de medio cilindro apoyado sobre el suelo, como se muestra en la figura. La longitud del invernadero es de $15\text{ m}$ y el ancho de la base (el diámetro del semicilindro) es de $6\text{ m}$. Si el plástico para cubrir la parte curva y las dos paredes frontales (semicírculos) cuesta $12\text{ \$/m}^2$, ¿cuál será el costo total del plástico necesario? (No se cuenta el suelo).
Cortes y huecos
Cuando a un cuerpo le sacas una parte (un hueco o una esquina), el área cambia porque se pierde superficie y se gana superficie nueva. Hay que pensar las dos cosas.
Para un agujero que atraviesa un cuerpo (un cilindro en un prisma): de cada base se saca un círculo, pero aparece la superficie lateral interior del cilindro, $2\pi r h$.
Para una esquina cortada de un cubo: se pierde el área de las partes de las caras que se sacan y se gana la cara nueva del corte. Si la cara nueva es un triángulo equilátero de lado $l$, su altura sale por Pitágoras ($\sqrt{l^2 - (l/2)^2}$) y su área es $\dfrac{l \cdot \text{altura}}{2}$.
Se ha diseñado un trofeo de metacrilato que consiste en un cilindro recto de $10\text{ cm}$ de altura y $6\text{ cm}$ de diámetro, al cual se le ha extraído una…
Se ha diseñado un trofeo de metacrilato que consiste en un cilindro recto de $10\text{ cm}$ de altura y $6\text{ cm}$ de diámetro, al cual se le ha extraído una semiesfera perfecta en la base superior, cuyo radio coincide exactamente con el radio del cilindro. Calcula el área total de la superficie del trofeo (superficie exterior cilíndrica, superficie de la base inferior y la superficie curva del hueco semiesférico). Usa $\pi \approx 3.14$.
Un cubo de madera de $12\text{ cm}$ de arista se corta mediante un plano que pasa por los puntos medios de tres aristas concurrentes en un mismo vértice, separando una…
Un cubo de madera de $12\text{ cm}$ de arista se corta mediante un plano que pasa por los puntos medios de tres aristas concurrentes en un mismo vértice, separando una pequeña pirámide triangular (un tetraedro irregular). Calcula el área total de la figura resultante que queda tras retirar la pequeña pirámide. Ayuda: El corte genera una nueva cara que es un triángulo equilátero cuyos lados son las diagonales de los cuadrados de lado $6\text{ cm}$.
Una pieza mecánica de acero tiene la forma de un prisma recto de base cuadrada con un agujero cilíndrico que la atraviesa de base a base por el centro. El lado del…
Una pieza mecánica de acero tiene la forma de un prisma recto de base cuadrada con un agujero cilíndrico que la atraviesa de base a base por el centro. El lado del cuadrado de la base del prisma mide $10\text{ cm}$ y la altura de la pieza es de $20\text{ cm}$. El diámetro del agujero cilíndrico es de $8\text{ cm}$. Calcula el área de la superficie total de la pieza (incluyendo la superficie interior del agujero).
Vuelta al principio: para la caja de galletas de $20 \times 10 \times 5$ cm hacen falta $700\ \text{cm}^2$ de cartón, y para la lata de atún de radio $3$ cm y altura $10$ cm se necesitan unos $245\ \text{cm}^2$ de lámina.