Cuerpos redondos
Un gorro cónico para el Carnaval de Las Tablas, un tanque de agua en la azotea, un balón de fútbol de la Sele. ¿Cuánta cartulina necesitas para el gorro? ¿Cuántos litros caben en el tanque? Son cuerpos redondos, y en esta página aprenderás a responder ese tipo de preguntas.
Los cuerpos redondos y cómo se generan
Un cuerpo redondo tiene al menos una superficie curva. No es un poliedro: sus caras no son todas polígonos. Los principales son el cilindro, el cono y la esfera.
Todos se pueden generar al girar una figura plana una vuelta completa alrededor de un eje. Por eso se llaman también cuerpos de revolución:
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Un rectángulo que gira sobre uno de sus lados forma un cilindro.
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Un triángulo rectángulo que gira sobre uno de sus catetos forma un cono.
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Un semicírculo que gira sobre su diámetro forma una esfera.
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Un trapecio rectángulo que gira sobre su lado perpendicular a las bases forma un tronco de cono (un cono al que se le cortó la punta).
El lado del rectángulo que está sobre el eje se convierte en la altura. El lado perpendicular al eje se convierte en el radio de la base.
Imagina que eres un diseñador gráfico y estás creando un logotipo en 3D. Para ello, haces girar un rectángulo de $5 \text{ cm}$ de base y $12 \text{ cm}$ de altura…
Imagina que eres un diseñador gráfico y estás creando un logotipo en 3D. Para ello, haces girar un rectángulo de $5 \text{ cm}$ de base y $12 \text{ cm}$ de altura alrededor de uno de sus lados más largos (el lado de $12 \text{ cm}$), como muestra la figura.
- a) Dibuja el cuerpo de revolución que se obtiene.
- b) Identifica cómo se llaman sus elementos principales (base y altura) e indica cuánto mide cada uno.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Observa las tres figuras planas A, B y C. Cada una gira una vuelta completa alrededor del eje discontinuo que tiene dibujado. Identifica cuál de ellas da lugar a un…
Observa las tres figuras planas A, B y C. Cada una gira una vuelta completa alrededor del eje discontinuo que tiene dibujado. Identifica cuál de ellas da lugar a un tronco de cono. Explica brevemente por qué has elegido esa opción.
Elementos: radio, altura y generatriz
En el cono, $r$, $h$ y $g$ forman un triángulo rectángulo donde $g$ es la hipotenusa. Por el teorema de Pitágoras:
$$g^2 = r^2 + h^2$$Esto sirve porque la altura baja en vertical hasta el centro de la base y forma un ángulo recto con el radio.
Otra relación útil: la longitud de una circunferencia (su perímetro) es $C = 2\pi r$. Si conoces $C$, puedes despejar el radio: $r = \dfrac{C}{2\pi}$.
Para una fiesta de disfraces, quieres fabricar un gorro cónico. Has medido el radio de la base, que es de $9 \text{ cm}$, y la altura del gorro, que será de…
Para una fiesta de disfraces, quieres fabricar un gorro cónico. Has medido el radio de la base, que es de $9 \text{ cm}$, y la altura del gorro, que será de $12 \text{ cm}$. Utiliza el Teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la generatriz ($g$) que necesitarás para trazar el desarrollo en la cartulina.
En una clase de geografía, observamos un globo terráqueo. Si sabemos que la longitud del ecuador (circunferencia máxima) es de aproximadamente $62.8 \text{ cm}$, ¿cuál…
En una clase de geografía, observamos un globo terráqueo. Si sabemos que la longitud del ecuador (circunferencia máxima) es de aproximadamente $62.8 \text{ cm}$, ¿cuál es el radio de esa esfera? (Utiliza $\pi \approx 3.14$).
El cilindro: desarrollo y área
Si recortas una lata de maíz y la abres, obtienes dos círculos y un rectángulo. Ese es el desarrollo plano del cilindro.
El rectángulo mide $h$ de alto y de largo lo que mide el borde de la base, $2\pi r$. Su área es el área lateral:
$$A_L = 2\pi r h$$Para el área total se suman las dos bases, cada una de área $\pi r^2$: $A_T = 2\pi r h + 2\pi r^2$.
Una famosa marca de papas fritas utiliza envases cilíndricos. Si el radio de la base del envase es de $4 \text{ cm}$ y su altura es de $20 \text{ cm}$, calcula el área…
Una famosa marca de papas fritas utiliza envases cilíndricos. Si el radio de la base del envase es de $4 \text{ cm}$ y su altura es de $20 \text{ cm}$, calcula el área de la etiqueta de papel que rodea lateralmente el envase (área lateral). Toma $\pi \approx 3.14$.
Un bote de refresco tiene forma cilíndrica. El radio de su base mide $3 \text{ cm}$ y su altura es de $12 \text{ cm}$. Calcula el volumen de refresco que puede contener…
Un bote de refresco tiene forma cilíndrica. El radio de su base mide $3 \text{ cm}$ y su altura es de $12 \text{ cm}$. Calcula el volumen de refresco que puede contener si se llena por completo. Expresa el resultado en centímetros cúbicos ($cm^3$).
Una empresa de refrescos quiere diseñar una nueva lata cilíndrica. El radio de la base debe ser de $3.5\text{ cm}$ y la altura de la lata de $12\text{ cm}$. Calcula el…
Una empresa de refrescos quiere diseñar una nueva lata cilíndrica. El radio de la base debe ser de $3.5\text{ cm}$ y la altura de la lata de $12\text{ cm}$. Calcula el área total de la chapa necesaria para fabricar una lata (sin contar las pestañas de cierre) y el volumen de refresco que puede contener en mililitros ($1\text{ cm}^3 = 1\text{ ml}$).
Capacidad, litros y masa
El volumen también mide cuánto cabe dentro de un recipiente. Las equivalencias que necesitas:
Un tanque de agua cilíndrico de $1\text{ m}$ de radio y $1.5\text{ m}$ de altura tiene $V = 3.14 \times 1^2 \times 1.5 = 4.71\text{ m}^3$, es decir, $4{,}710\text{ L}$.
A veces hay que despejar. Si el volumen $V$ y la altura $h$ son datos, $r = \sqrt{\dfrac{V}{\pi h}}$.
Un cilindro hueco tiene volumen de material igual al del cilindro exterior menos el del hueco interior: $V = \pi R^2 h - \pi r^2 h$.
Observa el desarrollo plano de un cilindro. Se sabe que el área de una de sus bases circulares es de $28.26\text{ cm}^2$ y que la altura del rectángulo lateral es de…
Observa el desarrollo plano de un cilindro. Se sabe que el área de una de sus bases circulares es de $28.26\text{ cm}^2$ y que la altura del rectángulo lateral es de $10\text{ cm}$. Calcula:
- a) El radio de la base.
- b) El área lateral del cilindro.
- c) El área total.
(Usa $\pi \approx 3.14$).
Un depósito de agua tiene forma de cilindro con una altura de $5\text{ m}$. Si queremos que el depósito tenga una capacidad de $100,000\text{ litros}$, ¿qué radio debe…
Un depósito de agua tiene forma de cilindro con una altura de $5\text{ m}$. Si queremos que el depósito tenga una capacidad de $100,000\text{ litros}$, ¿qué radio debe tener la base del depósito? (Recuerda que $1\text{ m}^3 = 1,000\text{ litros}$). Redondea el radio a dos cifras decimales.
Un rodillo de apisonadora de acero tiene forma de cilindro con un diámetro de $1.2\text{ metros}$ y una longitud de $2.5\text{ metros}$. El acero tiene una densidad de…
Un rodillo de apisonadora de acero tiene forma de cilindro con un diámetro de $1.2\text{ metros}$ y una longitud de $2.5\text{ metros}$. El acero tiene una densidad de $7850\text{ kg/m}^3$. Si el rodillo es hueco y el espesor del acero es de $10\text{ cm}$ en todo su contorno (excepto en las caras laterales que se consideran despreciables), calcula la masa total del rodillo en toneladas.
El cono: desarrollo y área
El desarrollo de un cono es un círculo (la base) y un sector circular de radio $g$ cuyo arco mide lo mismo que el borde de la base, $2\pi r$. El área de ese sector es $\frac{1}{2} \cdot g \cdot 2\pi r = \pi r g$.
Un barquillo de helado tiene forma de cono. Si el área de la base es de $25 \text{ cm}^2$ y la altura del barquillo es de $10 \text{ cm}$, calcula su volumen. Recuerda…
Un barquillo de helado tiene forma de cono. Si el área de la base es de $25 \text{ cm}^2$ y la altura del barquillo es de $10 \text{ cm}$, calcula su volumen. Recuerda que el volumen de un cono es la tercera parte del volumen de un cilindro con la misma base y altura: $V = \frac{1}{3} \times A_{base} \times h$.
Se está fabricando una carpa provisional para un evento con forma de cono perfecto. La altura de la carpa desde el suelo hasta el vértice superior es de $4\text{ m}$ y…
Se está fabricando una carpa provisional para un evento con forma de cono perfecto. La altura de la carpa desde el suelo hasta el vértice superior es de $4\text{ m}$ y el diámetro de la base circular es de $6\text{ m}$. ¿Cuántos metros cuadrados de lona se han necesitado para cubrir solo la parte lateral de la carpa? (Dato: Primero deberás hallar la generatriz usando el Teorema de Pitágoras).
Un envase de perfume tiene forma de cilindro de $10\text{ cm}$ de altura. En su interior, el cristal tiene una forma cónica invertida que llega exactamente hasta el…
Un envase de perfume tiene forma de cilindro de $10\text{ cm}$ de altura. En su interior, el cristal tiene una forma cónica invertida que llega exactamente hasta el fondo y cuya base coincide con la tapa del cilindro. Si el radio del envase es de $3\text{ cm}$, calcula qué porcentaje del volumen total del cilindro está ocupado por el perfume cuando el envase está lleno. ¿Depende este porcentaje del radio y la altura elegidos? Razona tu respuesta.
Girar un triángulo sobre su hipotenusa
Antes giraste un triángulo rectángulo sobre un cateto y salió un cono. ¿Qué pasa si el eje es la hipotenusa? Salen dos conos unidos por su base.
Los dos conos comparten la misma base. Su radio es la altura del triángulo sobre la hipotenusa. Las generatrices son los catetos del triángulo.
Para hallar esa altura usa el área del triángulo de dos maneras: $\dfrac{\text{cateto}_1 \times \text{cateto}_2}{2} = \dfrac{\text{hipotenusa} \times r}{2}$, de donde $r = \dfrac{\text{cateto}_1 \times \text{cateto}_2}{\text{hipotenusa}}$.
El área total es la suma de las áreas laterales de los dos conos: $A = \pi r g_1 + \pi r g_2 = \pi r (g_1 + g_2)$. No hay bases, porque quedan pegadas.
Se genera un cuerpo de revolución haciendo girar un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$ alrededor de su hipotenusa. a) Describe el cuerpo…
Se genera un cuerpo de revolución haciendo girar un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$ alrededor de su hipotenusa.
- a) Describe el cuerpo resultante (puedes dibujarlo).
- b) Calcula el área total de la superficie del cuerpo generado.
(Ayuda: El cuerpo está formado por dos conos unidos por su base. Necesitarás calcular la altura del triángulo relativa a la hipotenusa).
El tronco de cono
Una pantalla de lámpara o un vaso de plástico de una fonda tienen forma de tronco de cono: tiene dos bases circulares, la mayor de radio $R$ y la menor de radio $r$.
La fórmula tiene sentido: el desarrollo lateral es una "franja" de ancho $g$ cuyo largo es el promedio de los dos bordes, $\frac{2\pi R + 2\pi r}{2} = \pi(R + r)$.
Para pasar el área a metros cuadrados: $1\text{ m}^2 = 10{,}000\text{ cm}^2$. Con un precio por $\text{m}^2$ se multiplica el área en $\text{m}^2$ por el precio y por el número de piezas.
Una empresa de diseño de interiores fabrica tulipas para lámparas con forma de tronco de cono. El radio de la base superior es de $12\text{ cm}$, el de la base inferior…
Una empresa de diseño de interiores fabrica tulipas para lámparas con forma de tronco de cono. El radio de la base superior es de $12\text{ cm}$, el de la base inferior es de $20\text{ cm}$ y la altura de la tulipa es de $15\text{ cm}$. Si el material especial de tela cuesta $18.50\text{ \$/m}^2$, calcula el costo del material necesario para fabricar 25 tulipas iguales (ten en cuenta que la tulipa no tiene bases, es solo la superficie lateral).
La esfera
La esfera solo tiene un elemento: el radio $r$, la distancia del centro a cualquier punto de la superficie. Su diámetro es $d = 2r$.
Una semiesfera es media esfera: su superficie curva vale $2\pi r^2$ y su volumen $\frac{2}{3}\pi r^3$. Si además cuentas la base plana (un círculo), suma $\pi r^2$.
Cuánto sube el agua al sumergir una esfera
Cuando metes un objeto en agua, el nivel sube porque el objeto desplaza su propio volumen. Ese volumen extra forma una capa de agua con la forma del recipiente:
$$V_{\text{esfera}} = A_{\text{base}} \times \text{subida}, \qquad \text{subida} = \frac{V_{\text{esfera}}}{A_{\text{base}}}$$Una pelota de baloncesto tiene un diámetro de $24 \text{ cm}$. ¿Cuál es la superficie total de cuero necesaria para fabricarla? Recuerda que el radio es la mitad del…
Una pelota de baloncesto tiene un diámetro de $24 \text{ cm}$. ¿Cuál es la superficie total de cuero necesaria para fabricarla? Recuerda que el radio es la mitad del diámetro y utiliza la fórmula del área de la esfera $A = 4 \times \pi \times r^2$. (Usa $\pi \approx 3.14$).
Una famosa marca de chocolates vende sus bombones en una caja con forma de esfera de $10\text{ cm}$ de diámetro. Si la caja está llena hasta el $75\%$ de su capacidad…
Una famosa marca de chocolates vende sus bombones en una caja con forma de esfera de $10\text{ cm}$ de diámetro. Si la caja está llena hasta el $75\%$ de su capacidad con chocolate líquido, ¿cuántos centímetros cúbicos de chocolate hay en su interior? Expresa el resultado redondeando a las centésimas.
Una esfera de cristal de $15\text{ cm}$ de radio se introduce en un recipiente cilíndrico de $32\text{ cm}$ de diámetro que contiene agua. Si la esfera se sumerge…
Una esfera de cristal de $15\text{ cm}$ de radio se introduce en un recipiente cilíndrico de $32\text{ cm}$ de diámetro que contiene agua. Si la esfera se sumerge completamente hasta el fondo, ¿cuántos centímetros subirá el nivel del agua en el recipiente? Expresa el resultado redondeando a las centésimas.
Cuerpos compuestos
Muchos objetos reales juntan varios cuerpos: un cono de helado con su bola, un tanque con fondo cónico. Para resolverlos:
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Separa el objeto en cuerpos conocidos.
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Calcula el volumen o el área de cada uno.
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Volumen: suma las partes. Área: suma solo las superficies que quedan a la vista; las caras donde se pegan los cuerpos no cuentan.
Calcula el volumen de una pieza de madera que se ha formado uniendo un cilindro y una semiesfera (media esfera). El cilindro tiene una altura de $10\text{ cm}$ y el…
Calcula el volumen de una pieza de madera que se ha formado uniendo un cilindro y una semiesfera (media esfera). El cilindro tiene una altura de $10\text{ cm}$ y el radio de su base es de $4\text{ cm}$. La semiesfera se apoya exactamente sobre la base superior del cilindro.
Un helado de cucurucho tiene forma de cono. El barquillo tiene una profundidad (altura) de $12\text{ cm}$ y el radio de la abertura es de $3\text{ cm}$. Si el helado…
Un helado de cucurucho tiene forma de cono. El barquillo tiene una profundidad (altura) de $12\text{ cm}$ y el radio de la abertura es de $3\text{ cm}$. Si el helado llena el interior del cucurucho y además sobresale una bola perfecta en la parte superior que tiene el mismo radio que el cono, calcula el volumen total de helado.
Se desea construir un depósito para cereales que consta de un cuerpo cilíndrico de $4\text{ m}$ de altura y $3\text{ m}$ de radio, rematado en su parte inferior por un…
Se desea construir un depósito para cereales que consta de un cuerpo cilíndrico de $4\text{ m}$ de altura y $3\text{ m}$ de radio, rematado en su parte inferior por un cono del mismo radio y una generatriz de $5\text{ m}$ para facilitar la descarga. Calcula el volumen total de almacenamiento del depósito y la superficie total de chapa necesaria para fabricarlo (incluyendo la tapa superior plana del cilindro).
Calcula el área de la superficie de un "cono de helado" compuesto por un cono recto de $12\text{ cm}$ de altura y $5\text{ cm}$ de radio de la base, coronado por una…
Calcula el área de la superficie de un "cono de helado" compuesto por un cono recto de $12\text{ cm}$ de altura y $5\text{ cm}$ de radio de la base, coronado por una semiesfera perfecta que encaja exactamente en la base del cono. Si queremos envolver el helado (cono y semiesfera) con un papel protector, ¿qué superficie mínima de papel necesitaremos?
Cortar un cuerpo redondo
Si cortas un cuerpo redondo con un plano, la figura que aparece depende del corte.
Radio del círculo de corte en una esfera. Si la esfera tiene radio $R$ y el plano está a distancia $d$ del centro, se forma un triángulo rectángulo con hipotenusa $R$ y catetos $d$ y $r$ (el radio del círculo cortado):
$$r = \sqrt{R^2 - d^2}$$Se corta una esfera de madera de $13\text{ cm}$ de radio por un plano horizontal. Si la distancia desde el centro de la esfera hasta el corte es de $5\text{ cm}$, ¿cuál…
Se corta una esfera de madera de $13\text{ cm}$ de radio por un plano horizontal. Si la distancia desde el centro de la esfera hasta el corte es de $5\text{ cm}$, ¿cuál es el radio del círculo que se forma en la sección del corte? (Aplica el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo que se forma).
Se ha cortado una esfera de madera de $20\text{ cm}$ de radio por un plano situado a $12\text{ cm}$ del centro. Al separar los dos fragmentos, se obtienen dos casquetes…
Se ha cortado una esfera de madera de $20\text{ cm}$ de radio por un plano situado a $12\text{ cm}$ del centro. Al separar los dos fragmentos, se obtienen dos casquetes esféricos. Calcula el área total (superficie curva más la base circular plana del corte) del casquete esférico más pequeño.
(Pista: utiliza el teorema de Pitágoras para hallar el radio del círculo de la sección).
Vuelve al principio: para el gorro cónico necesitas el área lateral $\pi r g$ (con $g$ por Pitágoras), y para el tanque, el volumen $\pi r^2 h$ convertido a litros.