Números racionales
Tres amigos comparten una chicha de $\text{B/.}\,1.00$ en el Casco Antiguo y cada uno pone $\frac{1}{3}$ de balboa. En la calculadora, $1 \div 3$ da $0.3333333333$, y si ahora lo multiplicas por $3$ te da $1$. Pero a mano, $0.333\ldots \cdot 3 = 0.999\ldots$ ¿Entonces $0.999\ldots$ es igual a $1$ o solo se parece mucho? En este apartado repasas los números racionales, aprendes a manejar sus decimales con exactitud y, al final, puedes responder esa pregunta con una cuenta.
Los conjuntos numéricos
Ya conoces los naturales $\mathbb{N}$, los enteros $\mathbb{Z}$ y los racionales $\mathbb{Q}$. Cada conjunto contiene al anterior.
Todo entero es racional: $5 = \frac{5}{1}$, $-3 = \frac{-3}{1}$. Todo decimal exacto también: $2.5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$. Y los decimales periódicos, como vas a ver en seguida. Hay números que no se pueden escribir como fracción, como $\sqrt{7}$: son los irracionales $\mathbb{I}$, que se estudian en el próximo apartado.
Clasifica los siguientes números indicando el conjunto numérico más pequeño al que pertenecen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$): $-5$;…
Clasifica los siguientes números indicando el conjunto numérico más pequeño al que pertenecen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$): $-5$; $\frac{8}{2}$; $1.2\widehat{3}$; $\sqrt{7}$.
De fracción a decimal: ¿exacto o periódico?
Al dividir numerador por denominador siempre se obtiene un decimal. Lo interesante es que se puede predecir de qué tipo es sin dividir, mirando solo el denominador de la fracción irreducible.
Clasifica las siguientes fracciones según el tipo de expresión decimal que generan (exacta, periódica pura o periódica mixta) sin realizar la división: $\frac{7}{20}$,…
Clasifica las siguientes fracciones según el tipo de expresión decimal que generan (exacta, periódica pura o periódica mixta) sin realizar la división: $\frac{7}{20}$, $\frac{5}{33}$, $\frac{11}{9}$ y $\frac{3}{14}$.
Determina el valor de $x$ para que la fracción $\frac{x}{42}$ genere un número decimal exacto, sabiendo que $x$ es un número natural menor que $25$. Justifica tu…
Determina el valor de $x$ para que la fracción $\frac{x}{42}$ genere un número decimal exacto, sabiendo que $x$ es un número natural menor que $25$. Justifica tu respuesta utilizando la descomposición factorial del denominador.
La fracción generatriz
Todo decimal exacto o periódico se puede escribir como fracción: esa fracción es su generatriz.
Los decimales exactos son directos: $3.45 = \frac{345}{100} = \frac{69}{20}$.
Para los periódicos se usa un truco: multiplicar por potencias de $10$ de modo que las partes periódicas queden alineadas y se cancelen al restar.
Hacer ese razonamiento siempre da el mismo resultado, que se resume en una regla.
Ahora puedes cerrar la pregunta del principio. Con $x = 0.\widehat{9}$: $10x = 9.\widehat{9}$, y restando, $9x = 9$, es decir $x = 1$. Con la regla: $\frac{9}{9} = 1$. No es una aproximación: $0.\widehat{9}$ y $1$ son el mismo número escrito de dos maneras. Por eso $\frac{1}{3} \cdot 3 = 1$ es coherente con $0.\widehat{3} \cdot 3 = 0.\widehat{9}$. Vuelve al principio: los tres amigos de la chicha ponen $\frac{1}{3}$ de balboa cada uno, y entre los tres completan exactamente $\text{B/.}\,1.00$.
Calcula la fracción generatriz irreducible de los siguientes números decimales: $3.45$ y $2,\widehat{7}$.
Calcula la fracción generatriz irreducible de los siguientes números decimales: $3.45$ y $2,\widehat{7}$.
Calcula la fracción generatriz irreducible del número decimal $4.1\widehat{36}$.
Calcula la fracción generatriz irreducible del número decimal $4.1\widehat{36}$.
Demuestra matemáticamente, utilizando el algoritmo para obtener la fracción generatriz, que el número decimal periódico puro $0,\widehat{9}$ es exactamente igual al…
Demuestra matemáticamente, utilizando el algoritmo para obtener la fracción generatriz, que el número decimal periódico puro $0,\widehat{9}$ es exactamente igual al número natural $1$.
Operaciones combinadas
Las cuatro operaciones con fracciones las conoces. Cuando aparecen decimales periódicos, pásalos primero a fracción: así el resultado es exacto, sin redondeos.
Realiza la siguiente operación con fracciones y simplifica el resultado: $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \times \left( \frac{4}{5} + \frac{1}{3} \right)$.
Realiza la siguiente operación con fracciones y simplifica el resultado: $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \times \left( \frac{4}{5} + \frac{1}{3} \right)$.
Realiza la siguiente operación pasando previamente los números decimales a fracción generatriz y simplifica el resultado: $1,\widehat{5} + 0.2\widehat{3} - \frac{5}{6}$.
Realiza la siguiente operación pasando previamente los números decimales a fracción generatriz y simplifica el resultado: $1,\widehat{5} + 0.2\widehat{3} - \frac{5}{6}$.
Resuelve la siguiente operación combinada, expresando el resultado final como una fracción irreducible:…
Resuelve la siguiente operación combinada, expresando el resultado final como una fracción irreducible: $\frac{\left( 0,\widehat{3} + \frac{1}{2} \right)^{-1} \times 1.1\widehat{6}}{\sqrt{0.25} - \frac{1}{3}}$.
Potencias de fracciones
Para elevar una fracción a un exponente se eleva numerador y denominador. Un exponente negativo invierte la fracción:
$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}$$Y valen las propiedades de las potencias: misma base, se suman los exponentes al multiplicar y se restan al dividir. La estrategia es unificar la base.
Simplifica la siguiente expresión utilizando las propiedades de las potencias y dejando el resultado como una fracción irreducible:…
Simplifica la siguiente expresión utilizando las propiedades de las potencias y dejando el resultado como una fracción irreducible: $\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \times \left( \frac{9}{4} \right)^3 \div \left( \frac{3}{2} \right)^5$.
Comparar y ubicar en la recta
Para comparar racionales hay dos caminos: pasarlos a decimal o llevarlos a denominador común. Si hay decimales periódicos, conviene escribir varias cifras para ver dónde difieren.
Para ubicar una fracción $\frac{a}{b}$ en la recta se divide cada unidad en $b$ partes iguales y se cuentan $a$ de ellas desde el cero (hacia la derecha si es positiva, hacia la izquierda si es negativa). Si $a > b$, el punto queda más allá del $1$.
En la recta de arriba, $\frac{7}{3}$ está después del $2$ (cada unidad en tres partes: $2 + \frac{1}{3}$) y $-\frac{5}{4}$ está a la izquierda del $-1$ (unidad en cuatro partes: $-1 - \frac{1}{4}$).
Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales: $\frac{5}{6}$, $0.83$, $0,\widehat{8}$, $\frac{7}{8}$.
Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales: $\frac{5}{6}$, $0.83$, $0,\widehat{8}$, $\frac{7}{8}$.
Representa de forma exacta en la recta numérica los números racionales $\frac{5}{3}$ y $-\frac{7}{4}$.
Representa de forma exacta en la recta numérica los números racionales $\frac{5}{3}$ y $-\frac{7}{4}$.
Densidad de $\mathbb{Q}$
Entre dos racionales distintos, por cerca que estén, siempre hay otro. Esa propiedad se llama densidad.
Encuentra dos números racionales distintos que estén comprendidos estrictamente entre $\frac{2}{5}$ y $\frac{3}{5}$.
Encuentra dos números racionales distintos que estén comprendidos estrictamente entre $\frac{2}{5}$ y $\frac{3}{5}$.
Problemas: fracciones de una cantidad
Muchos problemas se resuelven con una idea: la fracción de una cantidad se calcula multiplicando, y cuando conoces la parte, divides para encontrar el total. Si algo se «saca del resto», el resto es lo que queda: se calcula como un producto de fracciones.
Si lo que quieres es qué fracción del total es una parte, divide la parte por el total. Por ejemplo, en una jarra de $2$ L con $\frac{3}{5}$ L de jugo y $\frac{1}{4}$ L de limonada, el agua es $2 - \frac{17}{20} = \frac{23}{20}$ L, que es $\frac{23/20}{2} = \frac{23}{40}$ de la jarra.
En una receta de repostería se necesitan $\frac{3}{4}$ de kilo de harina para hacer una tarta. Si dispones de $2.5$ kg de harina, ¿cuántas tartas completas puedes hacer…
En una receta de repostería se necesitan $\frac{3}{4}$ de kilo de harina para hacer una tarta. Si dispones de $2.5$ kg de harina, ¿cuántas tartas completas puedes hacer y qué fracción de kilo te sobrará?
Un agricultor vende $\frac{1}{3}$ de su cosecha de tomates por la mañana y $\frac{2}{5}$ del resto por la tarde. Si aún le quedan $480$ kg en el almacén, ¿cuántos kilos…
Un agricultor vende $\frac{1}{3}$ de su cosecha de tomates por la mañana y $\frac{2}{5}$ del resto por la tarde. Si aún le quedan $480$ kg en el almacén, ¿cuántos kilos de tomates cosechó en total?
Para fabricar un perfume artesanal, se mezclan $\frac{2}{5}$ de litro de esencia de lavanda con $\frac{1}{4}$ de litro de alcohol puro y el resto de agua destilada hasta…
Para fabricar un perfume artesanal, se mezclan $\frac{2}{5}$ de litro de esencia de lavanda con $\frac{1}{4}$ de litro de alcohol puro y el resto de agua destilada hasta completar un frasco de $1.5$ litros. ¿Qué fracción del frasco representa el agua destilada?
Problemas: razones y repartos proporcionales
Una razón como «$3$ de cada $5$» es una fracción: $\frac{3}{5} = 0.6$, o sea $60\,\%$. Y si aportas una fracción del total, te corresponde esa misma fracción de las ganancias.
En un partido de baloncesto, una jugadora encesta $5$ de cada $8$ tiros libres que lanza. Si en toda la temporada ha fallado $24$ tiros libres, ¿cuántos ha lanzado en…
En un partido de baloncesto, una jugadora encesta $5$ de cada $8$ tiros libres que lanza. Si en toda la temporada ha fallado $24$ tiros libres, ¿cuántos ha lanzado en total y cuál es su porcentaje de acierto expresado como número decimal?
Tres amigos organizan un torneo de e-sports en su ciudad. El primero aporta $\frac{1}{4}$ del presupuesto total, el segundo aporta $\frac{2}{5}$ y el tercero aporta los…
Tres amigos organizan un torneo de e-sports en su ciudad. El primero aporta $\frac{1}{4}$ del presupuesto total, el segundo aporta $\frac{2}{5}$ y el tercero aporta los $1\,400$ dólares restantes. Al final, el torneo genera $850$ dólares de ingresos por la venta de entradas. Sabiendo que los ingresos se reparten de forma proporcional al dinero aportado, ¿qué fracción de los ingresos le corresponde al segundo amigo y qué cantidad exacta de dinero recibirá?
Problemas: cosas que se encadenan
A veces una cantidad se transforma una y otra vez por una fracción (engranajes, rebotes), o varias cosas actúan a la vez (llaves que llenan y desagües que vacían). En ambos casos las fracciones se multiplican o se suman y restan.
Si en cada paso se multiplica por la misma razón $r$, después de $n$ pasos se multiplicó $n$ veces: $r^n$.
Una pelota de goma especial se deja caer desde una altura inicial de $10$ metros. En cada bote alcanza una altura igual a los $\frac{3}{4}$ de la altura del bote…
Una pelota de goma especial se deja caer desde una altura inicial de $10$ metros. En cada bote alcanza una altura igual a los $\frac{3}{4}$ de la altura del bote anterior. Calcula la altura que alcanzará en el cuarto bote y exprésala como un número decimal exacto.
Un sistema de engranajes está formado por tres ruedas dentadas. La primera rueda da $\frac{15}{4}$ de vuelta por minuto. La segunda rueda da $\frac{5}{2}$ de vuelta por…
Un sistema de engranajes está formado por tres ruedas dentadas. La primera rueda da $\frac{15}{4}$ de vuelta por minuto. La segunda rueda da $\frac{5}{2}$ de vuelta por cada vuelta que da la primera, y la tercera rueda da $\frac{4}{3}$ de vuelta por cada vuelta que da la segunda. ¿Cuántas vueltas completas dará la tercera rueda en $8$ minutos?
Un tanque de agua para riego tiene dos llaves de llenado y un desagüe. La primera llave lo llena en $4$ horas, la segunda llave lo llena en $6$ horas, y el desagüe lo…
Un tanque de agua para riego tiene dos llaves de llenado y un desagüe. La primera llave lo llena en $4$ horas, la segunda llave lo llena en $6$ horas, y el desagüe lo vacía por completo en $8$ horas. Si se abren los tres a la vez cuando el tanque está vacío, ¿qué fracción del tanque se llenará en $1$ hora? ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse por completo?
Aproximar y medir el error
Cuando mides o usas la calculadora, a menudo reemplazas un racional exacto por un valor aproximado. El error dice cuánto te alejaste.
Al medir la longitud de una pieza de madera de $\frac{17}{3}$ cm exactos, un carpintero anota un valor de $5.6$ cm. Calcula el error absoluto y el error relativo…
Al medir la longitud de una pieza de madera de $\frac{17}{3}$ cm exactos, un carpintero anota un valor de $5.6$ cm. Calcula el error absoluto y el error relativo cometidos en la medición, expresando los resultados como fracciones irreducibles.
Para pensar: racionales y números enteros
Con lo que sabes puedes resolver problemas de razonamiento con fracciones.
Halla un número racional positivo de la forma $\frac{a}{b}$ tal que al sumarle su inverso multiplicativo se obtenga como resultado $\frac{25}{12}$.
Halla un número racional positivo de la forma $\frac{a}{b}$ tal que al sumarle su inverso multiplicativo se obtenga como resultado $\frac{25}{12}$.
Determina todos los valores enteros de $n$ para los cuales la fracción algebraica $\frac{3n + 15}{n + 2}$ representa un número entero.
Determina todos los valores enteros de $n$ para los cuales la fracción algebraica $\frac{3n + 15}{n + 2}$ representa un número entero.