Semejanza

Tres rectas paralelas cortan a dos rectas secantes $r$ y $s$. Los segmentos determinados en $r$ miden $5 \text{ cm}$ y $x \text{ cm}$. Los segmentos correspondientes determinados en $s$ miden $7 \text{ cm}$ y $21 \text{ cm}$. Calcula el valor de $x$.

Halla los valores de $x$ e $y$ en la siguiente figura, sabiendo que los segmentos horizontales son paralelos.

Calcula el valor de $x$ en la siguiente figura, sabiendo que las tres rectas horizontales son paralelas.

Comprueba si dos triángulos son semejantes sabiendo que los lados del primero miden $6 \text{ cm}$, $8 \text{ cm}$ y $12 \text{ cm}$, y los del segundo miden $9 \text{ cm}$, $12 \text{ cm}$ y $18 \text{ cm}$. Justifica tu respuesta indicando el criterio de semejanza utilizado.

Los lados de un cuadrilátero miden $5 \text{ cm}$, $7 \text{ cm}$, $9 \text{ cm}$ y $12 \text{ cm}$. Construimos un cuadrilátero semejante a él cuyo perímetro es de $99 \text{ cm}$. Calcula la longitud de cada uno de los lados del nuevo cuadrilátero.

En un mapa a escala $1:250\,000$, la distancia entre dos ciudades es de $8 \text{ cm}$. Calcula la distancia real entre ambas ciudades expresada en kilómetros.

Dos pentágonos regulares son semejantes con una razón de semejanza de $k = 4$. Si el perímetro del pentágono menor es de $15 \text{ cm}$, ¿cuál es el perímetro del pentágono mayor?

El plano de una vivienda está dibujado a escala $1:120$. Si la superficie del salón en el plano es de $60 \text{ cm}^2$, ¿cuál es la superficie real del salón expresada en metros cuadrados ($m^2$)?

Una maqueta de un depósito industrial está construida a escala $1:40$. Si el volumen de la maqueta es de $0.5 \text{ litros}$, ¿cuál es el volumen real del depósito expresado en metros cúbicos ($m^3$)?

Dos esferas son semejantes y la razón entre sus áreas (superficies) es $9$. Si el volumen de la esfera más pequeña es de $20 \text{ cm}^3$, ¿cuál es el volumen de la esfera más grande?

Una estatua de bronce de $1.2 \text{ m}$ de altura pesa $150 \text{ kg}$ y el costo de pintarla con una capa protectora es de $\$40$. Se encarga una réplica exacta de la estatua, hecha del mismo material, pero con una altura de $3.6 \text{ m}$. Calcula cuánto pesará la nueva estatua y cuánto costará pintarla.

Una copa tiene forma de cono invertido con una altura interior de $15 \text{ cm}$. Se vierte agua hasta alcanzar una altura de $10 \text{ cm}$ desde el vértice inferior. ¿Qué fracción del volumen total de la copa está llena de agua? Expresa el resultado como una fracción irreducible.

El plano de una parcela está dibujado a escala $1:400$. Se realiza una fotocopia del plano aplicando una ampliación al $150\%$ (cada longitud de la copia mide el $150\%$ de la original). ¿Cuál es la nueva escala del plano resultante? Si en la fotocopia la parcela ocupa una superficie de $12 \text{ cm}^2$, ¿cuál es su área real en metros cuadrados?

Calcula la altura $h$ del árbol sabiendo que, a la misma hora del día, un poste de $2 \text{ m}$ proyecta una sombra de $1.5 \text{ m}$ y el árbol proyecta una sombra de $4.5 \text{ m}$.

Halla la altura $h$ del edificio utilizando la reflexión en un espejo situado en el suelo, sabiendo que el rayo de luz cumple la ley de reflexión (los ángulos de incidencia y reflexión son iguales).

Calcula la distancia $y$ indicada en la figura y la anchura del río sabiendo que las dos líneas visuales punteadas son rectas que se cruzan en un punto.

Un proyector de cine muestra una diapositiva que mide $3.5 \text{ cm}$ de alto. La diapositiva está situada a $15 \text{ cm}$ del centro óptico de la lente del proyector. Si la pantalla de proyección se encuentra a $4.5 \text{ m}$ de la lente, calcula la altura de la imagen proyectada en la pantalla.

Un pozo cilíndrico seco tiene un diámetro de $1.5 \text{ m}$. Una persona, cuyos ojos se encuentran a $1.6 \text{ m}$ del suelo, se sitúa a $0.5 \text{ m}$ del borde del pozo. Desde esa posición, su línea visual roza el borde del pozo y alcanza exactamente la esquina inferior opuesta del fondo. Calcula la profundidad del pozo.

Una farola tiene una altura de $4.5 \text{ m}$. Una persona de $1.8 \text{ m}$ de estatura arranca desde la base de la farola y se aleja caminando en línea recta a una velocidad constante de $1.5 \text{ m/s}$. Calcula la longitud de la sombra que proyecta la persona exactamente a los $4 \text{ segundos}$ de haber empezado a caminar.

En el trapecio de la figura, las bases miden $10 \text{ cm}$ y $25 \text{ cm}$, y la altura total es de $21 \text{ cm}$. Las diagonales se cortan en un punto, dividiendo la altura total en dos partes. Calcula el área de los dos triángulos sombreados formados por las bases y las diagonales.

En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa la divide en dos segmentos (proyecciones) que miden $3 \text{ cm}$ y $12 \text{ cm}$. Calcula la medida de dicha altura.

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $25 \text{ cm}$ y la proyección de uno de sus catetos sobre la hipotenusa mide $9 \text{ cm}$. Aplica el teorema del cateto (el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre ella) para hallar la longitud de dicho cateto.

Los catetos de un triángulo rectángulo miden $10 \text{ cm}$ y $24 \text{ cm}$. Calcula la longitud de la hipotenusa, la medida de la altura trazada sobre la hipotenusa y las longitudes de las proyecciones de los catetos sobre la misma.

En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa mide $6 \text{ cm}$. Dicha altura divide a la hipotenusa en dos proyecciones cuyas longitudes son $x$ y $x+5$ centímetros. Plantea una ecuación, halla el valor de $x$ y calcula la medida de los tres lados del triángulo rectángulo.