Expresiones algebraicas

Identifica los elementos de los siguientes monomios completando la información de cada uno:

1. a) $7x^{2}$
2. b) $-5ab^{3}$
3. c) $x^{4}y$
4. d) $\frac{3}{4}z^{2}$

Para cada uno, indica: Coeficiente, Parte literal y Grado.

En una tienda de videojuegos en línea, el precio de una suscripción mensual es de $x$ dólares. Traduce a lenguaje algebraico las siguientes situaciones:

1. a) El costo de tres suscripciones mensuales.
2. b) El precio de una suscripción después de aplicar un cupón de descuento de $5$ dólares.
3. c) Lo que paga un grupo de amigos por una suscripción mensual más un juego de $25$ dólares.
4. d) El doble del precio de una suscripción aumentado en $10$ dólares.

En una tienda de cómics, el precio de una suscripción mensual es de $x$ dólares. Por cada cómic adicional que compres, te cobran $y$ dólares, pero si compras más de cinco, te aplican un descuento de $3$ dólares sobre el total. Escribe la expresión algebraica que represente el gasto mensual de un cliente que ha comprado $7$ cómics adicionales.

Estamos diseñando una nueva tablet cuya pantalla es rectangular. La base mide $x$ centímetros y la altura mide $5$ centímetros menos que la base. Escribe una expresión algebraica para el perímetro de la pantalla y simplifícala.

Un complejo deportivo municipal tiene una cancha de baloncesto de forma rectangular. Si la longitud de la cancha es $y$ metros y su ancho es la mitad de la longitud, escribe el polinomio que representa el área de la cancha en función de $y$.

Calcula la expresión algebraica que representa el área de la siguiente figura geométrica en función de $x$. Simplifica el resultado sumando los términos semejantes.

Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores que se indican:

1. a) $5x - 3$ para $x = 4$
2. b) $x^{2} + 2x + 1$ para $x = -2$
3. c) $2(a + b)$ para $a = 3$ y $b = 5$
4. d) $\frac{10 - x}{2}$ para $x = 6$

Halla el valor numérico del polinomio $P(x, y) = 3x^2y - 5xy + 2$ para los valores de las variables que se indican:

1. a) $x = 2, y = -1$
2. b) $x = 0, y = 10$
3. c) $x = -2, y = -2$

Considera el polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 4x - 12$.

1. Determina el valor del coeficiente $k$ sabiendo que el valor numérico del polinomio para $x = 2$ es igual a cero ($x = 2$ es una raíz del polinomio).

2. Una vez hallado $k$, calcula el valor numérico de $P(x)$ para $x = -1$.

Observa la siguiente serie de figuras hechas con puntos y determina la expresión algebraica del término general $a_{n}$ (donde $n$ es la posición de la figura). ¿Cuántos puntos tendrá la figura que ocupe la posición $n=50$?

Un artista digital está creando un mosaico de píxeles que crece siguiendo un patrón determinado. En la etapa $n=1$ usa 3 píxeles, en la etapa $n=2$ usa 8 píxeles, en la etapa $n=3$ usa 15 píxeles, y así sucesivamente.

Observa el patrón visual y realiza las siguientes tareas:

1. Encuentra la expresión algebraica (término general) que determina el número de píxeles necesarios para cualquier etapa $n$.

2. Si el lienzo digital tiene un límite de $1000$ píxeles, ¿podría el artista completar la etapa $n=30$? Justifica tu respuesta calculando el valor numérico.

Reduce las siguientes expresiones algebraicas sumando o restando los monomios semejantes:

1. a) $3x + 5x - 2x$
2. b) $7a^{2} - 3a + 2a^{2} + 5a$
3. c) $4xy + 2x - xy + 3x$
4. d) $10n - 5 - 3n + 8$

Reduce al máximo la siguiente expresión algebraica operando con monomios y eliminando los paréntesis:

$3x \times (2x^2) - 4x^2 \times (x - 5) + \frac{12x^4}{3x}$

Una empresa de alquiler de scooters eléctricos cobra una tarifa base de $B$ dólares por desbloqueo y $0.15$ dólares por cada minuto de uso ($m$). Además, si el usuario recorre más de $5$ kilómetros, se aplica un recargo de seguridad de $S$ dólares. A la suma de estos conceptos se le debe aplicar un impuesto del $21\%$.

1. Escribe la expresión algebraica del costo total $C$ de un viaje si el usuario supera los $5$ km de distancia.

2. Simplifica la expresión anterior realizando las operaciones posibles.

3. Si la tarifa base es de $1$ dólar y el recargo de seguridad es de $2$ dólares, ¿cuánto pagará una persona que use el scooter durante $20$ minutos y recorra $6$ km?

Clasifica las siguientes expresiones algebraicas indicando si son monomios, binomios o trinomios. En el caso de los polinomios (binomios y trinomios), indica también cuál es su grado.

1. a) $4x^{3} - 5x + 2$
2. b) $-7ab^{2}$
3. c) $x^{2} + 10$
4. d) $3y^{4} - 2y^{2}$

Dados los polinomios $A(x) = 4x^3 - 6x^2 + 5x$ y $B(x) = -2x^3 + 8x^2 - 7$, realiza las siguientes operaciones y ordena el polinomio resultante de mayor a menor grado:

1. a) $A(x) + B(x)$
2. b) $A(x) - B(x)$
3. c) $2 \times A(x) + 3 \times B(x)$

Un dron de vigilancia recorre una parcela rectangular cuyas dimensiones vienen dadas por los polinomios $L(x) = x^2 - 3x + 5$ para el largo y $A(x) = 2x + 1$ para el ancho. Obtén el polinomio que representa el área total de la parcela.

El nuevo modelo de un smartphone tiene una pantalla rectangular de cristal de dimensiones $x$ de ancho y $x+4$ de largo. Alrededor de la pantalla hay un marco o "bezel" protector que tiene un grosor uniforme de $2$ cm en todos sus lados.

1. Halla el polinomio reducido que expresa el área total del frontal del teléfono (pantalla más marco).

2. Halla el polinomio reducido que expresa únicamente el área del marco (la zona gris).

3. Si el ancho de la pantalla $x$ es de $6$ cm, ¿cuál es el área del marco?

Utiliza los productos notables para desarrollar las siguientes expresiones sin realizar la multiplicación paso a paso:

1. a) $(3x + 5)^2$
2. b) $(2a - 4b)^2$
3. c) $(x^2 + 3) \times (x^2 - 3)$

Opera y simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica utilizando los productos notables para reducir términos:

Muestra el procedimiento paso a paso, indicando qué producto notable aplicaste en cada caso.

Demuestra algebraicamente que la diferencia entre los cuadrados de dos números enteros consecutivos es siempre igual a la suma de dichos números.

Instrucciones:

1. Llama $n$ al primer número y $n+1$ al siguiente.

2. Escribe la expresión de la diferencia de sus cuadrados: $(n+1)^2 - n^2$.

3. Desarrolla y simplifica la expresión.

4. Comprueba el resultado con los números $12$ y $13$.

Extrae el máximo factor común posible en las siguientes expresiones algebraicas:

1. a) $15x^4 - 10x^3 + 5x^2$
2. b) $6a^2b - 9ab^2 + 3ab$
3. c) $12x^2y^3 - 18x^3y^2$

Se desea diseñar una zona de juegos en un parque que consiste en un gran círculo de radio $R$. Dentro de este círculo, se instalará una zona de arena cuadrada cuyo lado mide exactamente el radio $R$ del círculo. El resto del círculo se cubrirá con césped artificial.

1. Escribe la expresión algebraica reducida para el área de la zona de césped artificial en función de $R$. Utiliza $\pi$ como símbolo.

2. Extrae factor común en la expresión obtenida.

3. Si el radio $R$ es de $10$ metros, calcula el área de césped (usa $\pi \approx 3.14$).

Simplifica la siguiente fracción algebraica extrayendo primero factor común y utilizando productos notables en el numerador y el denominador:

¿Para qué valor de $x$ no tendría sentido esta expresión? (Pista: el denominador no puede ser cero).