Semejanza de triángulos rectángulos
¿Cómo mides la altura de un edificio de la Cinta Costera de la Ciudad de Panamá sin subirte a él? Con un espejo en el suelo, una sombra o un buen dibujo de triángulos. Todo se resuelve con triángulos rectángulos semejantes, y al final de la página volvemos a esta pregunta.
Tres triángulos semejantes en uno
Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma: sus ángulos son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. Si el primero se amplía con razón $k$, cada lado se multiplica por $k$, el área por $k^2$ y los ángulos no cambian.
Ahora traza, en un triángulo rectángulo, la altura desde el ángulo recto hasta la hipotenusa. El triángulo queda partido en dos triángulos más pequeños. Llamemos $A$ al vértice del ángulo recto, $B$ y $C$ a los otros vértices, y $H$ al pie de la altura.
Las dos partes de la hipotenusa, $m$ (de $B$ a $H$) y $n$ (de $H$ a $C$), se llaman proyecciones de los catetos $c$ y $b$ sobre la hipotenusa. La hipotenusa completa es $a = m + n$.
Dos triángulos rectángulos son semejantes. El primero tiene unos catetos que miden $3$ cm y $4$ cm. Si el cateto menor del segundo triángulo mide $9$ cm, ¿cuánto mide la…
Dos triángulos rectángulos son semejantes. El primero tiene unos catetos que miden $3$ cm y $4$ cm. Si el cateto menor del segundo triángulo mide $9$ cm, ¿cuánto mide la hipotenusa de este segundo triángulo?
Dos cartabones de dibujo (que tienen forma de triángulo rectángulo escaleno) son semejantes. Si la hipotenusa del cartabón más grande es el triple que la del cartabón…
Dos cartabones de dibujo (que tienen forma de triángulo rectángulo escaleno) son semejantes. Si la hipotenusa del cartabón más grande es el triple que la del cartabón más pequeño, ¿cuántas veces mayor es el área del cartabón grande respecto al pequeño?
El teorema de la altura
El arco de un puente
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia que apoya en el diámetro es recto. Por eso, si trazas una vertical desde un punto del diámetro hasta el arco, esa vertical es la altura de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el diámetro. Entonces $h^2 = m \cdot n$, con $m$ y $n$ los dos tramos del diámetro.
En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos que miden $4$ cm y $9$ cm. Calcula la longitud de dicha altura…
En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos que miden $4$ cm y $9$ cm. Calcula la longitud de dicha altura utilizando el teorema correspondiente.
La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $6$ cm. Si uno de los segmentos en los que divide a la hipotenusa mide $3$ cm, ¿cuánto mide el otro…
La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $6$ cm. Si uno de los segmentos en los que divide a la hipotenusa mide $3$ cm, ¿cuánto mide el otro segmento de la hipotenusa?
Un arco de puente de piedra tiene forma de semicircunferencia perfecta con un diámetro de $20$ m. A $4$ m de uno de los extremos del puente, se necesita colocar un pilar…
Un arco de puente de piedra tiene forma de semicircunferencia perfecta con un diámetro de $20$ m. A $4$ m de uno de los extremos del puente, se necesita colocar un pilar vertical que llegue desde el suelo hasta el arco. Utilizando el teorema de la altura, determina qué longitud exacta debe tener este pilar.
El teorema del cateto
Si sumas los dos teoremas del cateto, $b^2 + c^2 = (m+n) \cdot a = a^2$. Esto es el teorema de Pitágoras.
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $25$ cm y la proyección de uno de sus catetos sobre ella mide $9$ cm. Calcula la longitud de dicho cateto aplicando el…
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $25$ cm y la proyección de uno de sus catetos sobre ella mide $9$ cm. Calcula la longitud de dicho cateto aplicando el teorema del cateto.
Un cateto de un triángulo rectángulo mide $8$ cm y su proyección ortogonal sobre la hipotenusa mide $3.2$ cm. Determina la longitud total de la hipotenusa.
Un cateto de un triángulo rectángulo mide $8$ cm y su proyección ortogonal sobre la hipotenusa mide $3.2$ cm. Determina la longitud total de la hipotenusa.
En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los dos catetos sobre la hipotenusa miden $5$ cm y $12$ cm respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa del triángulo?
En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los dos catetos sobre la hipotenusa miden $5$ cm y $12$ cm respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa del triángulo?
Aplicaciones: cerchas y velas
En la cercha de un techo o en la vela triangular de un velero, una medida «vertical» reparte la base en dos tramos. Eso es justo un triángulo rectángulo con su altura sobre la hipotenusa.
En el diseño de una cercha para un tejado a dos aguas en forma de triángulo rectángulo, la viga vertical (que hace de altura sobre la hipotenusa) mide $2.4$ m y separa…
En el diseño de una cercha para un tejado a dos aguas en forma de triángulo rectángulo, la viga vertical (que hace de altura sobre la hipotenusa) mide $2.4$ m y separa la viga inferior (hipotenusa) en dos tramos, uno de los cuales mide $1.8$ m. Calcula el perímetro total de la estructura exterior de la cercha.
La vela principal de un velero tiene forma de triángulo rectángulo. La costura que marca la altura trazada desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa mide $6$…
La vela principal de un velero tiene forma de triángulo rectángulo. La costura que marca la altura trazada desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa mide $6$ m. Si la proyección del lado menor de la vela sobre la hipotenusa es de $4.5$ m, calcula la superficie total de la vela en metros cuadrados.
Proporciones con triángulos semejantes
Muchas medidas reales se resuelven con dos triángulos rectángulos semejantes: la clave es escribir bien qué lados se corresponden y plantear una proporción.
El mismo razonamiento sirve para la sombra de un poste, una rampa de acceso (la altura crece proporcionalmente al avance) y una cámara oscura (la imagen invertida y el objeto forman triángulos semejantes con vértice en el orificio).
Para medir la altura de un edificio, un estudiante coloca un espejo plano en el suelo a $15$ m de la base del edificio. Al retroceder $1.2$ m desde el espejo, ve la…
Para medir la altura de un edificio, un estudiante coloca un espejo plano en el suelo a $15$ m de la base del edificio. Al retroceder $1.2$ m desde el espejo, ve la parte más alta del edificio reflejada en él. Si los ojos del estudiante están a $1.6$ m del suelo, ¿cuál es la altura del edificio?
Una rampa de accesibilidad tiene una longitud total de $12$ m apoyada sobre el suelo y salva un desnivel máximo de $1.5$ m. Si una silla de ruedas ha avanzado $4$ m…
Una rampa de accesibilidad tiene una longitud total de $12$ m apoyada sobre el suelo y salva un desnivel máximo de $1.5$ m. Si una silla de ruedas ha avanzado $4$ m sobre la rampa desde su inicio en la parte inferior, ¿a qué altura se encuentra respecto al nivel del suelo?
En una cámara oscura artesanal de $20$ cm de profundidad, se forma la imagen invertida de un árbol que se encuentra a $15$ m del orificio estenopeico. Si la imagen…
En una cámara oscura artesanal de $20$ cm de profundidad, se forma la imagen invertida de un árbol que se encuentra a $15$ m del orificio estenopeico. Si la imagen formada en el fondo de la cámara tiene una altura de $8$ cm, ¿cuál es la altura real del árbol en metros?
Una bola de billar que rebota contra una banda sin efecto forma dos triángulos rectángulos semejantes (ángulo de entrada igual al de salida). Si la bola está a $40$ cm de la banda antes del rebote y a $60$ cm después, y llamas $x$ al avance paralelo a la banda antes del rebote, entonces $\dfrac{x}{40} = \dfrac{150 - x}{60}$.
En una mesa de billar rectangular, golpeas una bola sin efecto contra una de las bandas, de modo que rebota formando dos triángulos rectángulos semejantes en su…
En una mesa de billar rectangular, golpeas una bola sin efecto contra una de las bandas, de modo que rebota formando dos triángulos rectángulos semejantes en su trayectoria. La bola parte de una posición situada a $40\text{ cm}$ de dicha banda y, tras el rebote, llega a un punto situado a $60\text{ cm}$ de la misma banda. Si la distancia longitudinal total que avanza la bola en la dirección paralela a la banda es de $150\text{ cm}$, determina:
- a) La distancia longitudinal recorrida por la bola antes del rebote.
- b) La distancia longitudinal recorrida después del rebote.
Un vaso cónico de cristal tiene $15$ cm de profundidad total y $6$ cm de radio en su abertura superior. Se llena de agua hasta que el líquido alcanza una altura de $10$…
Un vaso cónico de cristal tiene $15$ cm de profundidad total y $6$ cm de radio en su abertura superior. Se llena de agua hasta que el líquido alcanza una altura de $10$ cm medida desde el fondo (vértice inferior). Calcula el radio de la superficie circular del agua utilizando la semejanza de triángulos rectángulos que se forman con el eje central del vaso.
Resolver con una ecuación
A veces el dato no es un valor directo sino una razón o una relación entre $m$, $n$ y $h$. Entonces hay que plantear una ecuación con los teoremas y resolverla.
En un terreno con forma de triángulo rectángulo, se ha trazado una zanja de riego que coincide con la altura sobre la hipotenusa y mide $12$ m. Si la razón entre los dos…
En un terreno con forma de triángulo rectángulo, se ha trazado una zanja de riego que coincide con la altura sobre la hipotenusa y mide $12$ m. Si la razón entre los dos segmentos en los que esta zanja divide a la hipotenusa es $\frac{9}{16}$, calcula las dimensiones de los tres lados que delimitan el terreno.
En un triángulo rectángulo, la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa mide $x$ cm, la proyección del cateto mayor mide $(x+5)$ cm, y la altura relativa a la…
En un triángulo rectángulo, la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa mide $x$ cm, la proyección del cateto mayor mide $(x+5)$ cm, y la altura relativa a la hipotenusa mide $(x+2)$ cm. Plantea la ecuación correspondiente, halla el valor de $x$ y calcula el área total del triángulo.
El área de un panel solar con forma de triángulo rectángulo es de $150$ dm$^2$ y la altura relativa a su hipotenusa mide $12$ dm. Planteando un sistema de ecuaciones con…
El área de un panel solar con forma de triángulo rectángulo es de $150$ dm$^2$ y la altura relativa a su hipotenusa mide $12$ dm. Planteando un sistema de ecuaciones con las proyecciones de los catetos, determina la longitud exacta de los dos catetos del panel solar.
En un triángulo rectángulo, la razón entre los cuadrados de los catetos es $\frac{b^2}{c^2} = \frac{9}{16}$. Si la hipotenusa mide $50$ cm, utiliza la relación de…
En un triángulo rectángulo, la razón entre los cuadrados de los catetos es $\frac{b^2}{c^2} = \frac{9}{16}$. Si la hipotenusa mide $50$ cm, utiliza la relación de proporcionalidad deducida a partir de los teoremas del cateto para hallar primero la medida de las proyecciones de ambos catetos sobre la hipotenusa, y posteriormente la longitud exacta de los catetos.
Problemas de semejanza más elaborados
Dos postes verticales de alturas $a = 3$ m y $b = 6$ m están separados por una distancia desconocida. Se tienden dos cables tensos desde la base de cada poste hasta el…
Dos postes verticales de alturas $a = 3$ m y $b = 6$ m están separados por una distancia desconocida. Se tienden dos cables tensos desde la base de cada poste hasta el extremo superior del otro poste. Utilizando la semejanza de los triángulos rectángulos que se forman, demuestra que la altura $h$ a la que se cruzan los cables es independiente de la distancia que separa los postes y calcula su valor.
En un triángulo rectángulo de catetos $8$ cm y $6$ cm, se inscribe un cuadrado de forma que uno de sus vértices coincide con el ángulo recto del triángulo, y los dos…
En un triángulo rectángulo de catetos $8$ cm y $6$ cm, se inscribe un cuadrado de forma que uno de sus vértices coincide con el ángulo recto del triángulo, y los dos lados del cuadrado que forman ese vértice descansan sobre los catetos. Calcula la medida del lado del cuadrado $x$ utilizando la semejanza de los triángulos rectángulos que se forman.
Si consideramos que la Tierra es una esfera de radio $R = 6371$ km, y una persona se encuentra en un globo aerostático a una altura $h = 2$ km sobre la superficie, la…
Si consideramos que la Tierra es una esfera de radio $R = 6371$ km, y una persona se encuentra en un globo aerostático a una altura $h = 2$ km sobre la superficie, la línea visual tangente a la superficie forma un triángulo rectángulo en el punto del horizonte. Utiliza el teorema del cateto (o el de Pitágoras en triángulos semejantes) para hallar la distancia rectilínea $d$ desde el globo aerostático hasta el horizonte visible, aproximando a dos decimales.
Vuelve al principio: para medir un edificio con un espejo en el suelo, los rayos forman dos triángulos rectángulos semejantes. Con una regla de tres sobre sus lados correspondientes obtienes la altura, sin subirte.